学年北师大版数学八年级上册《第一章勾股定理》单元测试题含答案.docx

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学年北师大版数学八年级上册《第一章勾股定理》单元测试题含答案

第一章勾股定理单元测试题

一、选择题（每题3分，共30分）

1．下列由线段a，b，c组成的三角形是直角三角形的是（　　）

A．a＝1，b＝2，c＝3B．a＝2，b＝3，c＝4

C．a＝3，b＝4，c＝5D．a＝4，b＝5，c＝6

2．如图1所示，∠AOC＝∠BOC，点P在OC上，PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E.若OD＝8，OP＝10，则PE的长为（　　）

图1

A．5B．6

C．7D．8

3．下列结论中，错误的有（　　）

①在Rt△ABC中，已知两边长分别为3和4，则第三边的长为5；②△ABC的三边长分别为a，b，c，若a2＋b2＝c2，则∠A＝90°；③在△ABC中，若∠A∶∠B∶∠C＝1∶5∶6，则△ABC是直角三角形；④若三角形的三边长之比为3∶4∶5，则该三角形是直角三角形．

A．0个B．1个C．2个D．3个

4．如图2，将长为8cm的橡皮筋放置在地面上，固定两端点A和B，然后把中点C向上拉升3cm至点D，则橡皮筋被拉长了（　　）

图2

A．2cmB．3cmC．4cmD．5cm

5．将面积为8π的半圆与两个正方形按图3所示的方式摆放，则这两个正方形面积的和为（　　）

图3

A．16B．32C．8πD．64

6．若△ABC的三边长a，b，c满足

＋

＋

＝0，则下列对此三角形的形状描述最确切的是（　　）

A．等边三角形B．等腰三角形

C．等腰直角三角形D．直角三角形

7．如图4所示，AC⊥BD，O为垂足，设m＝AB2＋CD2，n＝AD2＋BC2，则m，n的大小关系为（　　）

图4

A．m＜nB．m＝n

C．m＞nD．不确定

8．如图5，点D在△ABC的边AC上，将△ABC沿BD翻折后，点A恰好与点C重合．若BC＝5，CD＝3，则BD的长为（　　）

图5

A．1B．2C．3D．4

9．如图6，设正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，黑甲壳虫从点A出发，白甲壳虫从点C1出发，它们以相同的速度分别沿棱向前爬行．黑甲壳虫爬行的路线是：

AA1→A1D1→D1C1→C1C→CB→BA→AA1→A1D1…，白甲壳虫爬行的路线是：

C1C→CB→BB1→B1C1→C1C→CB…，那么当黑、白两个甲壳虫各爬行完第2018条棱分别停止在所到的正方体顶点处时，它们之间的最短路程的平方是（　　）

图6

A．2B．3C．4D．5

10．如图7所示，在长方形纸片ABCD中，已知AD＝8，折叠纸片使AB边与对角线AC重合，点B落在点F处，折痕为AE，且EF＝3，则AB的长为（　　）

图7

A．3B．4C．5D．6

二、填空题（每题3分，共18分）

11．在△ABC中，若AC2＋BC2＝AB2，∠A∶∠B＝1∶2，则∠B的度数是________．

12．古希腊的哲学家柏拉图曾指出：

如果m表示大于1的整数，a＝2m，b＝m2－1，c＝m2＋1，那么a，b，c为勾股数．请你利用这个结论得出一组勾股数是____________．

13．木工师傅做了一个桌面，要求桌面为长方形，现量得桌面的长为60cm，宽为32cm，对角线的长为68cm，则这个桌面________．（填“合格”或“不合格”）

14．一座垂直于两岸的桥长27米，一艘小船自桥北头出发，向正南方向驶去，因水流原因，到达南岸后，发现已偏离桥南头36米，则小船实际行驶了________米．

15．如图8所示，把长方形纸片ABCD沿EF，GH同时折叠，B，C两点恰好都落在AD边上的点P处，若∠FPH＝90°，PF＝8，PH＝6，则BC边的长为________．

图8

16．我国数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”．如图9，它是用八个全等的直角三角形拼接而成的，记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3，若S1＋S2＋S3＝15，则S2的值是________．

图9

三、解答题（共52分）

17．（6分）如图10，△ABC中，D是BC上的一点，AB＝10，BD＝6，AD＝8，AC＝17.

（1）判断AD与BC的位置关系，并说明理由；

（2）求△ABC的面积．

图10

18．（6分）如图11所示，在长方形ABCD中，AB＝CD＝24，AD＝BC＝50，E是AD上一点，且AE∶DE＝9∶16，判断△BEC的形状．

　图11

19．（6分）如图12是某同学设计的机器人比赛时行走的路径，机器人从A处先往东走4m，又往北走1.5m，遇到障碍后又往西走2m，再转向北走4.5m处往东一拐，仅走0.5m就到达了B处，则点A，B之间的距离是多少？

图12

20．（6分）如图13所示，有两根长杆隔河相对，一杆高3m，另一杆高2m，两杆相距5m．两根长杆都与地面垂直，现两杆顶部各有一只鱼鹰，它们同时看到两杆之间的河面上E处浮出一条小鱼，于是同时以同样的速度飞下来夺鱼，结果两只鱼鹰同时叼住小鱼．求两杆底部距小鱼的距离各是多少米．（假设小鱼在此过程中保持不动）

图13

21．（6分）如图14，河边有A，B两个村庄，A村距河边10m，B村距河边30m，两村平行于河边方向的水平距离为30m，现要在河边建一抽水站，需铺设管道抽水到A村和B村．

（1）求铺设管道的最短长度是多少，请画图说明；

（2）若铺设管道每米需要500元，则最低费用为多少？

图14

22.（6分）有一个如图15所示的长方体的透明鱼缸，假设其长AD＝80cm，高AB＝60cm，水深AE＝40cm，在水面上紧贴内壁G处有一鱼饵，G在水面线EF上，且EG＝60cm.一小虫想从鱼缸外的点A处沿缸壁爬到鱼缸内G处吃鱼饵．

（1）小虫应该走怎样的路线才可使爬行的路程最短？

请画出它的爬行路线，并用箭头标注；

（2）试求小虫爬行的最短路程．

图15

23．（8分）如图16，在由6个大小相同的小正方形组成的方格中，设每个小正方形的边长均为1.

