综合评价与决策方法.docx
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综合评价与决策方法
综合评价与决策方法及其计算机软件实现
评价方法大体上可分为两类，其主要区别在确定权重的方法上。
一类是主观赋权法，多
数采取综合咨询评分确定权重，如综合指数法、模糊综合评判法、层次分析法、功效系数法
等。
另一类是客观赋权，根据各指标间相关关系或各指标值变异程度来确定权数，如主成分
分析法、因子分析法、理想解法（也称TOPSIS法）等。
目前国内外综合评价方法有数十种
之多，其中主要使用的评价方法有主成分分析法、因子分析、TOPSIS、秩和比法、灰色关
联、熵权法、层次分析法、模糊评价法、灰色理论法、物元分析法、聚类分析法、价值工程
法、神经网络法等。
1．理想解法
目前已有许多解决多属性决策的排序法，如理想点法、简单线性加权法、加权平方和
法、主成分分析法、功效系数法、可能满意度法、交叉增援矩阵法等。
本节介绍多属性决策
问题的理想解法，理想解法亦称为TOPSIS法，是一种有效的多指标评价方法。
这种方法通
过构造评价问题的正理想解和负理想解，即各指标的最优解和最劣解，并用靠近正理想解
和远离负理想解的程度，通过计算每个方案到理想方案的相对贴近度来对方案进行排序，
从而选出最优方案。
1.1方法和原理
设多属性决策方案集为A={a1,a2,,am}，衡量方案优劣的属性向量为
X={x1,,xn}，这时方案集A中的每个方案ai（i=1,,m）的n个属性值构成的向量
是Xi=（xi1,,xin），它作为n维空间中的一个点，能唯一地表征方案ai。
*
0
*
0
案；并可以据此排定方案集A中各备选方案的优先序。
用理想解法求解多属性决策问题的概念简单，只要在属性空间定义适当的距离测度就能
计算备选方案与理想解。
TOPSIS法所用的是欧氏距离。
至于既用正理想解又用负理想解是
因为在仅仅使用正理想解时有时会出现某两个备选方案与正理想解的距离相同的情况，为了
区分这两个方案的优劣，引入负理想解并计算这两个方案与负理想解的距离，与正理想解的
距离相同的方案离负理想解远者为优。
1.2TOPSIS法的算法步骤
TOPSIS法的具体算法如下。
步骤一，用向量规划化的方法求得规范决策矩阵。
设多属性决策问题的决策矩阵X=（xij）m⨯n，规范化决策矩阵Y=（yij）m⨯n，则
yij=xij
m
i=1
2
ij
，i=1,2,,m，j=1,2,,n
（1）
步骤二，构成加权规范阵Z=（zij）m⨯n。
T
zij=wj⋅xij，i=1,2,,m，j=1,2,,n
*0
**00
（2）
*i
⎪⎩minzij,
j为效益型属性
j为成本型属性
，j=1,2,,n
（3）
正理想解Z是一个方案集A中并不存在的虚拟的最佳方案，它的每个属性值都是决策
矩阵中该属性的最好值；而负理想解Z则是虚拟的最差方案，它的每个属性值都是决策矩
阵中该属性的最差值。
在n维空间中，将方案集A中的各备选方案ai与正理想解Z和负理
想解Z的距离进行比较，既靠近正理想解又远离负理想解的方案就是方案集A中的最佳方
∑x
设由决策人给定各属性的权重向量为w=（w1,w2,,wn），则
步骤三，确定正理想解Z和负理想解Z。
设正理想解Z的第j个属性值为zj，负理想解Z第j个属性值为zj，则
⎧⎪maxzij,
正理想解zj=⎨
i
⎪⎩minzij,
j为成本型属性
j为效益型属性
，j=1,2,,n
（4）
步骤四，计算各方案到正理想解与负理想解的距离。
备选方案ai到正理想解的距离为
di*=
n
j=1
ij
-z*j）2，
i=1,2,,m
（5）
备选方案ai到负理想解的距离为
di0=
n
j=1
ij
-z0j）2，i=1,2,,m
（6）
步骤五，计算各方案的排队指标值（即综合评价指数）。
Ci*=di0/（di0+d*j），i=1,2,,m
