届步步高数学大一轮复习讲义理科第十三章 132 第1课时绝对值不等式.docx

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届步步高数学大一轮复习讲义理科第十三章132第1课时绝对值不等式

§13.2　不等式选讲

第1课时　绝对值不等式

最新考纲

考情考向分析

1.理解绝对值的几何意义，并了解下列不等式成立的几何意义及取等号的条件：

|a＋b|≤|a|＋|b|（a，b∈R）；|a－c|≤|a－b|＋|b－c|（a，b，c∈R）．

2.会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：

|ax＋b|≤c；|ax＋b|≥c；|x－a|＋|x－b|≥c.

本节题目常见的是解绝对值不等式、利用不等式恒成立求参数的值或范围，求含有绝对值的函数最值也是考查的热点．求解的一般方法是去掉绝对值，也可以借助数形结合求解．在高考中主要以解答题的形式考查，难度为中、低档.

1．绝对值不等式的解法

（1）含绝对值的不等式|x|a的解集

不等式

a>0

a＝0

a<0

|x|

（－a，a）

∅

∅

|x|>a

（－∞，－a）∪（a，＋∞）

（－∞，0）∪（0，＋∞）

R

（2）|ax＋b|≤c（c>0）和|ax＋b|≥c（c>0）型不等式的解法

①|ax＋b|≤c⇔－c≤ax＋b≤c；

②|ax＋b|≥c⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－c.

（3）|x－a|＋|x－b|≥c（c>0）和|x－a|＋|x－b|≤c（c>0）型不等式的解法

①利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；

②利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；

③通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．

2．含有绝对值的不等式的性质

（1）如果a，b是实数，则||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|.

（2）如果a，b，c是实数，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，当且仅当（a－b）（b－c）≥0时，等号成立．

概念方法微思考

1．绝对值三角不等式的向量形式及几何意义是什么？

提示　当a，b不共线时，|a|＋|b|>|a＋b|，它的几何意义就是三角形的两边之和大于第三边．

2．用“零点分段法”解含有n个绝对值的不等式时，需把数轴分成几段？

提示　一般地，n个绝对值对应n个零点，n个零点应把数轴分成（n＋1）段．

题组一　思考辨析

1．判断下列结论是否正确（请在括号中打“√”或“×”）

（1）若|x|>c的解集为R，则c≤0.（　×　）

（2）不等式|x－1|＋|x＋2|<2的解集为∅.（　√　）

（3）对|a＋b|≥|a|－|b|当且仅当a>b>0时等号成立．（　×　）

（4）对|a－b|≤|a|＋|b|当且仅当ab≤0时等号成立．（　√　）

题组二　教材改编

2．不等式3≤|5－2x|<9的解集为（　　）

A．[－2,1）∪[4,7）B．（－2,1]∪（4,7]

C．（－2，－1]∪[4,7）D．（－2,1]∪[4,7）

答案　D

解析　由题意得

即

解得

不等式的解集为（－2,1]∪[4,7）．

3．求不等式|x－1|－|x－5|<2的解集．

解　

（1）当x≤1时，原不等式可化为1－x－（5－x）<2，

∴－4<2，不等式恒成立，∴x≤1；

（2）当1

∴x<4，∴1

（3）当x≥5时，原不等式可化为x－1－（x－5）<2，该不等式不成立．

综上，原不等式的解集为（－∞，4）．

题组三　易错自纠

4．设x∈R，则“x3<1”是“

<

”的（　　）

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充要条件D．既不充分也不必要条件

答案　B

解析　由x3<1可得x<1，

由

<

可得0

所以“x3<1”是“

<

”的必要不充分条件．故选B.

