151整式的乘法.docx
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151整式的乘法
第一课时、同底数幂的乘法
【教学内容】同底数幂的乘法
【教学目标】
知识与技能:
在推理判断中得出同底数幂乘法的运算法则,并掌握“法则”的应用。
过程与方法:
经历探索同底数幂的乘法运算性质的过程,感受幂的意义,发展推理能力和表达能力,提高计算能力。
情感与态度:
在小组合作交流中,培养协作精神、探究精神,增强学习信心。
语言积累:
同底数幂乘法法则:
乘积中,幂的底数不变,指数相加。
【教学重点】
同底数幂乘法运算性质的推导和应用。
【教学难点】
同底数幂的乘法的法则的应用。
【教学用具】
课件。
【教学过程】
一、创设情境,故事引入:
1、情境导入:
“盘古开天壁地”的故事:
公元前一百万年,没有天没有地,整个宇宙是混浊的一团,突然间窜出来一个巨人,他的名字叫盘古,他手握一把巨斧,用力一劈,把混沌的宇宙劈成两半,上面是天,下面是地,从此宇宙有了天地之分,盘古完成了这样一个壮举,累死了,他的左眼变成了太阳,右眼变成了月亮,毛发变成了森林和草原,骨头变成了高山和高原,肌肉变成了平原与谷地,血液变成了河流。
2、提问置疑:
教师提问:
盘古的左眼变成了太阳,那么,太阳离我们多远呢?
你可以计算一下,太阳到地球的距离是多少?
光的速度为3×105千米/秒,太阳光照射到地球大约需要5×102秒,你能计算出地球距离太阳大约有多远呢?
学生活动:
开始动笔计算,大部分学生可以列出算式:
3×105×5×102=15×105×102=15×?
二、探究学习,应用所学:
1、同底数幂的乘法:
教师提问:
到底105×102=?
讨论:
同学们根据幂的意义自己推导一下,现在分小组讨论。
学生活动:
分小组讨论、交流,举手发言,上台演示。
计算过程:
105×102
=(10×10×10×10×10)×(10×10)
=10×10×10×10×10×10×10
=107
2、探索规律:
请同学们计算并探索规律:
(1)23×24=(2×2×2)×(2×2×2×2)=2();
(2)53×54=___________________=5();
(3)(-3)7×(-3)6=_________________________=(-3)();
(4)(
)3×(
)=_____________=(
)();
(5)a3·a4=__________________=a().
提出问题:
①这几道题目有什么共同特点?
②请同学们看一看自己的计算结果,想一想,这些结果有什么规律?
学生活动:
独立完成,并在黑板上演算。
教师拓展:
计算a·a=?
请同学们想一想。
学生总结:
a·a=
=am+n
这样就探究出了同底数幂的乘法法则。
3、例:
计算
(1)103×104;
(2)a·a3;(3)a·a3·a5;(4)x·x2+x2·x
思路点拨:
(1)计算结果可以用幂的形式表示。
如
(1)103×104=103+4=107,但是如果计算较简单时也可以计算出得数。
(2)注意a是a的一次方,提醒学生不要漏掉这个指数1,x3+x3得2x3,提醒学生应该用合并同类项。
(3)上述例题的探究,目的是使学生理解法则,运用法则,解题时不要简化计算过程,要让学生反复叙述法则。
教师活动:
投影显示例题,指导学生学习。
学生活动:
参与教师讲例,应用所学知识解决问题。
三、随堂练习,巩固深化:
1、课本练习题。
方法:
课件出示题目;
小组合作;
集体订正,教师小结。
2、探研时空。
据不完全统计,每个人每年最少要用去106立方米的水,1立方米的水中约含有3.34×1019个水分子,那么,每个人每年要用去多少个水分子?
