常用的基本求导公式.docx

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常用的基本求导公式

1.基本求导公式

（1）（cy=o（C为常数）

（2）（g“一般地,

（*7=才0

（3）官u冲一般地,（ax）*=axlna（a>0,

*l）o

设g（x）均在点x可导，则有:

（f（x）±g（x）y=fXx）±gf（x）;

（II）（/（x）g（x））r=/rU）gW+/（x）gXx）,特别©W=Cf（x）（6*为常数）；

（in）｛供，广⑴g（xj他'⑴g“o）,特别

gU）g（x）

」r二艸g（x）g-（x）

3•微分函数y=f（x）在点X处的微分:

dy=ydx=f\x）dx

4.常用的不定积分公式

（3）Jkf（x）dx=町心（&为常数）

5、定积分

\hf（x）dx=F（x）|=Fe）-F（m）

（l）[凶f（对+k2g（x）]dx=k^f{x）dx十爲fg（x）dx

⑵分部积分法

设讥X）,K（X）在［禺b］上具有连续导数耳），呎耳）f则

|=w（x）v（x）|-1v（x）t/w（,r）

6.线性代数特殊矩阵的概念

零矩阵％

二阶⑺

212

I-3-5

2-57

（5）.上三角形矩阵心

下三角形矩阵

第4页共23页

a100

0a?

…0

A=+”

000an

（6）、矩阵转置

aii

ai2…

ain

a21

a22…

a2n

an1

an2…

ann

ai1a21

at二

_ain

a2n

an1

an2

ann

6、矩阵运算

i-e

_ghllcg

d+h

AB=

_aebg

cd|9h||cedg

afbhcfdh

7、MATLAB^件计算题

例6试写出用MATLAB软件求函数y"n（、xX2ex）的二阶导数y的命令语句。

解：

>>clear;

>>symsxy;>>y=log（sqrt（x+xA2）+exp（x））;

>>dy=diff（y,2）

例：

试写出用MATLAB软件求函数y=ln（.xex）的一阶导数y的命令语句。

>>clear;

>>symsxy;

>>y=log（sqrt（x）+exp（x））;

>>dy=diff（y）

例11试写出用MATLAB软件计算定积分21ex3dx的命令语句。

解：

>>clear;

>>symsxy;>>y=（1/x）*exp（xA3）;

>>int（y,1,2）

例试写出用MATLAB^件计算定积分丄ex3dx•x的命令语句。

解:

>>clear;

>>symsxy;>>y=（1/x）*exp（xA3）;

>>int（y）

MATLA软件的函数命令

表1MATLAB软件中的函数

命令

函数

Inx

lgx

log2

MATL

xAa

sqrt（x）

exp（x）

log（x）

Iog10（x）

log2（x）

abs（x）

运算符号

运算符

功能

加

减

乘

除

乘方

典型例题

例1设某物资要从产地Ai,氏,A调往销地B,B,BB，运输平衡表（单位：

吨）和运价表（单位：

百元/吨）如下表所示：

运输平衡表与运价表

\销\地产地\

供

应

量

需求

量

（1）用最小兀素法编制的初始调运方案，

（2）检验上述初始调运方案是否最优，若非最优，求最优调运方案，并计算最低运输总费用解：

用最小元素法编制的初始调运方案如下表所示：

运输平衡表与运价表

\\销

\地产地\\

供

应

量

需求

量

找空格对应的闭回路，计算检验数:

已出现负检验数，方案需要调整，调整量为

调整后的第二个调运方案如下表:

4，

需求

量

求第二个调运方案的检验数：

11=-1

已出现负检验数，方案需要再调整，调整量

为2

调整后的第三个调运方案如下表：

运输平衡表与运价表

\销\也产地\\

供

应

量

4，

需求

量

求第三个调运方案的检验数:

'122，‘141，'222，'231，

■319，

33=12

所有检验数非负，故第三个调运方案最优,最低运输总费用为：

2x3+5X3+1X1+3X8+6X4+3X5=85（百元）

例2某物流公司下属企业经过对近期销售资料分析及市场预测得知，该企业生产的甲、乙、丙三种产品，均为市场紧俏产品，销售量一直持续上升经久不衰。

今已知上述三种产品的单位产品原材料消耗定额分别为4公斤、4公斤和5公斤；三种产品的单位产品所需工时分别为6台

时、3台时和6台时。

另外，三种产品的利润分别为400元/件、250元/件和300元/件。

由于生产该三种产品的原材料和工时的供应有一定限制，原材料每天只能供应180公斤，工时每天只有150台时。

1.试建立在上述条件下，如何安排生产计划，使企业生产这三种产品能获得利润最大的线

性规划模型。

2.写出用MATLAB软件计算该线性规划问

题的命令语句。

丙三种产品分别为Xi件、

X2，X3>0

300x3

解：

1、设生产甲、乙、

X2件和X3件，显然Xi,线性规划模型为

maxS二400x1250x

4x14x25x3-180

6x13x26x3_150

Xi,X2,X3一0

2•解上述线性规划问题的语句为:

>>clear;

>>C=-[400250300];

>>A=[445;636];

>>B=[180;150];

>>LB=[0;0;0];

>>[X,fval,exitflag]=linprog（CAB,[],[],LB）

「2—1〕

例3已知矩阵m0；[,1,C=t:

，求:

ABCT

例4设y=（1+x2）lnx，求:

解:

y=（\x2）lnx（1x2）（lnx）=2x1nx

例5设y召，求：

解:

（ex）（1x）-ex（1x）xex

（1+x）2一（1+x）2

例7某厂生产某种产品的固定成本为2万元，每多生产1百台产品，总成本增加1万元，销售该产品q百台的收入为R（q）=4q—0.5q2

（万元）。

当产量为多少时，利润最大？

最大利润为多少？

解：

产量为q百台的总成本函数为：

qq）

=q+2

利润函数L（q）=R（q）—Qq）=—0.5q+3q

令MLq）=—q+3=0得唯一驻点q=3（百台）

故当产量q=3百台时，利润最大，最大利润为

L（3）=—0.5X32+3X3—2=2.5（万元）

例8某物流企业生产某种商品，其年销售量

为1000000件，每批生产需准备费1000元，而

每件商品每年库存费为0.05元，如果该商品年

1000000000

40q

令C（qr£一曾啤=0得定义域内的唯一驻点

销售率是均匀的，试求经济批量。

解：

库存总成本函数C（qr

q=200000件。

0（x3eX）dx

即经济批量为200000件

3巩七-5

322

1（x）dx

2ln凶”：

^2621n3

例9计算定积分：

解：

f0（^3ex）d^（1

*0Q

例10计算定积分:

解：

；（x2•2）dx=（3x3

教学补充说明

1.对编程问题，要记住函数ex,lnx,x在

MATLAB^件中相应的命令函数exp（x）,log（x）,

sqrt（x）;

2对积分问题，主要掌握积分性质及下列三

个积分公式：

xa1c

xadx才xa1c（aH—1）

Jexdx=ex+c

dx=ln|x|c

7.记住两个函数值：

e°=1,ln1=0。

模拟试题

一、单项选择题：

（每小题4分，共20分）

1.若某物资的总供应量（C）总需求量,可增设一个虚销地，其需求量取总供应量与总需求量的差额，并取各产地到该销地的单位运价为0,则可将该不平衡运输问题化为平衡运输问题。

（A）

等

（B）

小

于

（C）

大

（D）

不

于

超过

2.某物流公司有三种化学原料A,A,A。

每公斤原料A含Bi,B2,B三种化学成分的含量分别为0.7公斤、0.2公斤和0.1公斤；每公斤原料A含Bi,BB的含量分别为0.1公斤、0.3公斤和0.6公斤；每公斤原料A含B,E2,R的含量分别为0.3公斤、0.4公斤和0.3公斤。