（7）
*
i
1.3示例
例1研究生院试评估。
为了客观地评价我国研究生教育的实际状况和各研究生院的教学质量，国务院学位委员
会办公室组织过一次研究生院的评估。
为了取得经验，先选5所研究生院，收集有关数据资
料进行了试评估，表1是所给出的部分数据。
表1研究生院试评估的部分数据
i
1
2
3
4
5
j
人均专著x1
（本/人）
0.1
0.2
0.4
0.9
1.2
生师比x2
5
6
7
10
2
科研经费x3
（万元/年）
5000
6000
7000
10000
400
逾期毕业率x4
（%）
4.7
5.6
6.7
2.3
1.8
解：
第一步，数据预处理
数据的预处理又称属性值的规范化。
属性值具有多种类型，包括效益型、成本型和区间型等。
这三种属性，效益型属性越大
越好，成本型属性越小越好，区间型属性是在某个区间最佳。
在进行决策时，一般要进行属性值的规范化，主要有如下三个作用：
①属性值有多种
类型，上述三种属性放在同一个表中不便于直接从数值大小判断方案的优劣，因此需要对数
据进行预处理，使得表中任一属性下性能越优的方案变换后的属性值越大。
②非量纲化，
多属性决策与评估的困难之一是属性间的不可公度性，即在属性值表中的每一列数具有不同
的单位（量纲）。
即使对同一属性，采用不同的计量单位，表中的数值也就不同。
在用各种
多属性决策方法进行分析评价时，需要排除量纲的选用对决策或评估结果的影响，这就是非
量纲化。
③归一化，属性值表中不同指标的属性值的数值大小差别很大，为了直观，更为了
便于采用各种多属性决策与评估方法进行评价，需要把属性值表中的数值归一化，即把表中
数值均变换到[0，1]区间上。
此外，还可在属性规范时用非线形变换或其它办法，来解决或部分解决某些目标的达到
程度与属性值之间的非线性关系，以及目标间的不完全补偿性。
常用的属性规范化方法有以
下几种。
（1）线性变换
原始的决策矩阵为X=（xij）m⨯n，变换后的决策矩阵记为Y=（yij）m⨯n，i=1,,m，
j=1,,n。
设xmax是决策矩阵第j列中的最大值，xmin是决策矩阵第j列中的最小值。
若
j为效益型属性，则
⎧⎪maxzij,
负理想解z0j=⎨
∑（z
∑（z
步骤六，按C由大到小排列方案的优劣次序。
jj
yij=xij/ymax
采用上式进行属性规范化时，经过变换的最差属性值不一定为0，最佳属性值为1。
若j为成本型属性，则
yij=1-xij/xmax
（8）
（9）
采用上式进行属性规范时，经过变换的最佳属性值不一定为1，最差属性值为0。
（2）标准0－1变换
为了使每个属性变换后的最优值为1且最差值为0，可以进行标准0－1变换。
对效益
型属性j，令
对成本型属性j，令
yij=
yij=
xij-xmjin
xmjax-xmjin
xmjax-xij
xmjax-xmjin
（10）
（11）
（3）区间型属性的变换
有些属性既非效益型又非成本型，如生师比。
显然这种属性不能采用前面介绍的两种
方法处理。
0*'"
⎧1-（x0j-xij）/（x0j-x'j）,若x'j≤xij⎪
0*
yij=⎨
*"**"
⎪
其它
（12）
变换后的属性值yij与原属性值xij之间的函数图形为一般梯形。
当属性值最优区间的上下限
相等时，最优区间退化为一个点时，函数图形退化为三角形。
'"
见表2。
表2
表2的属性2的数据处理
i
1
2
3
4
5
j
生师比x2
5
6
7
10
2
y2'
1
1
0.8333
0.3333
0
计算的Matlab程序如下：
functionmain
qujian=[5,6];lb=2;ub=12;
x=[567102]';
y=guifanhua（qujian,lb,ub,x）
functiony=guifanhua（qujian,lb,ub,x）;
y=（1-（qujian
