小升初复习重难点一几何五大模型讲解.docx
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小升初复习重难点一几何五大模型讲解
几何五大模型
一、五大模型简介
（1）等积变换模型
1、等底等高的两个三角形面积相等；
2、两个三角形高相等，面积之比等于底之比，如图①所示，S[sub]1[/sub]：
S[sub]2[/sub]=a:
b；
3、两个三角形底相等，面积在之比等于高之比，如图②所示，S[sub]1[/sub]：
S[sub]2[/sub]=a:
b；
4、在一组平行线之间的等积变形，如图③所示，S[sub]△ACD[/sub]=S[sub]△BCD[/sub]；反之，如果S[sub]△ACD[/sub]=S[sub]△BCD[/sub]，
则可知直线AB平行于CD。
例、如图，三角形ABC的面积是24，D、E、F分别是BC、AC、AD的中点，求三角形DEF的面积。
（2）鸟头（共角）定理模型
1、两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫共角三角形；
2、共角三角形的面积之比等于对应角（相等角或互补角）两夹边的乘积之比。
如图下图三角形ABC中，D、E分别是AB、AC上或AB、AC延长线上的点
则有：
S[sub]△ABC[/sub]：
S[sub]△ADE[/sub]=（AB×AC）：
（AD×AE）
我们现在以互补为例来简单证明一下共角定理！
如图连接BE，根据等积变化模型知，S[sub]△ADE[/sub]：
S[sub]△ABE[/sub]=AD：
AB、S[sub]△ABE[/sub]：
S[sub]△CBE[/sub]=AE：
CE，所以S[sub]△ABE[/sub]：
S[sub]△ABC[/sub]=S[sub]△ABE[/sub]：
（S[sub]△ABE[/sub]+S[sub]△CBE[/sub]）=AE：
AC
，因此S[sub]△ADE[/sub]：
S[sub]△ABC[/sub]=（S[sub]△ADE[/sub]：
S[sub]△ABE[/sub]）×（S[sub]△ABE[/sub]：
S[sub]△ABC[/sub]）=（AD：
AB）×（AE：
AC）。
例、如图在ΔABC中，D在BA的延长线上，E在AC上，且AB：
AD=5:
2，AE：
EC=3:
2，
△ADE的面积为12平方厘米，求ΔABC的面积。
（3）蝴蝶模型
1、梯形中比例关系（“梯形蝴蝶定理”）
例、如图，梯形ABCD，AB与CD平行，对角线AC、BD交于点O，已知△AOB、△BOC的面积分别为25平方厘米、35平方厘米，求梯形ABCD的面积。
2、任意四边形中的比例关系（“蝴蝶定理”）：
例、如图，四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，如果三角形ABD的面积等于三角形BCD面积的1/3，且AO=2、DO=3，求CO的长度是DO长度的几倍。
蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径，通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系。
（4）相似模型
1、相似三角形：
形状相同,大小不相等的两个三角形相似；
2、寻找相似模型的大前提是平行线：
平行于三角形一边的直线和其他两边或两边延长线相
交，所构成的三角形与原三角形相似。
3、相似三角形性质：
①相似三角形的一切对应线段（对应高、对应边）的比等于相似比；
②相似三角形周长的比等于相似比；
③相似三角形面积的比等于相似比的平方。
相似模型大致分为金字塔模型、沙漏模型这两大类，注意这两大类中都含有BC平行DE这样的一对平行线！
例、如图，已知在平行四边形ABCD中，AB=16、AD=10、BE=4，那么FC的长度是多少？
（5）燕尾模型
由于阴影部分的形状像一只燕子的尾巴，所以在数学上把这样的几何图形叫做燕尾模型,看一下它都有哪些性质：
S[sub]△ABG[/sub]：
S[sub]△ACG[/sub]=S[sub]△BGE[/sub]：
