直线与平面垂直的判定及其性质 测试题答案.docx

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直线与平面垂直的判定及其性质测试题答案

直线与平面垂直的判定及其性质测试题（答案）

  直线与平面垂直的判定与性质

  一、选择题

  1．两异面直线在平面α内的射影（）

  A．相交直线B．平行直线

  C．一条直线—个点D．以上三种情况均有可能

  2．若两直线a与b异面，则过a且与b垂直的平面（）

  A．有且只有—个B．可能存在也可能不存在

  C．有无数多个D．—定不存在

  3．在空间，下列哪些命题是正确的（）

  ①平行于同一条直线的两条直线互相平行；

  ②垂直于同一条直线的两条直线互相平行；

  ③平行于同一个平面的两条直线互相平行；

  ④垂直于同—个平面的两条直线互相平行．

  A．仅②不正确B．仅①、④正确C．仅①正确D．四个命题都正确

  4．若平面α的斜线l在α上的射影为l′，直线b∥α，且b⊥l′，则b与l（）

  A．必相交B．必为异面直线C．垂直D．无法确定

  5．下列命题

  ①平面的每条斜线都垂直于这个平面内的无数条直线；

  ②若一条直线垂直于平面的斜线，则此直线必垂直于斜线在此平面内的射影；

  ③若平面的两条斜线段相等，则它们在同一平面内的射影也相等；

  ④若一条线段在平面外并且不垂直于这个平面，则它的射影长一定小于线段的长．

  其中，正确的命题有（）

  A．1个B．2个C．3个n4个

  6．在下列四个命题中，假命题为（）

  A．如果一条直线垂直于平面内的无数条直线，那么这条直线和这个平面垂直

  B．垂直于三角形两边的直线必垂直于第三边

  C．过点A垂直于直线a的所有直线都在过点A垂直于a的平面内

  D．如果三条共点直线两两垂直，那么其中一条直线垂直于另两条直线确定的平面

  7．已知P是四边形ABCD所在平面外一点且P在平面ABCD内的射影在四边形ABCD内，若P到这四边形各边的距离相等，那么这个四边形是（）

  A．圆内接四边形B．矩形C．圆外切四边形D．平行四边形

  8．在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，PA⊥平面ABC，PA＝8，则P到BC的距离等于（）

  A．5B．25C．35D．45

  二、填空题

  9．AB是平面α的斜线段，其长为a，它在平面α内的射影A′B的长为b，则垂线A′A_________．

  10．如果直线l、m与平面α、β、γ满足：

l＝β∩γ，l⊥α，mα和m⊥γ，现给出以下四个结论：

  ①α∥γ且l⊥m；②

  αγ且m∥β③

  αβ且l⊥m；④

  αγ且l⊥m；其中正确的为“________”．（写出序号即可）

  11．在空间四面体的四个面中，为直角三角形的最多有____________个．

  12．如图，正方形ABCD，P是正方形平面外的一点，且PA⊥平面ABCD则在△PAB、△PBC、△PCD、△PAD、△PAC及△PBD中，为直角三角形有_________个．

  13．给出以下四个命题

（1）两条平行直线在同一平面内的射影一定是平行直线；

（2）两条相交直线在同一平面内的射影一定是相交直线；

  （3）两条异面直线在同一平面内的射影—定是两条相交直线；

  （4）一个锐角在平面内的射影一定是锐角．

  其中假命题的共有_________个．

  14．若一个直角在平面α内的射影是一个角，则该角最大为___________．

  三、解答题

  15．已知直线a∥平面α,直线b⊥平面α，求证：

a⊥b．

  16．如图，在长方体AC1中，已知AB＝BC＝a，BB1＝b（b＞a），连结BC1，过Bl作B1⊥BC1交CC1于E，交BC1于Q，求证：

AC⊥平面EBlD1

  17．如图在△ABC中，已知∠ABC＝90°，SA⊥△ABC所在平面，又点A在SC和SB上的射影分别

  是P、Q．

  求证：

PQ⊥SC．

  18．已知在如图中，∠BAC在平面α内，点Pα，PE⊥AB，PF⊥AC，PO⊥α，垂足分别是E、F、O，PE＝PF，

  求证：

∠BAO＝∠CAO，

  19．已知：

点P与直线a，试证；过点P与a垂直的直线共面．

  20．四面体ABCD的棱AB⊥CD的充要条件是AC2＋BD2＝AD2＋BC2．

  四、思考题

  对于一个三角形，它的三条高线总相交于—点，而对于一个四面体，它的四条高线是否总相交于一点呢?

