普通高等学校招生全国统一考试模拟试题衡水金卷信息卷理数三解析版.docx
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普通高等学校招生全国统一考试模拟试题衡水金卷信息卷理数三解析版
2018年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题
理数（三）
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：
本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合，集合，则（）
A.B.C.D.
【答案】D
【解析】
则
故选
2.设为虚数单位，给出下面四个命题：
；
为纯虚数的充要条件为；
共轭复数对应的点为第三象限内的点；
的虚部为.
其中真命题的个数为（）
A.B.C.D.
【答案】B
【解析】复数不能比较大小，故错误
，为纯虚数，则，解得，故正确
，，，为第三象限内的点，故正确
，，故其虚部为，故错误
故真命题个数为
故选
3.某同学从家到学校途经两个红绿灯，从家到学校预计走到第一个红绿灯路口遇到红灯的概率为，两个红绿灯路口都遇到红灯的概率为，则在第一个路口遇到红灯的前提下，第二个路口也遇到红灯的概率为（）
A.B.C.D.
【答案】B
【解析】设“第一个路口遇见红灯”为事件，“第二个路口遇见红灯”为事件，
，
则
故选
4.在区间上随机取一个数，则方程表示焦点在轴上的椭圆的概率为（）
A.B.C.D.
【答案】B
【解析】若方程表示焦点在轴上的椭圆
则，解得
故方程表示焦点在轴上的椭圆的概率为
故选
5.抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离为，则双曲线的离心率为（）
A.B.C.D.
【答案】C
【解析】由题意可得，抛物线的焦点为
双曲线的渐近线为，
化简得：
故
则
故选
6.已知，，若，则在的展开式中，含项的系数为（）
A.B.C.D.
【答案】B
【解析】令，则
根据二项式定理，得：
的通项公式为
，令，得，
故项的系数为，
故选
7.已知，是以为周期的奇函数，且定义域为，则的值为（）
A.B.C.D.
【答案】A
【解析】
可知的周期为
，
故选
8.已知函数，把函数的图象的横坐标伸长到原来的倍，然后将图象向右平移个单位，纵坐标不变，得到函数的图象，若当时，方程有两个不同的实根，则的取值范围为（）
A.B.C.D.
【答案】D
【解析】
可得
根据函数的图象，可知时，有两个不同的根
故选
9.运行如图所示的程序框图，输出的值为（）
A.B.C.D.
【答案】D
【解析】第一次运行结果为，
第二次运行结果为，
第一次运行结果为，...
可知输出结果为
两式相减可得
可得
故选
10.已知几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为（）
A.B.C.D.
【答案】D
【解析】根据几何体的三视图可知，该几何体为三棱锥
其中，
且底面，
根据余弦定理可知：
可知
根据正弦定理可知外接圆直径
，如图，
设三棱锥外接球的半径为，球心为，过球心向作垂线，则垂足为的中点
，在中，
外接球的表面积
故选
点睛：
本题主要考查了三视图与几何体外接球的体积问题，有一定的难度，先由三视图推得几何体为三棱锥，结合题目中的长度利用正弦定理和余弦定理解三角形，求出三角形外接圆的半径，进而求出球体的半径，需要一定的观察能力和计算能力
11.已知抛物线，过点作该抛物线的切线，，切点为，，若直线恒过定点，则该定点为（）
A.B.C.D.
【答案】C
【解析】设的坐标为，
，，
的方程为，
由，，可得，
切线都过点
，，
故可知过，两点的直线方程为，
当时，
直线恒过定点
故选
点睛：
本题主要考查了直线与抛物线的位置关系并求出直线恒过定点坐标，在解答过程中运用了求导来计算切线的斜率，然后给出切线的直线方程，由过点计算出直线的方程，从而计算出定点坐标。
12.已知函数的导函数为，且满足，，若函数恒成立，则实数的取值范围为（）
A.B.C.D.
【答案】C
【解析】由，则，
又由，可得的对称轴为，可知，
所以，
由，可得，
可得，即，
设，
则，
可知函数在区间内单调递增，在区间内单调递减，
可知，故实数的取值范围为，故选C.
点睛：
本题主要考查利用导数求解不等式的恒成立问题求得，考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：
（1）考查导数的几何意义，求解曲线在某点处的切线方程；
（2）利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数；（3）利用导数求函数的最值（极值），解决函数的恒成立与有解问题
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.已知向量，，其中，且与共线，则当取最小值时，为__________．
【答案】
【解析】由向量共线的充要条件得
则
当且仅当时，取等号，此时，
则
14.已知圆的方程为，过圆上一点的切线方程为.由类比法可经过椭圆上一点的切线方程为.若过椭圆的第一象限内的点的切线经过点，则的最小值为__________．
【答案】4
【解析】由题可知过椭圆的第一象限内的点的切线方程为
，
切线过点，，
当且仅当，即，时，取等号
故最小值为
15.已知，满足约束条件其中，若使得取得最小值的解有无穷多个，则的值为__________．
【答案】2
【解析】作出可行域如图
可得当取得最小值的解有无数多个时，满足点在直线上
可知
解得
点睛：
本题主要考查的知识点是线性规划求最值问题，在解答本题过程中将问题进行转化，求出其几何意义，点在直线上，从而可以根据图像求出的值，本题较为简单，需要读懂题目意思将其转化。
16.已知的三边分别为，，，所对的角分别为，，，且满足，且的外接圆的面积为，则的最大值的取值范围为__________．
【答案】
【解析】由的三边分别为，，可得：
，
可知：
，
，
，
可知
可知当时，
则的最大值的取值范围为
点睛：
本题主要考查了三角函数与解三角形综合题目，需要学生有一定计算能力，并能熟练运用公式进行化简求值，在解答此类题目时往往将边的范围转化为求角的范围问题，利用辅助角公式进行化简，本题还是有一定难度。
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.已知在等差数列中，，其前项和为.等比数列的各项均为正数，且，公比为.若，.