方法:
课件出示题目;
小组合作,教师巡视;
集体订正,教师小结。
四、课堂总结,发展潜能:
1、同底数幂的乘法,使用范围是两个幂的底数相同,且是相乘关系,使用方法:
乘积中,幂的底数不变,指数相加。
2、应用时可以拓展,例如含有三个或三个以上的同底数幂相乘,仍成立,底数和指数,它既可以取一个或几个具体数,由可取单项式或多项式。
3、运用幂的乘法运算性质注意不能与整式的加减混淆。
4、课堂小结:
教师:
通过今天的学习,同学们有什么收获?
学生自由发言,教师小结。
五、布置作业:
1、课本P148习题15.1第1
(1),
(2),2
(1)题。
2、练习册。
六、板书设计:
15.1.1同底数幂的乘法
1、同底数幂的乘法法则:
例:
乘积中,幂的底数不变,指数相加。
练习:
课后小结:
本部分内容比较简单,学生掌握的情况较好。
第二课时、幂的乘方
【教学内容】幂的乘方
【教学目标】
知识与技能:
理解幂的乘方的运算性质,进一步体会和巩固幂的意义;通过推理得出幂的乘方的运算性质,并且掌握这个性质。
过程与方法:
经历一系列探索过程,发展学生的合情推理能力和有条理的表达能力,通过情境教学,培养学生应用能力。
情感与态度:
培养学生合作交流的意识和探索精神,让学生体会数学的应用价值。
语言积累:
幂的乘方运算性质:
幂的乘方,底数不变,指数相乘。
【教学重点】
幂的乘方法则。
【教学难点】
幂的乘方法则的推导过程及灵活应用。
【教学用具】
课件。
【教学过程】
一、创设情境,导入新知:
1、情境导入:
大家知道太阳,木星和月亮的体积的大致比例吗?
我可以告诉你,木星的半径是地球半径的102倍,太阳的半径是地球半径的103倍,假如地球的半径为r,那么,请同学们计算一下太阳和木星的体积是多少?
球的体积公式为V=
r3)
2、学生活动:
进行计算,并在黑板上演算。
解:
设地球的半径为1,则木星的半径就是102,因此,木星的体积为:
V木星=
·(102)3=?
3、引入课题:
今天我们一起来研究同底数幂的乘方。
二、探究学习,应用所学:
1、探究同底数幂的乘方法则:
教师引导:
(102)3=?
利用幂的意义来推导。
学生活动:
有些同学这时无从下手。
教师启发:
请同学们思考一下a3代表什么?
(102)3呢?
学生回答:
a3=a×a×a,指3个a相乘.(102)3=102×102×102,就变成了同底数幂乘法运算,根据同底数幂乘法运算法则,底数不变,指数相加。
例:
102×102×102=102+2+2=106,因此(102)3=106。
教师活动:
下面有问题:
利用刚才的推导方法推导下面几个题目:
(1)(a2)3;
(2)(24)3;(3)(bn)3;(4)-(x2)2.
学生活动:
推导上面的问题,个别同学上讲台演示。
教师推进:
请同学们根据所推导的几个题目,推导一下(a)的结果是多少?
学生活动:
归纳总结并进行小组讨论,最后得出结论:
(am)n=
=amn。
2、例:
计算
(1)(103)5;
(2)(b3)4;(3)(xn)3;(4)-(x7)7。
思路点拨:
要充分理解幂的乘方法则,准确地运用幂的乘方法则进行计算。
教师活动:
启发学生共同完成例题。
学生活动:
在教师启发下,完成例题的问题,并进一步理解幂的乘方法则。
解:
(1)(103)5=103×5=1015;(3)(xn)3=xn×3=x3n;
(2)(b3)4=b3×4=b12;(4)-(x7)7=-x7×7=-x49.
方法:
课件出示题目;
小组合作,教师巡视;
集体订正,教师小结。
三、随堂练习,巩固练习:
1、课本P143练习。
计算:
-x2·x2·(x2)3+x10.
方法:
课件出示题目;
学生独立计算,教师巡视;
集体订正,教师小结。
2、课堂总结,发展潜能。
(1)幂的乘方(am)n=amn(m,n都是正整数)
使用范围:
幂的乘方。
方法:
底数不变,指数相乘。
(2)知识拓展:
这里的底数、指数可以是数,可以是字母,也可以是单项式或多项式。
(3)幂的乘方法则与同底数幂的乘法法则区别:
一个是“指数相乘”,一个是“指数相加”。
3、课堂小结:
教师:
通过今天的学习,同学们有什么收获?