若不总相交于一点，则怎样的四面体其四条高线才相交于一点呢?

这是一个美丽而非凡的问题，请读者进行研究拓展．

  参考答案

  一、选择题

  1．D2．B3．B4．C5．A6．A7．C8．D

  二、填空题

  9．a－b10．③、④11．412．513．414．180°

  三、解答题22

  15．证明：

设β为过a的平面，且α∩β＝l．

  ∵a∥α，∴a∥l．

  ∵b⊥l，∴b⊥a．

  16．证明：

∵AB⊥面B1C，BC1为AC1在平面B1C上的射影，且B1E⊥BC1，∴由三垂线定理知B1E⊥AC1．又∵AA1⊥面A1C1，AB＝BC，A1C1⊥B1D1，A1C1是AC1在面A1C1上的射影

  ∴由三垂线定理得AC1⊥B1D1．

  又∵B1E∩B1D1＝B1，

  ∴AC1⊥平面EB1D1．

  17．证明：

∵SA⊥面ABC，BC面ABC，

  ∴SA⊥BC．

  又∵AB⊥BC且SA∩AB＝A，

  ∴BC⊥面SAB，AQ面SAB．

  ∴BC⊥AQ，又AQ⊥SB，BC∩SB＝B．

  ∵AQ⊥面SBC．

  ∴PQ是斜线AP在平面SBC上的射影，

  又∵AQ⊥SC，

  ∴由三垂线定理的逆定理可得PQ⊥SC．

  18．证明：

∵PO⊥α，PE＝PF，

  ∴OE＝OF，

  又∵PE⊥AB、PF⊥AC，

  ∴OE⊥AB、OF⊥AC．

  故Rt△AOE≌Rt△AOF，

  ∴∠BAO＝∠CAO．

  19．证明：

如图，在点P和直线a所在的平面β内，过点P作直线a的垂线b，设垂足为A．设过点P与β垂直的直线为c，则必有c⊥a，再设由b、c确定的平面为α，则必有a⊥α．

  设l是过点P与a垂直的直线，下证：

lα．

  若lα，设由l与c确定的平面为α′，

  则由a⊥l，a⊥c，l∩c＝P，

  ∴a⊥α′，这样平面α与α′都是过点P与直线a垂直的平面．这是一个错误的结论，因此，假设不成立，故必有lα，也就是说过点P与a垂直的直线均在平面α内，于是本题获证．

  20．证明：

先证必要性：

过B作CD的垂线，垂足E，连AE，

  ∵CD⊥AB，

  ∴CD⊥平面ABE，

  ∴CD⊥AE．

  ∴AC2＝AE2＋CE2、BD2＝BE2＋DE2；

  又有AD2＝AE2＋DE2、BC2＝BE2＋CE2．

  ∴AC2＋BD2＝AE2＋BE2＋CE2＋DE2，

  而AD2＋BC2＝AE2＋BE2＋CE2＋DE2．

  ∴AC2＋BD2＝AD2＋BC2．

  再证充分性：

过A点作CD的垂线，垂足设为F，于是有：

  AD2＝AF2＋DF2、BC2＝BE2＋CE2；

  AC2＝AF2＋CF2、BD2＝BE2＋DE2；

  ∵AD2＋BC2＝AC2＋BD2；

  ∴AF2＋DF2＋BE2＋CE2＝AF2＋CF2＋BE2＋DE2

  ∴DF2＋CE2＝CF2＋DE2，

  ∴DF2―CF2＝DE2―CE2，

  ∴（DF＋CF）（DF－CF）＝（DE＋CE）（DE－CE），

  ∴DF－CF＝DE－CE．

  ∴DF＋CE＝DE＋CF．

  ∴E、F只能重合于一点，故有CD⊥平面ABE，

  ∴CD⊥AB．

  四、思考题

  我们称：

三对对棱分别互相垂直的四面体为对棱垂直的四面体．

  可以证明：

对棱垂直的四面体的四条高线相交于一点，反过来，若一个四面体，若它的四条高线相交于一点，则该四面体一定是对棱垂直的四面体．