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信息光学习题答案

第一章线性系统分析

1.1简要说明以下系统是否有线性和平移不变性.

（1）gxdfx;

（2）gxfxdx;

dx

（3）gxfx;（4）gxfhx2d;

（5）

fexp

j2

d

解：

（1）线性、平移不变；

（2）线性、平移不变；

（3）非线性、平移不变；

（4）线性、平移不变；

（5）线性、非平移不变。

1.2

证明combx

comb（x）exp（jx）comb（x）

2

证明：

左边＝comb

x

x

n

1（x2n）2

（x2n）

2n

2n

2

n

右边

comb（x）

comb（x）exp（j

x）

（x

n）

exp（jx）（xn）

n

n

（x

n）

exp（jn

）

（x

n）

n

n

（x

n）

（1）n（x

n）

n

n

当n为奇数时，右边＝

0，当n为偶数时，右边＝2

（x

2n）

n

所以当n为偶数时，左右两边相等。

1.3证明

（sinx）

comb（x）

证明：

根据复合函数形式的

δ函数公式

n

（x

xi）,

[h（x）]

h（xi）

0

i1

h（xi）

式中xi是h（x）=0

的根，h（xi）表示h（x）在x

xi

处的导数。

于是

（x

n）

（sinx）

n

comb（x）

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1.4计算图题

1.1所示的两函数的一维卷积。

解：

设卷积为

g（x）。

当-1≤x≤0时，如图题

1.1（a）

所示，

1

x

）d

1

1

x

1

x3

g（x）

（1）（1x

0

3

2

6

图题1.1

当0

g（x）

1

）（1

x

）d

1

1

x

1

x3

（1

x

3

2

6

1

1x

1x3,

1x

0

3

2

6

即

g（x）

11x

1x3,

0x1

3

2

6

0,

其它

1.5

计算下列一维卷积。

（1）

（2x3）rectx1

（2）rectx1

rectx1

2

2

2

（3）comb（x）rect（x）

解：

（1）（2x3）rectx1

1

x

3

rectx1

1rectx

2.5

2

2

2

2

2

2

（2）设卷积为g（x），当x≤0时，如图题1.2（a）所示，

g（x）

x2

x2

d

0

当0

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图题1.2

g（x）

2

2

x

x

d

1

x

x

0

g（x）

2

2

1

x

x

0

2

即

g（x）

x

2

2

（3）comb（x）

rect（x）1

1.6已知exp（

x2）的傅立叶变换为exp（

2），试求

（1）expx2

?

（2）

exp

x2/2

2

?

解：

设y

x,

z

即

exp（

y2）

exp（

2）

由坐标缩放性质

f（ax,by）

1

得

F

b

ab

a

（1）

exp

x2

exp（

y2/

exp（

z2）

exp（

2

2）

（2）

exp

x2/2

2

exp

y2/2

2

2

exp（

2

2z2）

2

exp（2

2

2）

1.7

计算积分.

（1）

sinc4

xdx

?

（2

）

sinc2xcosxdx

?

解：

应用广义巴塞伐定理可得

（1）sinc2（x）sinc2（x）dx

（

）（

）d

0

）2d

1

）2d

2

（1

（1

1

0

3

（2）

sinc2（x）cos

xdx

1

（）

1

d

（

）

1

d

2

2

2

1

1

1

1

2

2

2

2

1.8应用卷积定理求

f

x

sinc

xsinc2x的傅里叶变换.

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解：

当

sinc（x）sinc（2x）sinc（x）sinc（2x）1rect（）rect

22

3

1

1.3（a）所示，

2

时，如图题

2

1

1

3

G（）

2du

2

1

2

当

1

1

1.3（b）所示，

2

时，如图题

2

1

1

12du1

G（）

2

2

当13时，如图题1.3（c）所示，

22

G（

1

1

1du

3

）

2

2

2

2G（ξ）的图形如图题

1.3（d）所示，由图可知

G（

3

1

）

3/2

41/2

4

图题1.3

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1.9

设fx

exp

x

，

0，求

fx

?

fxdx

?

exp（

x）

0

exp（

x）exp（

j2

x）dx

exp（

x）exp（

j2x）dx

解：

0

2

exp（

x）dx

2

2

2

（2）2

2

（2

）2

0

1.10

设线性平移不变系统的原点响应为

hx

exp

xstepx，试计算系统对阶跃

函数stepx的响应.