（1）求数列与的通项公式；
（2）求数列的前项和.
【答案】
（1）；
（2）.
【解析】试题分析：
（1）由已知条件计算出和的值，从而得到通项公式运用错位相减法求得前项和
解析：
（1）设等差数列的公差为，
∵，.
∴，.
整理得，
解得或（舍去）.
∴，，
∴.
（2）设数列的前项和为，
由，，
得，
∴，
，
上述两式相减，得
.
∴.
∴数列的前项和为.
18.已知在几何体中，四边形是边长为的正方形，且平面，，且，与平面所成角的正切值为.
（1）求证：
平面平面；
（2）求二面角的大小.
【答案】
（1）详见解析；
（2）.
【解析】试题分析：
（1）取的中点，连接，,结合已知条件证得平面，由勾股定理得，利用定理证得结果以点为原点，分别以，，所在直线为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，求平面的法向量为，求平面的法向量为，运用公式求出结果
解析：
（1）取的中点，连接，，
∵平面，，
∴在平面内的射影为，
∵，又，∴，
∴四边形为平行四边形，
∴，
∴为与平面所成的角.
∵，
∴，，
∴，设，连接，.
∵，，，
∴平面，
∵平面，∴.
∵，，.
∴，
∴，又，
∴平面.
又∵平面.∴平面平面.
（2）∵，，两两垂直，以点为原点，分别以，，所在直线为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系.
则，，，，
则，，，
设平面的法向量为，
则即取，
得.
设平面的法向量为，
即
取，得.
设二面角的平面角为，
∵
，
∴，即二面角的大小为.
19.某学校高三有名学生，按性别分层抽样从高三学生中抽取名男生，名女生期未某学科的考试成绩，得到如下所示男生成绩的频率分布直方图和女生成绩的茎叶图.
（1）试计算男生考试成绩的平均分与女生考试成绩的中位数（每组数据取区间的中点值）；
（2）根据频率分布直方图可以认为，男生这次考试的成绩服从正态分布，试计算男生成绩落在区间内的概率及全校考试成绩在内的男生的人数（结果保留整数）；
（3）若从抽取的名学生中考试成绩优势（分以上包括分）的学生中再选取名学生，作学习经验交流，记抽取的男生人数为，求的分布列与数学期望.
参考数据，若，则，，.
【答案】
（1）；
（2）410；（3）详见解析.
【解析】试题分析：
由条形统计图中的数据计算出结果，结合茎叶图给出女生成绩的中位数利用公式求出人给出分布表，利用组合求出各种情况的概率，从而计算出数学期望
解析：
（1）男生的平均分为.
女生成绩的中位数为.
（2）由
（1）知，可知.
可知成绩落在内的概率为，所求考试成绩在内的男生的人数大约为（人）.
（3）根据频率分布直方图可知男生的考试成绩在的人数为，女生的人数为，可知随机变量.
，
，
，
.
随机变量的分布列为
0
1
2
3
.
20.已知椭圆的焦点与双曲线的焦点重合，过椭圆的右顶点任意作直线，交抛物线于，两点，且，其中为坐标原点.
（1）试求椭圆的方程；
（2）过椭圆的左焦点作互相垂直的两条直线，分别交椭圆于点、、、，试求四边形的面积的取值范围.
【答案】
（1）；
（2）.
【解析】试题分析：
结合题意得，联立直线与椭圆方程，结合算出椭圆方程讨论斜率不存在和为零的情况，然后联立直线与椭圆方程，结合弦长公式和面积公式进行计算。
解析：
（1）∵双曲线的焦点为，
∴椭圆中，，可知其右顶点为，
设直线的方程为，同联立整理，
可得.
设，，，.
由，可知，
即，可知.
∴，.
可知椭圆的方程为.
（2）易知左焦点.
①当直线，中的一条直线的斜率不存在时，可知；
②当直线，的斜率均存在且不为零时，设的直线方程为，与椭圆方程联立化简得.
设，，
，.
可知
.
将用代换可得，
.
∵（当且仅当时，取等号），
∴.
∴，
可得.
综合可知面积的取值范围为.
点睛：
本题主要考查了圆锥曲线的综合题目，在求三角形面积时有多种方法：
如直接计算底和高，或是用三角形面积公式，还可以考虑割补法求解，在计算范围问题时注意运用不等式内容来解答，本题有难度，计算较大。
21.已知函数，其中为实数.
（1）若曲线在点处的切线方程为，试求函数的单调区间；
（2）当，，且时，若恒有，试求实数的取值范围.
【答案】
（1）函数的单调递增区间为，单调递减区间为；
（2）.
【解析】试题分析：
由题意点处的切线方程为，求出的值，继而求出函数的单调性利用单调性将问题中的绝对值去掉，构造新函数来证明结论。
解析：
（1）函数的定义域为，
，，可知.
.
当，即时，，单调递增；
当时，，单调递减.
所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为.
（2）函数
.
令，，
当时，可知，
故恒成立，
可知，在区间上为单调递增函数，
不妨设，且，
则变为，
即，
设函数
，
由，得在时为单调递减函数，即，
即，
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