学生自由发言,教师小结。
四、布置作业:
1、课本P148习题15.1第1、2题。
2、练习册。
五、板书设计:
15.1.2幂的乘方
1、幂的乘方的乘法法则例:
练习:
课后小结:
本部分内容比较简单,学生掌握的情况较好,部分学生在做练习的时候和同底数幂相乘混淆,应注意强调,多做一些对比练习。
第三课时、积的乘方
【教学内容】积的乘方
【教学目标】
知识与能力:
通过探索积的乘方的运算性质,进一步体会和巩固幂的意义,在推理得出积的乘方的运算性质的过程中,领会这个性质。
过程与方法:
经历探索积的乘方的过程,发展学生的推理能力和有条理的表达能力,培养学生的综合能力。
情感与态度:
通过小组合作与交流,培养学生团结协作的精神和探索精神,有助于塑造他们挑战困难,挑战生活的勇气和信心。
语言积累:
积的乘方等于积的每个因式分别乘方,再把所得的幂相乘。
【教学重点】
积的乘方的运算。
【教学难点】
积的乘方的推导过程的理解和灵活运用。
【教学用具】
课件。
【教学过程】
一、回顾交流,导入新知:
1、提问:
(1)同底数幂的运算法则。
(2)幂的乘方运算法则的内容以及区别。
方法:
指名回答,集体订正。
2、课堂演练:
计算:
(1)(x4)3
(2)a·a5(3)x7·x9(x2)3
学生活动:
完成上面的演练题,并从中领会这两个幂的运算法则。
教师活动:
巡视,关注学生的练习,并请三位学生上台演示。
方法:
课件出示题目。
学生独立计算,教师巡视。
指名展演,集体订正。
3、引入课题:
教师:
今天,我们一起来研究积的乘方。
二、探究学习,应用所学:
1、探究积的乘方运算法则:
教师提出下面的问题。
同学们思考怎样计算(2a3)4,每一步的根据是什么?
学生活动:
先独立完成上面的问题,再小组讨论。
(2a3)4=(2a3)·(2a3)·(2a3)·(2a3)(乘方的含义)
=(2·2·2·2)·(a3·a3·a3·a3)(乘法交换律、结合律)
=24·a12(乘方的意义与同底数幂的乘法运算)
=16a12
教师活动:
提出应用以上分析问题的过程,再计算(ab)4,说出每一步的根据是什么?
学生活动:
独立思考之后,再与同学交流。
(ab)4=(ab)·(ab)·(ab)·(ab)(乘方的含义)
=(aaaa)·(bbbb)(交换律、结合律)
=a4·b4(乘方的含义)
教师提问:
(1)请同学们通过计算,观察乘方结果之后,你能得出什么规律?
(2)如果设n为正整数,将上式的指数改成n,即:
(ab)n,其结果是什么?
学生活动:
回答出(ab)n=anbn.
师生共识:
我们得到了积的乘方法则。
(ab)n=anbn(n为正整数)。
这就是说,积的乘方等于积的每个因式分别乘方,再把所得的幂相乘。
(ab)n=
=anbn
2、拓展训练:
教师活动:
三个或三个以上的积的乘方,如(abc)n,
学生活动:
回答出结果是(abc)n=anbncn。
方法:
课件出示题目;
小组合作,教师巡视;
集体订正,教师小结。
3、例:
计算
(1)(2b)3;
(2)(2×a3)2;(3)(-a)3;(4)(-3x)4。
方法:
课件出示题目;
小组合作,教师巡视;
集体订正,教师小结。
三、随堂练习,巩固深化:
1、课本P144练习。
计算下列各式:
(1)(-
)2·(-
)3;
(2)(a-b)3·(a-b)4;
(3)(-a5)5;(4)(-2xy)4;
(5)(3a2)n;(6)(xy3n)2-[(2x)2]3;
(7)(x4)6-(x3)8;(8)-p·(-p)4;
(9)(tm)2·t;(10)(a2)3·(a3)2。
方法:
课件出示题目;
学生独立计算;
集体订正,教师小结。
2、课堂总结,发展潜能。
(1)积的乘方(ab)n=anbn(n是正整数)。
使用范围:
底数是积的乘方。
方法:
把积的每一个因式分别乘方,再把所得的幂相乘。
(2)在运用幂的运算法则时,注意知识拓展,底数和指数可以是数,也可以是整式,对三个以上因式的积也适用。
(3)要注意运算过程,注意每一步依据,还应防止符号上的错误。
(4)在建构新的法则时应注意前面学过的法则与新法则的区别和联系。
3、课堂小结:
教师:
通过今天的学习,同学们有什么收获?