（1）-x）./（qujian
（1）-lb））.*（x>=lb&
x（1））+（x>=qujian
（1）&
x<=qujian
（2））+（1-（x-qujian
（2））./（ub-qujian
（2）））.*（x>qujian
（2）&
x<=ub）;
j
j
设给定的最优属性区间为[xj,xj]，xj为无法容忍下限，xj为无法容忍上限，则
⎪1,若xj≤xij≤xj
⎪1-（xij-xj）/（xj-xj）,若xj⎩0,
设研究生院的生师比最佳区间为[5,6]，x2=2，x2=12。
表1的属性2的数据处理
（4）向量规范化
无论成本型属性还是效益型属性，向量规范化均用下式进行变换
yij=xij
n
i=1
2
ij
（13）
这种变换也是线性的，但是它与前面介绍的几种变换不同，从变换后属性值的大小上无法分
辨属性值的优劣。
它的最大特点是，规范化后，各方案的同一属性值的平方和为1，因此常
用于计算各方案与某种虚拟方案（如理想点或负理想点）的欧氏距离的场合。
（5）标准化处理
在实际问题中，不同变量的测量单位往往是不一样的。
为了消除变量的量纲效应，使每
个变量都具有同等的表现力，数据分析中常对数据进行标准化处理，即
yij=
xij-xj
sj
，i=1,2,,m，j=1,2,,n，
（14）
其中xj=
1m
m
xij，sj=
1
m-
m
表1中的数据经标准化处理后的结果见表3。
表3表1数据经标准化的属性值表
i
1
2
3
4
5
j
人均专著x1
（y1）
-0.9741
-0.7623
-0.3388
0.7200
1.3553
生师比x2
（y2）
-0.3430
0
0.3430
1.3720
-1.3720
科研经费x3
（y3）
-0.1946
0.0916
0.3777
1.2362
-1.5109
逾期毕业率x4
（y4）
0.2274
0.6537
1.1747
-0.9095
-1.1463
计算的Matlab程序如下：
x=[0.1550004.7
0.2660005.6
0.4770006.7
0.910100002.3
1.224001.8];
y=zscore（x）
我们首先对表1中属性2的数据进行最优值为给定区间时的变换。
然后对属性值进行
向量规范化，计算结果见表4。
表4表11.3的数据经规范化后的属性值
i
1
2
3
4
5
j
人均专著x1
（y1）
0.0638
0.1275
0.2550
0.5738
0.7651
生师比x2
（y2）
0.597
0.597
0.4975
0.199
0
科研经费x3
（y3）
0.3449
0.4139
0.4829
0.6898
0.0276
逾期毕业率x4
（y4）
0.4546
0.5417
0.6481
0.2225
0.1741
第二步，设权向量为w=（0.2,0.3,0.4,0.1），得加权的向量规范化属性矩阵见表5。
表5表1的数据经规范化后的加权属性值
i
1
2
j
z1
0.0128
0.0255
z2
0.1791
0.1791
z3
0.1380
0.1656
z4
0.0455
0.0542
∑x
∑=i1
∑=i11（xij-xj）2，j=1,2,,n。
3
4
5
0.0510
0.1148
0.1530
0.1493
0.0597
0
0.1931
0.2759
0.0110
0.0648
0.0222
0.0174
由表5和式（3）和式（4），得
正理想解Z*=（0.1530,0.1791,0.2759,0.0174）
负理想解Z0=（0.0128,0,0.0110,0.0648）
第四步，分别用式（5）和式（6）求各方案到正理想点的距离di*和负理想点的距离di0，
列于表6。
表6
距离值及综合指标值
di*
di0
Ci*
1
2
3
4
5
0.1987
0.1726
0.1428
0.1255