解：

由阶跃函数定义

1,x0

step（x）得

0,x0

线性平移不变系统的原点响应为

hxexpxstepxexpx,x0

所以系统对解阶跃函数stepx的响应为

g（x）step（x）h（x）exp[（x）]d1exp（x）,x0

0

1.11有两个线性平移不变系统，它们的原点脉冲响应分别为h1xsincx和

h2xsinc3x.试计算各自对输入函数fxcos2x的响应g1x和g2x.

解：

1.12已知一平面波的复振幅表达式为

U（x,y,z）Aexp[j（2x3y4z）]

试计算其波长λ以及沿x,y,z方向的空间频率。

解：

设平面波的复振幅的表达式可以表示成以下形式

U（x,y,z）aexp（jk?

r）aexp[jk（xcosycoszcos）]

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由题可知，kcos

2,kcos

3,kcos

4

又因为cos2

cos2

cos2

1

所以k

29

波长为

22

k29

沿x,y,z方向的空间频率为

cos

1,

cos

3,

cos

2

2

1.13单色平面波的复振幅表达式为

U

x,y,z

Aexp

j

1x

2y

3z

14

14

14

求此波在传播方向的空间频率以及在

x,y,z方向的空间频率.

解：

设单色平面波的复振幅的表达式可以表示成以下形式

U（x,y,z）

aexp（jk?

r）

aexp[jk（xcos

ycoszcos）]

由题可知，kcos

1,

kcos

2,

kcos

3

14

14

14

又因为cos2

cos2

cos2

1

所以k

1

波长为

2

2

k

沿x,y,z方向的空间频率为

cos

1

cos

1

cos

3

2

14

14

14

2

第三章

光学成像系统的传递函数

3.1参看图3.1.1，在推导相干成像系统点扩散函数

（3.1.5）式时，对于积分号前的相位

因子

expj

k2

2

exp

k

xi2

yi2

x0

y0

j

M2

2d0

2d0

试问：

（1）物平面上半径多大时，相位因子

expj

k

x02

y02

2d0

相对于它在原点之值正好改变π弧度？

（2）设光瞳函数是一个半径为

a的圆，那么在物平面上相应

h的第一个零点的半径是

多少？

（3）由这些结果，设观察是在透镜光轴附近进行，那么

a,λ和do之间存在什么关系

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时可以弃去相位因子

expjk

x02

y02

2d0

解：

（1）由于原点的相位为零，于是与原点相位差为π的条件是

k

（xo2

yo2）

kro2

ro

do

2do

2do

（2）根据

h（xo,yo;xi,yi）

1

P（x,y）exp

j2

[（xi

Mxo）x

（yi

Myo）y]dxdy

2dodi

di

1

P（x,y）exp

2

[（xi

~

~

）y]