学生自由发言,教师小结。
四、布置作业:
1、课本P148习题15.1第1、2题。
2、练习册。
五、板书设计:
15.1.3积的乘方
1、积的乘方的乘法法则例:
练习:
课后小结:
本部分内容比较简单,但是因为这几节课学习的内容接近,所以部分学生在做练习的时候把这部分的内容混淆,应注意强调,多做一些对比练习。
第四课时、单项式乘以单项式
【教学内容】单项式乘以单项式
【教学目标】
知识与技能:
理解整式运算的算理,会进行简单的整式乘法运算。
培养学生推理能力、计算能力。
过程与方法:
经历探索单项式乘以单项式的过程,体会乘法结合律的作用和转化的思想,发展有条理的思考及语言表达能力。
情感与态度:
通过小组合作与交流,增强协作精神。
语言积累:
单项式与单项式相乘的运算法则:
单项式与单项式相乘,把它们的系数、相同字母的幂分别相乘,其余字母连同它的指数不变,放在积的因式中。
【教学重点】
单项式乘法运算法则的推导与应用。
【教学难点】
单项式乘法运算法则的推导与应用。
【教学用具】
课件。
【教学过程】
一、创设情境,操作导入:
手工比赛:
让学生在课前准备一张自己最满意的照片,自己制作一个美丽的像框。
上课之后,首先来做游戏,“才艺大献”,把自己的照片加一个美丽的像框,看谁在10分钟之内,可以装饰出美丽的照片,谁的最好,老师就送他个好礼物。
教师活动:
组织学生参加“才艺比赛”。
学生活动:
完成上述手工制作,与同伴交流。
教师引导:
在学生完成之后,教师拿出一张美丽的风景照片,提出问题:
你们看这幅美丽的风景图片,如何装饰它会更漂亮?
学生回答:
加一个美丽的像框。
引入课题:
假如要加一个美丽的像框,需要知道这幅图片的大小,现在告诉你,图片的长为mx,宽为x,你能计算出图片的面积吗?
学生活动:
动手列式,图片的面积为mx·x=?
二、探究学习,应用所学:
1、探究单项式乘法运算法则。
教师提问:
对于mx·x=?
的问题,前面我们已学习了乘法的运算律以及幂的运算法则,现在请你运用已学知识推导出它的结果。
学生活动:
先独立思考,再与同伴交流。
实际上mx·x=m(x·x)=m·x2=mx2。
拓展延伸:
请同学们继续计算mx·
x=?
学生活动:
先独立完成,再与同伴交流,踊跃上台演示。
mx·
x=m·
x·x=m·
x2=
mx2。
教师活动:
请部分学生上台演示,然后大家共同讨论。
继续探究:
计算:
(1)x·mx;
(2)2a2b·3ab3;(3)(abc)·b2c。
学生活动:
独立完成,再与同学交流。
总结新知:
我们根据自己做的题目的原则,得到单项式与单项式相乘的运算法则:
单项式与单项式相乘,把它们的系数、相同字母的幂分别相乘,其余字母连同它的指数不变,放在积的因式中。
2、例1:
计算
(1)3x2y·(-2xy3)
(2)(-5a2b3)·(-4b2c)
思路点拨:
例1的两个小题,可先利用乘法交换律、结合律变形成数与数相乘,同底数幂与同底数幂相乘的形式,单独一个字母照抄。
方法:
课件出示题目;
小组合作,教师巡视;
集体订正,教师小结。
3、例2:
卫星绕地球运动的速度(即第一宇宙速度)约为7.9×103米/秒,则卫星运行3×102秒所走的路程约是多少?