5．若对任意的x∈R，不等式|x－1|－|x＋2|≤|2a－1|恒成立，则实数a的取值范围为_________．

答案　（－∞，－1]∪[2，＋∞）

解析　∵y＝|x－1|－|x＋2|≤|（x－1）－（x＋2）|＝3，

∴要使|x－1|－|x＋2|≤|2a－1|恒成立，

则|2a－1|≥3,2a－1≥3或2a－1≤－3，

即a≥2或a≤－1，

∴实数a的取值范围是（－∞，－1]∪[2，＋∞）．

6．设a，b∈R，|a－b|>2，则关于实数x的不等式|x－a|＋|x－b|>2的解集是________．

答案　R

解析　∵|x－a|＋|x－b|≥|（x－a）－（x－b）|＝|b－a|＝|a－b|.又∵|a－b|>2，∴|x－a|＋|x－b|>2恒成立，即该不等式的解集为R.

绝对值不等式的解法

例1　已知函数f（x）＝|x＋1|－2|x－a|，a>0.

（1）当a＝1时，求不等式f（x）>1的解集；

（2）若f（x）的图象与x轴围成的三角形的面积大于6，求a的取值范围．

解　

（1）当a＝1时，

f（x）>1化为|x＋1|－2|x－1|－1>0.

当x≤－1时，不等式化为x－4>0，无解；

当－10，解得

当x≥1时，不等式化为－x＋2>0，解得1≤x<2.

所以f（x）>1的解集为

.

（2）由题设可得，f（x）＝

所以函数f（x）的图象与x轴围成的三角形的三个顶点分别为A

，B（2a＋1,0），C（a，a＋1），

△ABC的面积为

（a＋1）2.

由题设得

（a＋1）2>6，故a>2.

所以a的取值范围为（2，＋∞）．

思维升华　解绝对值不等式的基本方法

（1）利用绝对值的定义，通过分类讨论转化为解不含绝对值符号的普通不等式．

（2）当不等式两端均为正号时，可通过两边平方的方法，转化为解不含绝对值符号的普通不等式．

（3）利用绝对值的几何意义，数形结合求解．

跟踪训练1　（2020·四川省成都石宝中学模拟）已知函数f（x）＝|x－a|，其中a>1.

（1）当a＝2时，求不等式f（x）≥4－|x－4|的解集；

（2）已知关于x的不等式|f（2x＋a）－2f（x）|≤2的解集为{x|1≤x≤2}，求a的值．

解　

（1）当a＝2时，f（x）＋|x－4|＝

当x≤2时，由f（x）≥4－|x－4|得－2x＋6≥4，

解得x≤1；

当2

当x≥4时，由f（x）≥4－|x－4|得2x－6≥4，

解得x≥5，

所以f（x）≥4－|x－4|的解集为{x|x≤1或x≥5}．

（2）记h（x）＝f（2x＋a）－2f（x），

则h（x）＝

由|h（x）|≤2，解得

≤x≤

.

又|h（x）|≤2的解集为{x|1≤x≤2}，

所以

解得a＝3.

绝对值不等式中的最值

例2　（2020·昆明诊断）已知函数f（x）＝|2x＋1|－|x－1|.

（1）求不等式f（x）>1的解集；

（2）若不等式f（x）

解　

（1）原不等式等价于|2x＋1|－|x－1|>1，

等价于

或

或

解得x<－3或

所以原不等式的解集为

.

（2）由f（x）

m>－x2－x＋|2x＋1|－|x－1|.

令g（x）＝－x2－x＋|2x＋1|－|x－1|，

则由题意知m>g（x）max，

又g（x）＝

由图知g（x）max＝1.

所以m>1.

思维升华　求含绝对值的函数最值时，常用的方法有三种

（1）利用绝对值的几何意义．

（2）利用绝对值三角不等式，即|a|＋|b|≥|a±b|≥||a|－|b||.

（3）利用零点分区间法，转化为分段函数求最值．

跟踪训练2　（2020·南宁模拟）已知函数f（x）＝|x－1|.

（1）解关于x的不等式f（x）＋x2－1>0；

（2）设g（x）＝－|x＋3|＋m，f（x）

解　

（1）f（x）＝|x－1|＝

所以f（x）＋x2－1>0即为

或

解得x>1或x<0.