0.3198
0.2204
0.2371
0.2385
0.2932
0.1481
0.5258
0.5787
0.6255
0.7003
0.3165
第五步，计算排队指示值Ci*（见表6），由Ci*值的大小可确定各方案的从优到劣的次序
为4，3，2，1，5。
求解的Matlab程序如下。
clc,clear
x=[0.1
5
5000
4.7
0.26
0.47
6000
7000
5.6
6.7
0.91010000
2.3
1.22
400
1.8];
[m,n]=size（x）;
x2=@（qujian,lb,ub,x）（1-（qujian
（1）-x）./（qujian
（1）-lb））.*（x>=lb&x（1））+（x>=qujian
（1）
&x<=qujian
（2））+（1-（x-qujian
（2））./（ub-qujian
（2）））.*（x>qujian
（2）&x<=ub）;
%x2为匿名函数，
qujian=[5,6];lb=2;ub=12;
x（:
2）=x2（qujian,lb,ub,x（:
2））;%对属性2进行变换
forj=1:
n
y（:
j）=x（:
j）/norm（x（:
j））;%向量规划化
end
w=[0.20.30.40.1];
z=y.*repmat（w,m,1）;
%求加权矩阵
zstar=max（z）;%求正理想解
zstar（4）=min（z（:
4））%属性4为成本型的
z0=min（z）;%q求负理想解
z0（4）=max（z（:
4））%属性4为成本型的
fori=1:
m
dstar（i）=norm（z（i,:
）-zstar）;%q求到正理想解的距离
d0（i）=norm（z（i,:
）-z0）;
%求到负理想的距离
end
c=d0./（dstar+d0）;
[sc,ind]=sort（c,'descend'）%求排序结果
2.模糊综合评判法
随着知识经济时代的到来，人才资源已成为企业最重要的战略要素之一，对其进行考核
评价是现代企业人力资源管理的一项重要内容。
人事考核需要从多个方面对员工做出客观全面的评价，因而实际上属于多目标决策问
题。
对于那些决策系统运行机制清楚，决策信息完全，决策目标明确且易于量化的多目标决
策问题，已经有很多方法能够较好地解决。
但是，在人事考核中存在大量具有模糊性的概念，
这种模糊性或不确定性不是由于事件发生的条件难以控制而导致的，而是由于事件本身的概
念不明确所引起的。
这就使得很多考核指标都难以直接量化。
在评判实施过程中，评判者又
容易受经验、人际关系等主观因素的影响，因此对人才的综合素质评判往往带有一定的模糊
性与经验性。
这里说明如何在人事考核中运用模糊综合评判，从而为企业员工职务升迁、评先晋级、
聘用等提供重要依据，促进人事管理的规范化和科学化，提高人事管理的工作效率。
2.1一级模糊综合评判在人事考核中的应用
在对企业员工进行考核时，由于考核的目的、考核对象、考核范围等的不同，考核的具
体内容也会有所差别。
有的考核，涉及的指标较少，有些考核，又包含了非常全面丰富的内
容，需要涉及很多指标。
鉴于这种情况，企业可以根据需要，在指标个数较少的考核中，运
用一级模糊综合评判，而在问题较为复杂，指标较多时，运用多层次模糊综合评判，以提高
精度。
一级模糊综合评判模型的建立，主要包括以下步骤。
（1）确定因素集
对员工的表现，需要从多个方面进行综合评判，如员工的工作业绩、工作态度、沟通能
力、政治表现等。
所有这些因素构成了评价指标体系集合，即因素集，记为
U={u1,u2,,un}
（2）确定评语集
由于每个指标的凭价值的不同，往往会形成不同的等级。
如对工作业绩的评价有好、较
好、中等、较差、很差等。
由各种不同决断构成的集合被称为评语集，记为
V={v1,v2,,vm}
（3）确定各因素的权重