方法:
课件出示题目;
小组合作,教师巡视;
集体订正,教师小结。
三、问题讨论,加深理解:
1、提问:
(1)a·a可以看作是边长为a的正方形的面积,a·ab又怎样理解呢?
(2)想一想,你会说明a·b,3a·2a以及3a·5ab的几何意义吗?
教师活动:
问题牵引,引导学生思考,提问个别学生。
学生活动:
分四人小组,合作学习。
四、随堂练习,巩固深化:
1、课本P145练习第1、2题。
方法:
课件出示题目;
学生独立计算,教师巡视;
集体订正,教师小结。
2、总结:
本节内容是单项式乘以单项式,重点是放在对运算法则的理解和应用上。
提问:
(1)请同学们归纳出单项式乘以单项式的运算法则。
(2)在应用单项式乘以单项式运算法则时应注意些什么?
方法:
课件出示题目;
指名回答,集体订正。
3、课堂小结:
教师:
通过今天的学习,同学们有什么收获?
学生自由发言,教师小结。
五、布置作业:
1、课本P149习题15.1第3题。
2、选用课时作业设计。
六、板书设计:
15.1.4单项式乘以单项式
1、单项式乘以单项式的乘法法则例:
练习:
课后小结:
这部分内容不难,个别学生在进行计算时,字母相乘不知道使用同底数幂相乘,还是使用幂的乘方法则。
这点应注意。
第五课时、单项式与多项式相乘
【教学内容】单项式与多项式相乘
【教学目标】
知识与技能:
让学生通过适当尝试,获得一些直接的经验,体验单项式与多项式的乘法运算法则,会进行简单的整式乘法运算。
过程与方法:
经历探索单项式与多项式相乘的运算过程,体会乘法分配律的作用和转化思想,发展有条理地思考及语言表达能力。
情感与态度:
培养良好的探究意识与合作交流的能力,体会整式运算的应用价值。
语言积累:
单项式与多项式相乘法则:
单项式与多项式相乘,就是用单项式去乘多项式的每一项,再把所得的积相加。
【教学重点】
单项式与多项式相乘的法则。
【教学难点】
整式乘法法则的推导与应用。
【教学用具】
课件。
【教学过程】
一、回顾交流,课堂演练:
1、口述单项式乘以单项式法则。
方法:
指名回答,集体订正。
2、口述乘法分配律。
方法:
指名回答,集体订正。
3、课堂演练,计算:
(1)(-5x)·(3x)2
(2)(-3x)·(-x)(3)
xy·
xy2
(4)-5m2·(-
mn)(5)-
x4y6-2x2y·(-
x2y5)
方法:
课件出示题目。
学生独立完成,教师巡视。
指名板演,集体订正。
二、创设情境,引入新课:
1、引入:
小明作了一幅水彩画,所用纸的大小如图1,她在纸的左右两边各留了
a米的空白,请同学们列出这幅画的画面面积是多少?