（2）因为g（x）＝－|x＋3|＋m，f（x）

所以|x－1|＋|x＋3|

令h（x）＝|x－1|＋|x＋3|，

由题意知m>h（x）min，

因为h（x）＝|x－1|＋|x＋3|≥|x－1－x－3|＝4，

当且仅当（x－1）（x＋3）≤0时等号成立，

所以h（x）min＝4，

所以m>4.

绝对值不等式的综合应用

例3　已知函数f（x）＝|x－a|－

，a∈R.

（1）若将函数f（x）的图象向左平移m个单位长度后，得到函数g（x），要使g（x）≥f（x）－1恒成立，求实数m的最大值；

（2）当a>

时，函数h（x）＝f（x）＋|2x－1|存在零点，求实数a的取值范围．

解　

（1）由函数f（x）向左平移m个单位长度可知，

函数g（x）＝|x＋m－a|－

，

要使g（x）≥f（x）－1恒成立，则f（x）－g（x）≤1，

即|x－a|－|x＋m－a|≤1恒成立，

因为|x－a|－|x＋m－a|≤|x－a－（x＋m－a）|＝|m|，

所以只需|m|≤1，即实数m的最大值为1.

（2）当a>

时，函数h（x）＝|x－a|＋|2x－1|－

＝

若函数h（x）存在零点，

则满足函数h（x）min＝h

＝a－

－

≤0，

即

因为函数y＝x－

与函数y＝

的图象有且只有一个交点

，

所以实数a的取值范围为

.

思维升华　

（1）解决与绝对值有关的综合问题的关键是去掉绝对值，化为分段函数来解决．

（2）数形结合是解决与绝对值有关的综合问题的常用方法．

跟踪训练3　（2019·全国Ⅱ）已知f（x）＝|x－a|x＋|x－2|（x－a）．

（1）当a＝1时，求不等式f（x）<0的解集；

（2）若x∈（－∞，1）时，f（x）<0，求a的取值范围．

解　

（1）当a＝1时，f（x）＝|x－1|x＋|x－2|（x－1）．

当x<1时，f（x）＝－2（x－1）2<0；当x≥1时，f（x）≥0.

所以，不等式f（x）<0的解集为（－∞，1）．

（2）因为f（a）＝0，所以a≥1.

当a≥1，x∈（－∞，1）时，f（x）＝（a－x）x＋（2－x）（x－a）＝2（a－x）（x－1）<0.

所以，a的取值范围是[1，＋∞）．

1．对于任意实数a，b，已知|a－b|≤1，|2a－1|≤1，且恒有|4a－3b＋2|≤m，求实数m的取值范围．

解　因为|a－b|≤1，|2a－1|≤1，

所以|3a－3b|≤3，

≤

，

所以|4a－3b＋2|＝

≤|3a－3b|＋

＋

≤3＋

＋

＝6，

即|4a－3b＋2|的最大值为6，

所以m≥|4a－3b＋2|max＝6.

即实数m的取值范围为[6，＋∞）．

2．已知函数f（x）＝|2x＋3|－|x－a|（a∈R）．

（1）当a＝1时，解不等式f（x）≥2；

（2）若关于x的不等式f（x）≥|x－3|的解集包含[3,5]，求a的取值范围．

解　

（1）当a＝1时，不等式f（x）≥2，

即|2x＋3|－|x－1|≥2，

所以

或

或

解得x≤－6或x≥0，

所以不等式f（x）≥2的解集为（－∞，－6]∪[0，＋∞）．

（2）关于x的不等式f（x）≥|x－3|的解集包含[3,5]，

即|2x＋3|－|x－3|≥|x－a|在[3,5]上恒成立，

即x＋6≥|x－a|在[3,5]上恒成立，

即－6≤a≤2x＋6在x∈[3,5]上恒成立，

解得－6≤a≤12，

∴a的取值范围是[－6,12]．

3．已知函数f（x）＝|x|＋|x－a|.

（1）当a＝2时，求不等式f（x）<4的解集；

（2）若f（x）≥1对任意x∈R成立，求实数a的取值范围．

解　

（1）当a＝2时，不等式f（x）<4可化为|x|＋|x－2|<4.

