第4章 平面向量数系的扩充与复数的引入 第3节 平面向量的数量积与平面向量应用举例学案 理 北师大版.docx

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第三节　平面向量的数量积与平面向量应用举例

[考纲传真]　（教师用书独具）1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义.2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系.3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算.4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.5.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题.6.会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题．

（对应学生用书第74页）

[基础知识填充]

1．平面向量的数量积

（1）向量的夹角

①定义：

已知两个非零向量a和b，如图431，作＝a，＝b，则∠AOB＝θ（0°≤θ≤180°）叫作a与b的夹角．

图431

②当θ＝0°时，a与b同向．

当θ＝180°时，a与b反向．

当θ＝90°时，a与b垂直．

（2）向量的数量积

定义：

已知两个向量a与b，它们的夹角为θ，则数量|a||b|cosθ叫作a与b的数量积（或内积），记作a·b，即a·b＝|a||b|cosθ，由定义可知零向量与任一向量的数量积为0，即0·a＝0.

（3）数量积的几何意义：

数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的射影|b|cosθ的乘积，或b的长度|b|与a在b方向上射影|a|cosθ的乘积．

2．平面向量数量积的运算律

（1）交换律：

a·b＝b·a；

（2）数乘结合律：

（λa）·b＝λ（a·b）＝a·（λb）；

（3）分配律：

a·（b＋c）＝a·b＋a·c.

3．平面向量数量积的性质及其坐标表示

设非零向量a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），θ＝〈a，b〉．

结论

几何表示

坐标表示

模

|a|＝

|a|＝

数量积

a·b＝|a||b|cosθ

a·b＝x1x2＋y1y2

夹角

cosθ＝

cosθ＝

a⊥b

a·b＝0

x1x2＋y1y2＝0

|a·b|与|a||b|的关系

|a·b|≤|a||b|

|x1x2＋y1y2|

≤·

[知识拓展]　两个向量a，b的夹角为锐角⇔a·b＞0且a，b不共线；

两个向量a，b的夹角为钝角⇔a·b＜0且a，b不共线．

[基本能力自测]

1．（思考辨析）判断下列结论的正误．（正确的打“√”，错误的打“×”）

（1）两个向量的数量积是一个实数，向量的数乘运算的运算结果是向量．（　　）

（2）由a·b＝0，可得a＝0或b＝0.（　　）

（3）向量a⊥b的充要条件：

a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0.（　　）

（4）若a·b＞0，则a和b的夹角为锐角；若a·b＜0，则a和b的夹角为钝角．（　　）

（5）a·b＝a·c（a≠0），则b＝c.（　　）

[答案]　

（1）√　

（2）×　（3）×　（4）×　（5）×

2．（2016·全国卷Ⅲ）已知向量＝，＝，则∠ABC＝（　　）

A．30°　　　　　　B．45°

C．60°D．120°

A　[因为＝，＝，所以·＝＋＝.又因为·＝||||cos∠ABC＝1×1×cos∠ABC，所以cos∠ABC＝.又0°≤∠ABC≤180°，所以∠ABC＝30°.故选A．]

3．向量a＝（1，－1），b＝（－1,2），则（2a＋b）·a＝（　　）

A．－1B．0

C．1D．2

C　[法一：

∵a＝（1，－1），b＝（－1,2），

∴a2＝2，a·b＝－3，

从而（2a＋b）·a＝2a2＋a·b＝4－3＝1.

法二：

∵a＝（1，－1），b＝（－1,2），

∴2a＋b＝（2，－2）＋（－1,2）＝（1,0），

从而（2a＋b）·a＝（1,0）·（1，－1）＝1，故选C．]

4．（教材改编）已知|a|＝5，|b|＝4，a与b的夹角θ＝120°，则向量b在向量a方向上的投影为________．

－2　[由数量积的定义知，b在a方向上的投影为|b|cosθ＝4×cos120°＝－2.]

5．（2017·全国卷Ⅰ）已知向量a＝（－1,2），b＝（m,1）．若向量a＋b与a垂直，则m＝________.