方法:
课件出示题目。
小组合作,讨论。
学生分组汇报,教师小结。
2、探究单项式与多项式的乘法运算法则
夏天将要来临,有3家超市以相同价格n(单位:
元/台)销售A牌空调,他们在一年内的销售量(单位:
台)分别是x,y,z,请你采用不同的方法计算他们在这一年内销售这种空调的总收入。
方法:
课件出示题目。
小组合作,讨论。
学生分组汇报,教师小结。
方法一:
首先计算出这三家超市销售A牌空调的总量(单位:
台),再计算出总的收入(单位:
元)。
即:
n(x+y+z)。
方法二:
采用分别计算出三家超市销售A牌空调的收入,然后再计算出他们的总收入(单位:
元)。
即:
nx+ny+nz。
由此可得:
n(x+y+z)=nx+ny+nz。
教师活动:
引导学生在不同的代数式呈现中,找到规律:
单项式与多项式相乘,就是用单项式去乘多项式中的每一项,再把所得的积相加。
三、范例学习,应用所学:
1、例1:
计算(-2a2)·(3ab2-5ab3)
解:
原式=(-2a2)(3ab2)-(-2a2)·(5ab3)
=-6a3b2+10a3b3
方法:
课件出示题目。
学生分组讨论,教师巡视。
指名回答,集体订正。
2、例2:
化简-3x2·(
xy-y2)-10x·(x2y-xy2)
解:
原式=-x3y+3x2y2-10x3y+10x2y2
=-11x3y+13x2y2
方法:
课件出示题目。
学生独立完成,教师巡视。
指名回答,集体订正。
3、例3:
解方程8x(5-x)=19-2x(4x-3)
解:
40x-8x2=19-8x2+6x
40x-6x=19
34x=19
x=
方法:
课件出示题目。
学生独立完成,教师巡视。
指名回答,集体订正。
四、随堂练习,巩固深化
1、课本P146练习。
计算:
(1)5x2(2x2-3x3+8)
(2)-16x(x2-3y)
(3)-2a2(
ab2+b4)(4)(
x2y3-16xy)·
xy2
方法:
课件出示题目。
学生独立完成,教师巡视。
指名回答,集体订正。
2、课堂总结,发展潜能
(1)单项式与多项式相乘法则:
单项式与多项式相乘,就是用单项式去乘多项式的每一项,再把所得的积相加。
(2)单项式与多项式相乘,应注意
(1)“不漏乘”;
(2)注意“符号”。
3、课堂小结:
教师:
通过今天的学习,同学们有什么收获?
学生自由发言,教师小结。
五、布置作业:
1、课本P149习题15.1第4、6题。
六、板书设计
15.1.5单项式乘以多项式
1、单项式乘以多项式的乘法法则例:
练习:
课后小结:
这部分内容不难,个别学生在进行计算时,字母相乘不知道使用同底数幂相乘,还是使用幂的乘方法则。
这点应注意。
第六课时、多项式与多项式相乘
【教学内容】多项式与多项式相乘
【教学目标】
知识与技能:
让学生理解多项式乘以多项式的运算法则,能够按多项式乘法步骤进行简单的乘法运算。
过程与方法:
经历探索多项式与多项式相乘的运算法则的推理过程,体会其运算的算理。
情感与态度:
通过推理,培养学生计算能力,发展有条理的思考,逐步形成主动探索的习惯。
语言积累:
多项式与多项式相乘,用第一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项,再把所得的结果相加。
【教学重点】
多项式与多项式的乘法法则的理解及应用。
【教学难点】
多项式与多项式的乘法法则的应用。
【教学用具】
课件。
【教学过程】
一、创设情境,操作感知:
动手操作。
首先,在你的硬纸板上用直尺画出一个矩形,并且分成如下图1所示的四部分,标上字母。
学生活动:
拿出准备好的硬纸板,画出上图1,并标上字母。
教师活动:
要求学生根据图中的数据,求一下这个矩形的面积。
学生活动:
与同伴交流,计算出它的面积为:
(m+b)×(n+a)。
教师引导:
请同学们将纸板上的矩形沿你所画竖着的线段将它剪开,分成如下图两部分,如图2。
剪开之后,分别求一下这两部分的面积,再求一下它们的和。
学生活动:
分四人小组,合作探究,求出第一块的面积为m(n+a),第二块的面积为b(n+a),它们的和为m(n+a)+b(n+a)。
教师活动:
组织学生继续沿着横的线段剪开,将图形分成四部分,如图3,然后再求这四块长方形的面积。
学生活动:
分四人小组合作学习,求出S1=mn;S2=nb;S3=am;S4=ab,它们的和为S=mn+nb+am+ab。
教师提问:
依据上