一般情况下，因素集中的各因素在综合评价中所起的作用是不相同的，综合评价结果不
仅与各因素的评价有关，而且在很大程度上还依赖于各因素对综合评价所起的作用，这就需
要确定一个各因素之间的权重分配，它是U上的一个模糊向量，记为
A=[a1
a2an]
其中ai表示第i个因素的权重，且满足
n
i=1
i
=1。
确定权重的方法很多，例如Delphi法、加
权平均法、众人评估法等。
（4）确定模糊综合判断矩阵
对第i个指标来说，对各个评语的隶属度为V上的模糊子集。
Ri=[ri1
ri2rin]
各指标的模糊综合判断矩阵为
⎡r11
⎢
⎢
⎣rn1
r12
r22
rn2
r1m⎤
r2m⎥⎥
⎥
⎥
rnm⎦
∑a
⎢r
R=⎢21
它是一个从U到V的模糊关系矩阵。
（5）综合评判
如果有一个从U到V的模糊关系R=（rij）n⨯m，那么利用R就可以得到一个模糊变换
TR:
F（U）→F（V）
由此变换，就可得到综合评判结果B=A⋅R。
综合后的评判可看作是V上的模糊向量，记为B=[b1
b2bm]。
例2某单位对员工的年终综合评定。
解：
（1）取因素集U={政治表现u1,工作能力u2,工作态度u3,工作成绩u4}；
（2）取评语集V={优秀v1,良好v2,一般v3,较差v4,差v5}；
（3）确定各因素的权重：
A=[0.25
0.20.250.3]
（4）确定模糊综合评判矩阵，对每个因素ui做出评价。
i）u1比如由群众评议打分来确定
R1=[0.10.50.400]
上面式子表示，参与打分的群众中，有10%的人认为政治表现优秀，50%的人认为政治表
现良好，40%的人认为政治表现一般，认为政治表现较差或差的人为0，用同样方法对其它因
素进行评价。
ii）u2,u3由部门领导打分来确定
R2=[0.20.50.20.10]
R3=[0.20.50.300]
iii）u4由单位考核组成员打分来确定
R4=[0.20.60.200]
以Ri为第i行构成评价矩阵
⎡0.1
R=⎢
⎢0.2
⎢
⎣0.2
0.5
0.5
0.5
0.6
0.40
0.20.1
0.30
0.20
0⎤
0⎥⎥
0⎥
⎥
0⎦
它是从因素集U到评语集V的一个模糊关系矩阵。
（5）模糊综合评判。
进行矩阵合成运算
⎢0.2
⎡0.1
⎢0.2
⎢
⎣0.2
0.5
0.5
0.5
0.6
0.40
0.20.1
0.30
0.20
0⎤
0⎥⎥
0⎥
⎥
0⎦
=[0.060.180.10.020]
取数值最大的评语作综合评判结果，则评判结果为“良好”。
2.2多层次模糊综合评判在人事考核中的应用
对于一些复杂的系统，例如人事考核中涉及的指标较多时，需要考虑的因素很多，这时
如果仍用一级模糊综合评判，则会出现两个方面的问题，一是因素过多，它们的权数分配难
以确定；另一方面，即使确定了权分配，由于需要满足归一化条件，每个因素的权值都小。
对这种系统，我们可以采用多层次模糊综合评判方法。
对于人事考核而言，采用二级系统就
足以解决问题了，如果实际中要划分更多的层次，那么可以用建二级模糊综合评判的方法类
推。
下面介绍一下二级模糊综合评判法模型建立的步骤。
第一步，将因素集U={u1,u2,,un}按某种属性分成s个子因素集U1,U2,,Us，其
中Ui={ui1,ui2,,uini}，i=1,2,,s，且满足
i）n1+n2++ns=n
ii）U1U2Us=U
iii）对任意的i≠j，UiUj=Φ
第二步，对每一个因素集Ui，分别做出综合评判。
设V={v1,v2,,vm}为评语集，Ui
中各因素相对于V的权重分配是
A=[ai1ai2aini
]
若Ri为单因素评判矩阵，则得到一级评判向量
Bi=Ai⋅Ri=[bi1bi2bim]，i=1,2,,s
第三步，将每个Ui看作一个因素，记为
K={u~1
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