7　[∵a＝（－1,2），b＝（m,1），

∴a＋b＝（－1＋m,2＋1）＝（m－1,3）．

又a＋b与a垂直，∴（a＋b）·a＝0，

即（m－1）×（－1）＋3×2＝0，

解得m＝7.]

（对应学生用书第75页）

平面向量数量积的运算

（1）（2017·南宁二次适应性测试）线段AD，BE分别是边长为2的等边三角形ABC在边BC，AC边上的高，则·＝（　　）

A．－　　　B．　　　C．－　　　D．

（2）（2017·北京高考）已知点P在圆x2＋y2＝1上，点A的坐标为（－2,0），O为原点，则·的最大值为________.

【导学号：

79140156】

（1）A　

（2）6　[

（1）由等边三角形的性质得||＝||＝，〈，〉＝120°，所以·＝||||cos〈，〉＝××＝－，故选A．

（2）法一：

根据题意作出图像，如图所示，A（－2,0），P（x，y）．

由点P向x轴作垂线交x轴于点Q，则点Q的坐标为（x,0）．

·＝||||cosθ，

||＝2，||＝，

cosθ＝＝，

所以·＝2（x＋2）＝2x＋4.

点P在圆x2＋y2＝1上，所以x∈[－1,1]．

所以·的最大值为2＋4＝6.

法二：

如图所示，因为点P在圆x2＋y2＝1上，

所以可设P（cosα，sinα）（0≤α<2π），

所以＝（2,0），＝（cosα＋2，sinα），

·＝2cosα＋4≤2＋4＝6，

当且仅当cosα＝1，即α＝0，P（1,0）时“＝”号成立．]

[规律方法]　向量数量积的两种计算方法

1当已知向量的模和夹角θ时，可利用定义法求解，即a·b＝|a||b|cosθ.

2当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若a＝x1，y1，b＝x2，y2，则a·b＝x1x2＋y1y2.

易错警示：

1要有“基底”意识，关键是用基向量表示题目中所求相关向量.

2注意向量夹角的大小，以及夹角θ＝0°，90°，180°三种特殊情形.

[跟踪训练]　

（1）（2018·太原模拟

（二））已知a＝（2,1），b＝（－1,1），则a在b方向上的投影为（　　）

A．－B．C．－D．

（2）已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则·的值为________；·的最大值为________．

（1）A　

（2）1　1　[由题意，得|b|＝，a·b＝－1，所以a在b方向上的投影为|a|cosθ＝＝－，故选A．

法一：

以射线AB，AD为x轴，y轴的正方向建立平面直角坐标系，则A（0,0），B（1,0），C（1,1），D（0，1），设E（t,0），t∈[0,1]，则＝（t，－1），＝（0，－1），所以·＝（t，－1）·（0，－1）＝1.

因为＝（1,0），所以·＝（t，－1）·（1,0）＝t≤1，

故·的最大值为1.

法二：

由图知，无论E点在哪个位置，在方向上的投影都是CB＝1，所以·＝||·1＝1，

当E运动到B点时，在方向上的投影最大，即为DC＝1，

所以（·）max＝||·1＝1.]

平面向量数量积的性质

◎角度1　平面向量的模

　（2018·合肥二检）设向量a，b满足|a＋b|＝4，a·b＝1，则|a－b|＝（　　）

A．2B．2C．3D．2

B　[由|a＋b|＝4两边平方可得|a|2＋|b|2＝16－2a·b＝14，则|a－b|＝＝＝＝2，故选B．]

◎角度2　平面向量的夹角

　（2018·济南一模）设向量a与b的夹角为θ，若a＝（3，－1），b－a＝（－1,1），则cosθ＝________.

（2）已知平面向量a，b的夹角为120°，且a·b＝－1，则|a－b|的最小值为（　　）

A．B．C．D．1

（1）　

（2）A　[

（1）由题意得向量b＝（b－a）＋a＝（2,0），所以cosθ＝＝＝.

