小学四年级奥数讲义之精讲精练第35讲 容斥原理.docx

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小学四年级奥数讲义之精讲精练第35讲容斥原理

第35讲容斥原理

一、专题简析：

容斥问题涉及到一个重要原理——包含与排除原理，也叫容斥原理。

即当两个计数部分有重复包含时，为了不重复计数，应从它们的和中排除重复部分。

容斥原理：

对n个事物，如果采用不同的分类标准，按性质a分类与性质b分类（如图），那么具有性质a或性质b的事物的个数=Na＋Nb－Nab。

二、精讲精练：

例1：

一个班有48人，班主任在班会上问：

“谁做完语文作业？

请举手！

”有37人举手。

又问：

“谁做完数学作业？

请举手！

”有42人举手。

最后问：

“谁语文、数学作业都没有做完？

”没有人举手。

求这个班语文、数学作业都完成的人数。

练习一

1、五年级有122名学生参加语文、数学考试，每人至少有一门功课取得优秀成绩。

其中语文成绩优秀的有65人，数学优秀的有87人。

语文、数学都优秀的有多少人？

2、四年级一班有54人，订阅《小学生优秀作文》和《数学大世界》两种读物的有13人，订《小学生优秀作文》的有45人，每人至少订一种读物，订《数学大世界》的有多少人？

例2：

某班有36个同学在一项测试中，答对第一题的有25人，答对第二题的有23人，两题都答对的有15人。

问多少个同学两题都答得不对？

练习二

1、五

（1）班有40个学生，其中25人参加数学小组，23人参加科技小组，有19人两个小组都参加了。

那么，有多少人两个小组都没有参加？

2、一个班有55名学生，订阅《小学生数学报》的有32人，订阅《中国少年报》的有29人，两种报纸都订阅的有25人。

两种报纸都没有订阅的有多少人？

例3：

某班有56人，参加语文竞赛的有28人，参加数学竞赛的有27人，如果两科都没有参加的有25人，那么同时参加语文、数学两科竞赛的有多少人？

练习三

1、一个旅行社有36人，其中会英语的有24人，会法语的有18人，两样都不会的有4人。

两样都会的有多少人？

2、一个俱乐部有103人，其中会下中国象棋的有69人，会下国际象棋的有52人，这两种棋都不会下的有12人。

问这两种棋都会下的有多少人？

例4：

在1到100的自然数中，既不是5的倍数也不是6的倍数的数有多少个？

练习四

1、在1到200的全部自然数中，既不是5的倍数又不是8的倍数的数有多少个？

2、在1到130的全部自然数中，既不是6的倍数又不是5的倍数的数有多少个？

例5：

光明小学举办学生书法展览。

学校的橱窗里展出了每个年级学生的书法作品，其中有24幅不是五年级的，有22幅不是六年级的，五、六年级参展的书法作品共有10幅，其他年级参展的书法作品共有多少幅？

练习五

1、科技节那天，学校的科技室里展出了每个年级学生的科技作品，其中有110件不是一年级的，有100件不是二年级的，一、二年级参展的作品共有32件。

其他年级参展的作品共有多少件？

2、六

（1）儿童节那天，学校的画廊里展出了每个年级学生的图画作品，其中有25幅画不是三年级的，有19幅画不是四年级的，三、四两个年级参展的画共有8幅。

其他年级参展的画共有多少幅？

三、课后作业

1、学校文艺组每人至少会演奏一种乐器，已知会拉手风琴的有24人，会弹电子琴的有17人，其中两种乐器都会演奏的有8人。

这个文艺组一共有多少人？

2、某校选出50名学生参加区作文比赛和数学比赛，结果3人两项比赛都获奖了，有27人两项比赛都没有获奖。

已知作文比赛获奖的有14人，问数学比赛获奖的有多少人？

3、三年级一班参加合唱队的有40人，参加舞蹈队的有20人，既参加合唱队又参加舞蹈队的有14人。

这两队都没有参加的有10人。

请算一算，这个班共有多少人？

4、五

（1）班做广播操，全班排成4行，每行的人数相等。

小华排的位置是：

从前面数第5个，从后面数第8个。

这个班共有多少个学生？

5、实验小学举办学生书法展，学校的橱窗里展出每个年级学生的书法作品，其中有28幅不是五年级的，有24幅不是六年级的，五、六年级参展的书法作品共有20幅。

一、二年级参展的作品总数比三、四年级参展作品的总数少4幅。

一、二年级参展的书法作品共有多少幅？

第三十五周容斥原理

专题简析：

容斥问题涉及到一个重要原理——包含与排除原理，也叫容斥原理。

即当两个计数部分有重复包含时，为了不重复计数，应从它们的和中排除重复部分。

容斥原理：

对n个事物，如果采用不同的分类标准，按性质a分类与性质b分类（如图），那么具有性质a或性质b的事物的个数=Na＋Nb－Nab。

例1：

一个班有48人，班主任在班会上问：

“谁做完语文作业？

请举手！

”有37人举手。

又问：

“谁做完数学作业？

请举手！

”有42人举手。

最后问：

“谁语文、数学作业都没有做完？

”没有人举手。

求这个班语文、数学作业都完成的人数。

分析完成语文作业的有37人，完成数学作业的有42人，一共有37＋42=79人，多于全班人数。

这是因为语文、数学作业都完成的人数在统计做完语文作业的人数时算过一次，在统计做完数学作业的人数时又算了一次，这样就多算了一次。

所以，这个班语文、数作业都完成的有：

79－48=31人。

练习一

1，五年级有122名学生参加语文、数学考试，每人至少有一门功课取得优秀成绩。

其中语文成绩优秀的有65人，数学优秀的有87人。

语文、数学都优秀的有多少人？

2，四年级一班有54人，订阅《小学生优秀作文》和《数学大世界》两种读物的有13人，订《小学生优秀作文》的有45人，每人至少订一种读物，订《数学大世界》的有多少人？