每公斤原料A,A,A的成本分别为500元、300元和400元。

今需要B成分至少100公斤，E2成分至少50公斤，R成分至少80公斤。

为列出使总成本最小的线性规划模型，设原料A,A,A的用量分别为X1公斤、X2公斤和xa公斤，则目标函数为（D）。

（A）maxS=500x1+（B）minS=100x1+50x2

300X2+400X3+80X3（C）maxS=100xi+（D）minS=500xi+

50X2+80X3300X2+400X3

3.设a=|12|,bJ\，并且A=贝UX=

p-X7IfX7:

（C）°

（A）4（B）3

（C）2（D）1

4.设运输某物品q吨的成本（单位：

元）函数为qq）=q2+50q+2000,则运输该物品100吨时的平均成本为（A）元/吨。

（B）250

（A）170

（C）

1700

（D）

17000

5.已知运输某物品q吨的边际收入函数为

MRq），则运输该物品从100吨到300吨时的收

［、计算题：

（每小题7分，共21分）

7.设八竺，求：

1+x7

二阶导数y的命令语句。

解：

>>clear;

>>symsxy;

>>y=log（sqrt（x+xA2）+exp（x））;

>>dy=diff（y,2）

的命令语句

解:

>>clear;

>>symsxy;

>>y=x*exp（sqrt（x））;>>int（y,0,1）

四、应用题（第11、12题各14分，第13题19分，共47分）

11.某物流企业生产某种商品，其年销售量为1000000件，每批生产需准备费1000元，而

每件商品每年库存费为0.05元，如果该商品年销售率是均匀的，试求经济批量。

解：

库存总成本函数C（q）£10000000°°

40q

令c（q）竺警得定义域内的惟一驻点q40q1

=200000件。

即经济批量为200000件。

12.某物流公司下属企业经过对近期销售资料分析及市场预测得知，该企业生产的甲、乙、丙三种产品，均为市场紧俏产品，销售量一直持续上升经久不衰。

今已知上述三种产品的单位产品原材料消耗定额分别为4公斤、4公斤和5公斤；三种产品的单位产品所需工时分别为6台

时、3台时和6台时。

另外，三种产品的利润分别为400元/件、250元/件和300元/件。

由于生产该三种产品的原材料和工时的供应有一定限制，原材料每天只能供应180公斤，工时每天只有150台时。

试建立在上述条件下，如何安排生产计划，使企业生产这三种产品能获得利润最大的线性规划模型，并写出用MATLAB软件计算该线性规划问题的命令语句。

解：

设生产甲、乙、丙三种产品分别为Xi件、X2

件和X3件，显然Xi,X2,X3>0

线性规划模型为

maxS=400%250x2300x3

4xi4x25x3辽180

6x13x26x3_150

Xi，X2，X3_0

解上述线性规划问题的语句为：

>>clear;

>>C=-[400250300];>>A=[445;636];

>>B=[180;150];

>>LB=[0;0;0];

>>[X,fval,exitflag]=linprog（CAB,[],[],LB）

线性规划习题

1.某物流公司下属企业生产甲、乙两种产品，要用A，B,C三种不同的原料，从工艺资料知道：

每生产一件产品甲，需用三种原料分别为1，1,0单位；生产一件产品乙，需用三种原料分别为1，2，1单位。

每天原料供应的能力分别为6,8,3单位。

又知，销售一件产品甲，企业可得利润3万元；销售一件产品乙，企业可得利润4万元。

试写出能使利润最大的线性规划模

型，并用MATLAB^件计算（写出命令语句，并用MATLAB^件运行）

解：

设生产甲产品X1吨，乙产品X2吨线性规划模型为：

maxS=3为4x2

+x2兰6

%+2x2兰8

jx2兰3

Xi,X2-0

用MATLAB软件计算该线性规划模型的命令语句为：

>>clear;

>>C=-[34];

>>A=[11;12;01];

>>B=[6;8;3];

>>LB=[0;0];

>>[X,fval]=linprog（C,A,B,[],[],LB）

2.某物流公司有三种化学产品A，A，A

都含有三种化学成分B,B2，每种产品成分含量及价格（元/斤）如下表，今需要B成分至少100斤，B2成分至少50斤，B成分至少80斤，试列出使总成本最小的线性规划模型。