（2）由题意可知：

－1＝a·b＝|a|·|b|cos120°，所以2＝|a|·|b|≤.即|a|2＋|b|2≥4，

|a－b|2＝a2－2a·b＋b2＝a2＋b2＋2≥4＋2＝6，

所以|a－b|≥.]

◎角度3　平面向量的垂直

　（2018·深圳二调）已知平面向量a，b，若|a|＝，|b|＝2，a与b的夹角θ＝，且（a－mb）⊥a，则m＝（　　）

A．B．1C．D．2

B　[由（a－mb）⊥a可得（a－mb）·a＝a2－ma·b＝3－m××2×cos＝0，解得m＝1，故选B．]

[规律方法]　平面向量数量积性质的应用类型与求解策略

1求两向量的夹角：

cosθ＝，要注意θ∈[0，π].

2两向量垂直的应用：

a⊥b⇔a·b＝0⇔|a－b|＝|a＋b|.

3求向量的模：

利用数量积求解长度问题的处理方法有

①a2＝a·a＝|a|2或|a|＝.

②|a±b|＝＝.

③若a＝x，y，则|a|＝.

4射影的数量投影

a在b上的投影|a|〈a，b〉＝.

[跟踪训练]　

（1）（2017·山西四校联考）已知|a|＝1，|b|＝，且a⊥（a－b），则向量a与向量b的夹角为（　　）

A．B．C．D．

（2）（2017·全国卷Ⅰ）已知向量a，b的夹角为60°，|a|＝2，|b|＝1，则|a＋2b|＝________.

（3）已知向量与的夹角为120°，且||＝3，||＝2.若＝λ＋，且⊥，则实数λ的值为________.

【导学号：

79140157】

（1）B　

（2）2　（3）　[∵a⊥（a－b），∴a·（a－b）＝a2－a·b＝1－cos〈a，b〉＝0，∴cos〈a，b〉＝，∴〈a，b〉＝.

（2）法一：

|a＋2b|＝

＝

＝

＝＝2.

法二：

（数形结合法）由|a|＝|2b|＝2，知以a与2b为邻边可作出边长为2的菱形OACB，如图，则|a＋2b|＝||.又∠AOB＝60°，所以|a＋2b|＝2.

（3）＝－，由于⊥，

所以·＝0，

即（λ＋）·（－）

＝－λ2＋2＋（λ－1）·

＝－9λ＋4＋（λ－1）×3×2×

＝0，解得λ＝.]

平面向量与三角函数的综合问题

　（2017·湖北仙桃一中期中）已知向量a＝，b＝，且x∈.

（1）求a·b及|a＋b|；

（2）若f（x）＝a·b－|a＋b|，求f（x）的最大值和最小值．

[解]　

（1）a·b＝coscos－sin·sin＝cos2x.

∵a＋b＝，

∴|a＋b|

＝

＝＝2|cosx|.

∵x∈，∴cosx＞0，∴|a＋b|＝2cosx.

（2）f（x）＝cos2x－2cosx＝2cos2x－2cosx－1

＝2－.

∵x∈，∴≤cosx≤1，

∴当cosx＝时，f（x）取得最小值－；

当cosx＝1时，f（x）取得最大值－1.

[规律方法]　平面向量与三角函数的综合问题的解题思路

1题目条件给出向量的坐标中含有三角函数的形式，运用向量共线或垂直或等式成立的方法等，得到三角函数的关系式，然后求解.

2给出用三角函数表示的向量坐标，要求的是向量的模或者其他向量的表达形式，解题思路是经过向量的运算，利用三角函数在定义域内的有界性，求得值域等.

[跟踪训练]　在平面直角坐标系xOy中，已知向量m＝，n＝（sinx，cosx），x∈.

（1）若m⊥n，求tanx的值；

（2）若m与n的夹角为，求x的值．

[解]　

（1）因为m＝，

n＝（sinx，cosx），m⊥n.

所以m·n＝0，即sinx－cosx＝0，

所以sinx＝cosx，所以tanx＝1.