（1）如图①，A，B，C是三个格点（即小正方形的顶点），判断AB与BC的位置关系，并说明理由；

（2）如图②，连接三格和两格的对角线，求∠α＋∠β的度数（要求：

画出示意图，并说明理由）．

图16

24．（8分）八年级（3）班开展了手工制作竞赛，每名同学都需在规定时间内完成一件手工作品．陈莉同学在制作手工作品时的第一、二个步骤是：

①如图17，先裁下一张长BC＝20cm，宽AB＝16cm的长方形纸片ABCD；②将纸片沿着直线AE折叠，点D恰好落在BC边上的点F处．请你根据步骤①②解答下列问题：

（1）找出图中∠FEC的余角；

（2）求EC的长．

图17

答案

1．C　2．B　3．C　4．A5．D　6．C　7．B　8．D　9.D10．D　

11．60°　

12．答案不唯一，如20，99，101　13．合格　14．45

15．24　16．5

17．解：

（1）AD⊥BC.理由如下：

因为BD2＋AD2＝62＋82＝102＝AB2，

所以△ABD是直角三角形，且∠ADB＝90°，

所以AD⊥BC.

（2）在Rt△ACD中，因为CD2＝AC2－AD2＝172－82＝152，所以CD＝15，

所以S△ABC＝

BC·AD＝

（BD＋CD）·AD＝

×21×8＝84.

18．解：

因为AD＝50，AE∶DE＝9∶16，所以AE＝18，DE＝32.

在Rt△ABE中，由勾股定理，得BE2＝AB2＋AE2＝242＋182＝900.

在Rt△CDE中，由勾股定理，得CE2＝DE2＋CD2＝322＋242＝1600.

在△BCE中，因为BE2＋CE2＝900＋1600＝2500＝502＝BC2，所以△BEC是直角三角形．

19．解：

如图，过点B作BC⊥AD于点C，由图可知AC＝4－2＋0.5＝2.5（m），BC＝4.5＋1.5＝6（m）．在Rt△ABC中，AB2＝AC2＋BC2＝2.52＋62＝42.25，所以AB＝6.5（m），即点A，B之间的距离是6.5m.

20．解：

由题意可知AB＝2m，CD＝3m，BC＝5m，AE＝DE.

设BE＝xm，则EC＝（5－x）m.

在Rt△ABE中，由勾股定理，得AE2＝AB2＋BE2.

在Rt△DCE中，由勾股定理，得DE2＝CD2＋EC2.

所以AB2＋BE2＝CD2＋EC2，即22＋x2＝32＋（5－x）2，解得x＝3，则5－x＝2.

所以杆AB底部距小鱼3m，杆CD底部距小鱼2m.

21．解：

（1）如图，过点A作AC⊥CE于点C，延长AC至点D，使CD＝AC，连接BD，交河边于点E，连接AE，则抽水站应建在点E处，可使铺设的管道最短，最短长度为AE＋BE，即BD的长．

过点B作BF⊥AC于点F，

由题意得：

AC＝10m，CF＝30m，BF＝30m，

所以CD＝AC＝10m，

所以DF＝10＋30＝40（m）．

在Rt△BDF中，BD2＝302＋402＝502，

所以BD＝50（m）．

即铺设管道的最短长度是50m.

（2）最低费用为50×500＝25000（元）．

22．解：

（1）如图所示，AQ→QG为最短路线．

（2）因为AE＝40cm，AA′＝120cm，所以A′E＝120－40＝80（cm）．因为EG＝60cm，所以A′G2＝A′E2＋EG2＝802＋602＝10000，所以A′G＝100cm，所以AQ＋QG＝A′Q＋QG＝A′G＝100cm，所以小虫爬行的最短路程为100cm.

23．解：

（1）AB⊥BC.理由：

如图①，连接AC.由勾股定理可得AB2＝12＋22＝5，BC2＝12＋22＝5，AC2＝12＋32＝10，所以AB2＋BC2＝AC2，所以△ABC是直角三角形且∠ABC＝90°，所以AB⊥BC.

（2）∠α＋∠β＝45°.理由：

如图②，由勾股定理得AB2＝12＋22＝5，BC2＝12＋22＝5，AC2＝12＋32＝10，所以AB2＋BC2＝AC2，所以△ABC是直角三角形且∠ABC＝90°.又因为AB＝BC，所以△ABC是等腰直角三角形，所以∠BAC＝45°，即∠α＋∠γ＝45°.由图可知∠β＝∠γ，所以∠α＋∠β＝45°.

24．解：

（1）∠CFE，∠BAF.

（2）由折叠的性质，得AF＝AD＝20cm，EF＝DE.设EC＝xcm，则EF＝DE＝（16－x）cm.

在Rt△ABF中，BF2＝AF2－AB2＝202－162＝144，所以BF＝12（cm），

所以FC＝BC－BF＝20－12＝8（cm）．

在Rt△EFC中，由勾股定理，得EF2＝FC2＋EC2，即（16－x）2＝82＋x2，解得x＝6，

所以EC的长为6cm.