dxdy

2dodi

j

xo）x（yi

yo

di

相干成像系统的点扩散函数是透镜光瞳函数的夫琅禾费衍射图样，其中心位于理想像点

~

~

（xo,yo）

h（xo,yo

;xi

yi）

1

P（x,y）exp

j

2

[（xi

~

）

2

（yi

~

2

]dxdy

2dodi

di

xo

yo）

1

~

circ

r

1

aJ1（2a

）

B

a

2dodi

2dodi

式中r

x2

y2，而

2

2

xi

~

2

yi

~

2

xo

yo

（1）

di

di

在点扩散函数的第一个零点处

J1（2a

o）0，此时应有

2

ao

3.83，即

o

0.61

（2）

a

将

（2）式代入

（1）式，并注意观察点在原点

（xi

yi

0），于是得

ro

0.61

do

（3）

a

（3）根据线性系统理论，

像面上原点处得场分布，

必须是物面上所有点在像面上的点扩

散函数对于原点的贡献h（xo,yo;0,0）。

按照上面的分析，如果略去

h第一个零点以外的影

响，即只考虑

h的中央亮斑对原点的贡献，那么这个贡献仅仅来自于物平面原点附近

ro

0.61

do/a范围内的小区域。

当这个小区域内各点的相位因子

exp[

jkro2

/2do]变化不

大，而降它弃去。

假设小区域内相位变化不大于几分之一弧度

（例如π/16）就满足以上要求，

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则kro2/2do

ro2

do/16，也即

16

a2.44do

（4）

例如λ＝600nm,do=600mm，则光瞳半径a≥1.46mm，显然这一条件是极易满足的。

3.2一个余弦型振幅光栅，复振幅透过率为

txo,yo11cos2foxo

22

放在图3.1.1所示的成像系统的物面上，用单色平面波倾斜照明，平面波的传播方向在xoz平

面内，与z轴夹角为θ。

透镜焦距为f,孔径为D。

（1）求物体透射光场的频谱；

（2）使像平面出现条纹的最大θ角等于多少？

求此时像面强度分布；

（3）若θ采用上述极大值，使像面上出现条纹的最大光栅频率是多少？

与θ＝0时

的截止频率比较，结论如何？

解：

（1）斜入射的单色平面波在物平面上产生的场为Aexp（jkx0,sin），为确定起见

设θ>0，则物平面上的透射光场为

Uo（xo,yo）Aexp（jkxo,sin）t（xo,yo）

A

sin

1

j2xofo

sin

1

sin

exp

j2xo

exp

exp

j2xofo

2

2

2

其频谱为

A（,）{Uo（xo,yo）}

A

sin

1

sin

1

fo

sin

2

2

fo

2

由此可见，相对于垂直入射照明，物频谱沿ξ轴整体平移了

sin

θ/λ距离。

（2）欲使像面有强度变化，至少要有两个频谱分量通过系统。

系统的截至频率

cD/4f，于是要求

sin

D,

D

fo

sin

D

4f

4f

4f

由此得

D

sin

D

（1）

fo

4f

4f

θ角的最大值为

max

arcsin

D

（2）

4f

此时像面上复振幅分布和强度分布为

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Ui（xi,yi）

Aexp

j2

xi

D

[1

1exp（

j2xi

fo）]

2

4

f

2

Ii（xi,yi）

A2

5

cos2

fox

4

4

（3）照明光束的倾角取最大值时，由

（1）式和

（2）

式可得

fo

D

D

4f

4f

即

fo

D

或

fomax

D

（3）

2

f

2

f

θ＝0时，系统的截止频率为

c

D/4

f，因此光栅的最大频率

fomax

c

D

（4）

2

f

比较（3）和（4）式可知，当采用倾角的平面波照明时系统的截止频率提高了一倍，

也就提高了

系统的极限分辨率，但系统的通带宽度不变。

3.3光学传递函数在

0处都等于

1，这是为什么？

光学传递函数的值可能大于

1吗？

如果光学系统真的实现了点物成点像，这时的光学传递函数怎样？

解：

在

HI（

）

hI（xi

yi）exp[

j2（xi,

yi）]dxidyi

（1）

（,）

HI（0,0）

hI（xi,yi）dxidyi

式中，令

hI（xi,yi）

h（xi,yi）

hI（xi,yi）dxidyi

为归一化强度点扩散函数，因此

（1）式可写成

（,）

h（xi,yi）exp[j2（xi,yi）]dxidyi

而（0,0）1h（xi,yi）dxidyi

即不考虑系统光能损失时，认定物面上单位强度点源的总光通量将全部弥漫在像面上，着便

是归一化点扩散函数的意义。

（2）不能大于1。

（3）对于理想成像，归一化点扩散函数是δ函数，其频谱为常数1，即系统对任何频率的传递都是无损的。

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3.4当非相干成像系统的点扩散函数hIxi,yi成点对称时，则其光学传递函数是实函

数.

解：

由于hI（xi,yi）是实函数并且是中心对称的，即有hI（xi,yi）