常微分方程第二章练习与答案.docx
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常微分方程第二章练习与答案
习题２-１
判断下列方程是否为恰当方程,并且对恰当方程求解：
１．
解：
,
则,, 所以 即原方程不是恰当方程．
２．
解：
则 所以,即 原方程为恰当方程
则
两边积分得：
3． 〔a,b和c为常数〕．
解：
则 所以,即 原方程为恰当方程
则
两边积分得：
4．
解：
则 因为 ,所以,即 原方程不为恰当方程
５．
解：
则 所以,即 原方程为恰当方程
则
两边积分得：
６．
解：
则 所以,即 原方程为恰当方程
则
两边积分得：
７．
解：
则 所以,即 原方程为恰当方程
则
两边积分得：
８．
解：
则 所以 当,即 时, 原方程为恰当方程
则
两边积分得：
而当时原方程不是恰当方程．
９．
解：
则 所以, 即原方程为恰当方程,
两边积分得：
．
10． 其中是连续的可微函数．
解：
则 所以, 即原方程为恰当方程,
两边积分得：
即原方程的解为<其中F为f的原积分>．
习题２-2
.1.求解下列微分方程,并指出这些方程在平面上的有意义
的区域:
：
〔１〕
解：
原方程即为：
两边积分得：
．
〔２〕
解：
原方程即为：
两边积分得：
．
〔３〕
解：
当时
原方程为：
两边积分得：
．
又y=0也是方程的解,包含在通解中,则方程的通解为
．
〔４〕；
解：
原方程即为：
两边积分得：
即 ．
〔５〕
解：
①当时
原方程即为：
两边积分得：
．
②=0,即也是方程的解. 〔〕
〔６〕
解：
①当时
原方程即为：
两边积分得：
．
②也是方程的解.
〔７〕．
解．原方程即为：
两边积分得：
原方程的解为：
.
2.解下列微分方程的初值问题．
〔１〕；
解：
两边积分得：
即
因为 , 所以 .
所以原方程满足初值问题的解为：
．
〔２〕．, ；
解：
原方程即为：
两边积分得：
因为, 所以,
所以原方程满足初值问题的解为：
．
〔３〕．, ；
解：
原方程即为：
两边积分得：
因为, 所以,
所以原方程满足初值问题的解为：
即 ．
〔４〕．;
解：
原方程即为：
两边积分得：
因为,所以,
所以原方程满足初值为：
〔５〕．, ；
解：
原方程即为：
两边积分得：
因为, 所以,
所以原方程满足初值问题的解为：
．
1．解下列微分方程,并作出相应积分曲线的简图．
〔１〕．
解：
两边积分得：
．
积分曲线的简图如下：
〔２〕．, 〔常数〕；
解：
①当时,
原方程即为：
积分得：
即
②也是方程的解．
积分曲线的简图如下：
〔３〕．；
解：
①当时,
原方程即为：
积分得：
即 ．
②也是方程的解．
积分曲线的简图如下：
〔４〕．, ；
解：
①当时,
ⅰ〕时,原方程即为 ,
积分得：
．
ⅱ〕时,原方程即为
积分得：
即 ．
②也是方程的解．
积分曲线的简图如下：
4.跟踪：
设某A从xoy平面上的原点出发,沿x轴正方向前进；同时某B从点开始跟踪A,即B与A永远保持等距b．试求B的光滑运动轨迹．
解：
设B的运动轨迹为,由题意与导数的几何意义,则有
所以求B的运动轨迹即是求此微分方程满足的解．
解之得：
．
5.设微分方程〔2.27〕,其中f在的某邻域〔例如,区间〕
内连续,而且,则在直线上的每一点,方程〔2.27〕的解局部唯一,当且仅当瑕积分〔发散〕．
证明：
〔〕
首先经过域：
和域：
内任一点〔〕恰有方程〔2.13〕的一条积分曲线,
它由下式确定
.〔*〕
这些积分曲线彼此不相交.其次,域〔〕内的所有
积分曲线都可由其中一条,比如
沿着x轴的方向平移而得到。
因此只需详细考虑经过内某一点
的积分曲线, 它由〔*〕式确定.
若收敛,即存在,使得,
即所讨论的积分曲线当时达到直线上点〔〕.由〔*〕式易看出,
所论积分曲线在〔〕处与相切,在这种情形下,经过此直线上的
一点就不只有一条积分曲线,与局部唯一矛盾,所以发散.
若积分发散,此时由〔*〕式易看出,所论的经过的积分
曲线,不可能达到直线上,而以直线为渐近线,又注意到也
是〔２.13〕的积分曲线,所以〔2.13〕过的解是唯一的.
注：
对于内某点〔〕完全可类似地证明.
6.作出下列微分方程积分曲线族的大致图形．
〔１〕．；
〔２〕．
习题２-3
1．求解微分方程：
〔１〕;
解：
由公式得：
原方程的解为：
．
〔２〕；
解：
则有
原方程的解为：
．
〔３〕；
解：
原方程即为：
则,
则有
因为, 所以．
原方程满足初值问题的解为：
．
〔４〕,；
解：
则
要求满足初值问题的解
只需求
代入初值得
所以满足初值问题的解为.
2.将下列方程化为线性微分方程：
〔１〕；
解：
令, 则原方程化为：
．
〔２〕；
解：
由原方程得：
, 即 ．
〔３〕；
解：
令, 则原方程化为：
．
〔４〕；
解：
原方程即为：
即. 令, 则 ．
3.设满足微分不等式．求证：
证明：
将两边同乘 则有
即 从０到x积分得：
得证．
4.用常数变易法求解非齐次线性方程．
解：
设方程有形如的解,将其代入方程则有
解：
设方程有形如的解,将其代入方程则有
即, 则,
所以方程的解为.
5.考虑方程,其中和都是以为周期的连续函数．
试证：
〔１〕若,则方程的任一非零解以为周期的平均值
．
〔２〕若,则方程的有唯一的周期解．试求出此解．
证明：
〔１〕设是方程的任一非零解
则且也是解
<2>方程的通解为
选择常数使成为周期函数,即〔*〕
我们先来证明,要使〔*〕对所有成立,其实只需对某一特定
〔例如〕成立,即只需.事实上,由于是方程的解,
且, 所以也是解.
因此,函数是相应齐次方程满足
初始条件的解。
又因为此齐次方程的解或者恒等于０,或者恒不
等于０,所以,从而,由的任意性,则有。
即.
所以.
6．连续函数在区间上有界,证明：
方程在区间
有并且只有一个有界解．试求出这个解．并进而证明：
当还是
以为周期函数时,这个解也是以为周期的周期函数.
证明：
显然方程为一阶线性微分微分方程,
由一阶线性微分微分方程解的求解公式得其解表达式为：
因为有界,所以要使有界,当且仅当．
从而原方程的唯一有界解为
．
下面说明当是以为周期函数时,这个解也是以为周期的周期函数．
令,则
所以此解为一周期函数．
7.令空间｛｜是以为周期的连续函数｝．易知关于实数域
构成一个线性空间.,定义它的模．证明
是一个完备的空间．利用式<2.40>可以在空间中定义一个变换,它把
变成．试证：
是一个从到的线性算子,而且它是有界的．
证明：
〔１〕先证是一个完备的空间．
设是中的一个基本列.
．则有
所以,〔*〕,固定,则
是基本的,从而存在,记为,在<>中令,
得到,所以一致收敛到,从而在中收
敛到,所以定义的空间是完备的。
〔２〕证是一个线性有界算子。
①
所以是一个线性算子。
②
所以是有界算子.
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