讨论：

①当x<0时，不等式等价于－x－（x－2）<4，

所以x>－1，所以－1

②当0≤x≤2时，不等式等价于x－（x－2）<4，

所以2<4，所以0≤x≤2；

③当x>2时，不等式等价于x＋（x－2）<4，

所以x<3，所以2

综上，当a＝2时，不等式f（x）<4的解集为{x|－1

（2）因为|x－（x－a）|≤|x|＋|x－a|，

所以|x|＋|x－a|≥|a|.

又因为f（x）＝|x|＋|x－a|≥1对任意x∈R成立，所以1≤|a|，所以a≤－1或a≥1.

故实数a的取值范围为（－∞，－1]∪[1，＋∞）．

4．（2019·湖南师范大学附属中学模拟）已知函数f（x）＝|x＋1|＋|3x＋a|.

（1）当a＝－1时，解不等式f（x）≥2；

（2）若存在x0满足f（x0）＋2|x0＋1|<1，求实数a的取值范围．

解　

（1）当a＝－1时，f（x）＝|x＋1|＋|3x－1|，

当x≥

时，不等式等价于x＋1＋3x－1≥2，

解得x≥

，∴x≥

；

当－1

时，不等式等价于x＋1－3x＋1≥2，

解得x≤0，∴－1

当x≤－1时，不等式等价于－x－1－3x＋1≥2，

解得x≤－

，∴x≤－1.

综上所述，原不等式的解集为

.

（2）由f（x0）＋2|x0＋1|<1，

得3|x0＋1|＋|3x0＋a|<1，

而3|x0＋1|＋|3x0＋a|＝|3x0＋3|＋|3x0＋a|≥|（3x0＋3）－（3x0＋a）|＝|3－a|，

（当且仅当（3x0＋3）（3x0＋a）≤0时等号成立）

由题意可知（f（x）＋2|x＋1|）min<1，即|a－3|<1，

解得2

所以实数a的取值范围是（2,4）．

5．（2020·绵阳诊断）已知函数f（x）＝|2x－1|＋|x＋m|.

（1）当m＝1时，解不等式f（x）≥3；

（2）证明：

对任意x∈R,2f（x）≥|m＋1|－|m|.

（1）解　由m＝1，得f（x）＝|2x－1|＋|x＋1|，

当x≤－1时，f（x）＝－3x≥3，解得x≤－1；

当－1

时，f（x）＝－x＋2≥3，

解得x≤－1，与－1

矛盾，舍去；

当x≥

时，f（x）＝3x≥3，解得x≥1.

综上，不等式f（x）≥3的解集为（－∞，－1]∪[1，＋∞）．

（2）证明　2f（x）＝|4x－2|＋|2x＋2m|

＝|2x－1|＋|2x－1|＋|2x＋2m|

≥|2x－1|＋|2x＋2m|

≥|（2x＋2m）－（2x－1）|

＝|2m＋1|＝|（m＋1）＋m|

≥|m＋1|－|m|，

∴不等式2f（x）≥|m＋1|－|m|成立．

6．设f（x）＝|x＋1|－|2x－1|.

（1）求不等式f（x）≤x＋2的解集；

（2）若不等式满足f（x）≤

|x|（|a－2|＋|a＋1|）对任意实数（x≠0）恒成立，求实数a的取值范围．

解　

（1）根据题意可知，原不等式为|x＋1|－|2x－1|≤x＋2，

等价于

或

或

解得x<－1或－1≤x≤

或x>

.

综上可得不等式f（x）≤x＋2的解集为R.

（2）不等式f（x）≤

|x|（|a－2|＋|a＋1|）等价于

≤

（|a－2|＋|a＋1|），

因为

＝

≤

＝3，

当且仅当

≤0时取等号，

因为

≤

（|a－2|＋|a＋1|），

所以|a－2|＋|a＋1|≥6，

解得a≤－

或a≥

，

故实数a的取值范围为

∪

.