S[sub]△CGE[/sub]=BE：
CE
S[sub]△BGA[/sub]：
S[sub]△BGC[/sub]=S[sub]△GAF[/sub]：
S[sub]△GCF[/sub]=AF：
CF
S[sub]△AGC[/sub]：
S[sub]△BGC[/sub]=S[sub]△AGD[/sub]：
S[sub]△BGD[/sub]=AD：
BD
例、如图，E、D分别在AC、BC上，且AE：
EC=2:
3，BD：
DC=1:
2，AD与BE交于点F，四边形DFEC的面积等于22平方厘米，求三角形ABC的面积。
二、五大模型经典例题详解
（1）等积变换模型
例1、图中的E、F、G分别是正方形ABCD三条边的三等分点，如果正方形的边长是12，那么阴影部分的面积是多少？
例2、如图所示，Q、E、P、M分别为直角梯形ABCD两边AB、CD上的点，且DQ、CP、ME彼此平行，已知AD=5、BC=7、AE=5、EB=3，求阴影部分三角形PQM的面积。
（2）鸟头（共角）定理模型
例1、如图所示，平行四边形ABCD，BE=AB、CF=2CB、GD=3DC、HA=4AD，平行四边形ABCD的面积为2，求平行四边形ABCD与四边形EFGH的面积比。
例2、如图所示，△ABC的面积为1，BC=5BD、AC=4EC、DG=GS=SE、AF=FG，求△FGS的面积。
（3）蝴蝶模型
例1、如图，正六边形面积为1，那么阴影部分面积为多少？
例2、如图，长方形ABCD被CE、DF分成四块，已知其中3块的面积分别为2、5、8平方厘米，求余下的四边形OFBC的面积。
例3、如图，已知正方形ABCD的边长为10厘米，E为AD的中点，F为CE的中点，G为BF的中点，求三角形BDG的面积。
（4）相似模型
例1、如图，正方形的面积为1，E、F分别为AB、BD的中点，GC=1/3FC,求阴影部分的面积。
例2、如图，长方形ABCD，E为AD的中点，AF与BD、BE分别交于G和H，OE垂直于AD，交AD于E点，交AF于O点，已知AH=5,HF=3,求AG的长。
（5）燕尾模型
例1、如图，正方形ABCD的面积是120平方厘米，E是AB的中点，F是BC的中点，求四边形BGHF的面积。
例2、如图，在△ABC中，BD=2DA、CE=2EB、AF=2FC，那么△ABC的面积是阴影△GHI面积的几倍？
例3、如图，在△ABC中，点D是AC的中点，点E、F是BC的三等分点，若△ABC的面积是1，求四边形CDMF的面积。
三、巩固练习
1、如图，在角MON的两边上分别有A、C、E、B、D、F六个点，并且△OAB、△ABC、△BCD、△CDE、△DEF的面积都等于1，求△DCF的面积。
2、如下图，ABCD为平行四边形，EF平行AC，如果△ADE的面积为4平方厘米，求三角形CDF的面积。
3、如下图，在三角形ABC中，BD=2AD，AG=2CG，BE=EF=FC，求四边形DGFE面积占三角形ABC的几分之几？
4、如图，四边形EFGH的面积是66平方米，EA=AB、CB=BF、DC=CG、HD=DA，求四边形ABCD的面积。
5、边长为1的正方形ABCD中，BE=2EC、FC=DF，求三角形AGE的面积。
6、如图，一个长方形被一些直线分成了若干个小块，已知三角形ADG的面积为11，三角形BCH的面积为23，求四边形EGFH的面积。
7、如图，三角形ABC是一块锐角三角形余料，BC=120毫米，高AD=80毫米。
现在要把它加工成一个正方形零件，是正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，这个正方形零件的边长是多少？
8、如图，已知正方形ABCD的面积为120平方厘米，E是AB边的中点，F是BC边的中点，求四边形BGHF的面积。
9、如图，正方形ABCD的边长是12厘米，E、F分别是AB、BC的中点，AF与CE交于点G，求四边形AGCD的面积。
10、如图，在四边形ABCD中，AB=3BE、AD=3AF，四边形AEOF的面积是12，求平行四边形BODC的面积。
四、巩固练习详解：
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