3，学校文艺组每人至少会演奏一种乐器，已知会拉手风琴的有24人，会弹电子琴的有17人，其中两种乐器都会演奏的有8人。

这个文艺组一共有多少人？

【答案】1.65+87-122=30（人）

2.54-45+13=22（人）

3.24-8+17=33（人）

例2：

某班有36个同学在一项测试中，答对第一题的有25人，答对第二题的有23人，两题都答对的有15人。

问多少个同学两题都答得不对？

分析与解答：

已知答对第一题的有25人，两题都答对的有15人，可以求出只答对第一题的有25－15=10人。

又已知答对第二题的有23人，用只答对第一题的人数，加上答对第二题的人数就得到至少有一题答对的人数：

10＋23=33人。

所以，两题都答得不对的有36－33=3人。

练习二

1，五

（1）班有40个学生，其中25人参加数学小组，23人参加科技小组，有19人两个小组都参加了。

那么，有多少人两个小组都没有参加？

2，一个班有55名学生，订阅《小学生数学报》的有32人，订阅《中国少年报》的有29人，两种报纸都订阅的有25人。

两种报纸都没有订阅的有多少人？

3，某校选出50名学生参加区作文比赛和数学比赛，结果3人两项比赛都获奖了，有27人两项比赛都没有获奖。

已知作文比赛获奖的有14人，问数学比赛获奖的有多少人？

【答案】1.40-（23+25-19）=11（人）

2.55-（32+29-25）=19（人）

3.（50-27）+3-14=12（人）

例3：

某班有56人，参加语文竞赛的有28人，参加数学竞赛的有27人，如果两科都没有参加的有25人，那么同时参加语文、数学两科竞赛的有多少人？

分析与解答：

要求两科竞赛同时参加的人数，应先求出至少参加一科竞赛的人数：

56－25=31人，再求两科竞赛同时参加的人数：

28＋27－31=24人。

练习三

1，一个旅行社有36人，其中会英语的有24人，会法语的有18人，两样都不会的有4人。

两样都会的有多少人？

2，一个俱乐部有103人，其中会下中国象棋的有69人，会下国际象棋的有52人，这两种棋都不会下的有12人。

问这两种棋都会下的有多少人？

3，三年级一班参加合唱队的有40人，参加舞蹈队的有20人，既参加合唱队又参加舞蹈队的有14人。

这两队都没有参加的有10人。

请算一算，这个班共有多少人？

【答案】1.24+18-（36-4）=10（人）

2.69+52-（103-12）=30（人）

3.40+20-14+10=56（人）

例4：

在1到100的自然数中，既不是5的倍数也不是6的倍数的数有多少个？

分析与解答：

从1到100的自然数中，减去5或6的倍数的个数。

从1到100的自然数中，5的倍数有100÷5=20个，6的倍数有16个（100÷6=16……4），其中既是5的倍数又是6的倍数（即5和6的公倍数）的数有3个（100÷30=3……10）。

因此，是6或5的倍数的个数是16＋20－3=33个，既不是5的倍数又不是6的倍数的数的个数是：

100－33=67个。

练习四

1，在1到200的全部自然数中，既不是5的倍数又不是8的倍数的数有多少个？

2，在1到130的全部自然数中，既不是6的倍数又不是5的倍数的数有多少个？

3，五

（1）班做广播操，全班排成4行，每行的人数相等。

小华排的位置是：

从前面数第5个，从后面数第8个。

这个班共有多少个学生？

【答案】1.140个2.87个

3.（5+8-1）×4=48（人）

例5：

光明小学举办学生书法展览。

学校的橱窗里展出了每个年级学生的书法作品，其中有24幅

不是五年级的，有22幅不是六年级的，五、六年级参展的书法作品共有10幅，其他年级参展的书法作品共有多少幅？

分析与解答：

由题意知，24幅作品是一、二、三、四、六年级参展作品的总数，22幅是一、二、三、四、五年级参展作品的总数。

24＋22=46幅，这是一个五、六年级和两个一、二、三、四年级参展的作品数，从其中去掉五、六两个年级共参展的10幅作品，即得到两个一、二、三、四年级参展作品的总数，再除以2，即可求出其他年级参展作品的总数。

（24＋22－10）÷2=18幅。

练习五

1，科技节那天，学校的科技室里展出了每个年级学生的科技作品，其中有110件不是一年级的，有100件不是二年级的，一、二年级参展的作品共有32件。

其他年级参展的作品共有多少件？

2，六

（1）儿童节那天，学校的画廊里展出了每个年级学生的图画作品，其中有25幅画不是三年级的，有19幅画不是四年级的，三、四两个年级参展的画共有8幅。

其他年级参展的画共有多少幅？

3，实验小学举办学生书法展，学校的橱窗里展出每个年级学生的书法作品，其中有28幅不是五年级的，有24幅不是六年级的，五、六年级参展的书法作品共有20幅。

一、二年级参展的作品总数比三、四年级参展作品的总数少4幅。

一、二年级参展的书法作品共有多少幅？

【答案】1.89件2.18幅

3.[（28+24-20）÷2-4]÷2=6（幅）