最新高考数学专题复习word版课件96.docx
《最新高考数学专题复习word版课件96.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《最新高考数学专题复习word版课件96.docx（22页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
最新高考数学专题复习word版课件96
1．双曲线定义
平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数（小于|F1F2|）的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．
集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0.
（1）当2a<|F1F2|时，P点的轨迹是双曲线；
（2）当2a＝|F1F2|时，P点的轨迹是两条射线；
（3）当2a>|F1F2|时，P点不存在．
2．双曲线的标准方程和几何性质
标准方程
－＝1（a>0，b>0）
－＝1（a>0，b>0）
图形
性质
范围
x≥a或x≤－a，y∈R
x∈R，y≤－a或y≥a
对称性
对称轴：
坐标轴 对称中心：
原点
顶点
A1（－a,0），A2（a,0）
A1（0，－a），A2（0，a）
渐近线
y＝±x
y＝±x
离心率
e＝，e∈（1，＋∞），其中c＝
实虚轴
线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝2a；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝2b；a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长
a、b、c的关系
c2＝a2＋b2（c>a>0，c>b>0）
【知识拓展】
巧设双曲线方程
（1）与双曲线－＝1（a>0，b>0）有共同渐近线的方程可表示为－＝t（t≠0）．
（2）过已知两个点的双曲线方程可设为＋＝1（mn<0）．
【思考辨析】
判断下面结论是否正确（请在括号中打“√”或“×”）
（1）平面内到点F1（0,4），F2（0，－4）距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线．（ × ）
（2）方程－＝1（mn>0）表示焦点在x轴上的双曲线．（ × ）
（3）双曲线方程－＝λ（m>0，n>0，λ≠0）的渐近线方程是－＝0，即±＝0.（ √ ）
（4）等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于.（ √ ）
（5）若双曲线－＝1（a>0，b>0）与－＝1（a>0，b>0）的离心率分别是e1，e2，则＋＝1（此结论中两条双曲线称为共轭双曲线）．（ √ ）
1．（教材改编）若双曲线－＝1（a>0，b>0）的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心率为（ ）
A.B．5
C.D．2
答案 A
解析 由题意得b＝2a，又a2＋b2＝c2，∴5a2＝c2.
∴e2＝＝5，∴e＝.
2．（2015·安徽）下列双曲线中，渐近线方程为y＝±2x的是（ ）
A．x2－＝1B.－y2＝1
C．x2－＝1D.－y2＝1
答案 A
解析 由双曲线渐近线方程的求法知：
双曲线x2－＝1的渐近线方程为y＝±2x，故选A.
3．（2014·广东）若实数k满足0A．焦距相等B．实半轴长相等
C．虚半轴长相等D．离心率相等
答案 A
解析 因为04．已知F为双曲线C：
x2－my2＝3m（m>0）的一个焦点，则点F到C的一条渐近线的距离为________．
答案
解析 双曲线C的标准方程为－＝1（m>0），其渐近线方程为y＝±x，即y＝±x，不妨选取右焦点F（，0）到其中一条渐近线x－y＝0的距离求解，得d＝＝.
5．（教材改编）经过点A（3，－1），且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线方程为________．
答案 －＝1
解析 设双曲线的方程为－＝±1（a>0），把点A（3，－1）代入，得a2＝8，故所求方程为－＝1.
题型一 双曲线的定义及标准方程
命题点1 双曲线定义的应用
例1 已知圆C1：
（x＋3）2＋y2＝1和圆C2：
（x－3）2＋y2＝9，动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为____________________．
答案 x2－＝1（x≤－1）
解析 如图所示，设动圆M与圆C1及圆C2分别外切于A和B.
根据两圆外切的条件，
得|MC1|－|AC1|＝|MA|，
|MC2|－|BC2|＝|MB|，
因为|MA|＝|MB|，
所以|MC1|－|AC1|＝
|MC2|－|BC2|，
即|MC2|－|MC1|＝|BC2|－|AC1|＝2，
所以点M到两定点C1、C2的距离的差是常数且小于|C1C2|＝6.
又根据双曲线的定义，得动点M的轨迹为双曲线的左支（点M与C2的距离大，与C1的距离小），
其中a＝1，c＝3，则b2＝8.
故点M的轨迹方程为x2－＝1（x≤－1）．
命题点2 利用待定系数法求双曲线方程
例2 根据下列条件，求双曲线的标准方程：
（1）虚轴长为12，离心率为；
（2）焦距为26，且经过点M（0,12）；
（3）经过两点P（－3,2）和Q（－6，－7）．
解
（1）设双曲线的标准方程为
－＝1或－＝1（a>0，b>0）．
由题意知，2b＝12，e＝＝.
∴b＝6，c＝10，a＝8.
∴双曲线的标准方程为－＝1或－＝1.
（2）∵双曲线经过点M（0,12），∴M（0,12）为双曲线的一个顶点，故焦点在y轴上，且a＝12.
又2c＝26，∴c＝13，∴b2＝c2－a2＝25.
∴双曲线的标准方程为－＝1.
（3）设双曲线方程为mx2－ny2＝1（mn>0）．
∴解得
∴双曲线的标准方程为－＝1.
思维升华 求双曲线标准方程的一般方法：
（1）待定系数法：
设出双曲线方程的标准形式，根据已知条件，列出参数a、b、c的方程并求出a、b、c的值．与双曲线－＝1有相同渐近线时，可设所求双曲线方程为－＝λ（λ≠0）．
（2）定义法：
依定义得出距离之差的等量关系式，求出a的值，由定点位置确定c的值．
（1）（2015·课标全国Ⅱ）已知双曲线过点（4，），且渐近线方程为y＝±x，则该双曲线的标准方程为__________________．
（2）设椭圆C1的离心率为，焦点在x轴上且长轴长为26，若曲线C2上的点到椭圆C1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线C2的标准方程为________．
答案
（1）－y2＝1
（2）－＝1
解析
（1）由双曲线渐近线方程为y＝±x，可设该双曲线的标准方程为－y2＝λ（λ≠0），已知该双曲线过点（4，），所以－（）2＝λ，即λ＝1，
故所求双曲线的标准方程为－y2＝1.
（2）由题意知椭圆C1的焦点坐标为F1（－5,0），F2（5,0），设曲线C2上的一点P，则||PF1|－|PF2||＝8.
由双曲线的定义知：
a＝4，b＝3.
故曲线C2的标准方程为－＝1.
即－＝1.
题型二 双曲线的几何性质
例3
（1）过双曲线－＝1（a>0，b>0）的一个焦点F作一条渐近线的垂线，垂足为点A，与另一条渐近线交于点B，若＝2，则此双曲线的离心率为（ ）
A.B.C．2D.
（2）（2015·山东）平面直角坐标系xOy中，双曲线C1：
－＝1（a>0，b>0）的渐近线与抛物线C2：
x2＝2py（p＞0）交于点O，A，B.若△OAB的垂心为C2的焦点，则C1的离心率为________．
答案
（1）C
（2）
解析
（1）如图，
∵＝2，
∴A为线段BF的中点，
∴∠2＝∠3.
又∠1＝∠2，∴∠2＝60°，
∴＝tan60°＝，
∴e2＝1＋（）2＝4，∴e＝2.
（2）由题意，不妨设直线OA的方程为y＝x，
直线OB的方程为y＝－x.
由得x2＝2p·x，
∴x＝，y＝，∴A.
设抛物线C2的焦点为F，则F，
∴kAF＝.
∵△OAB的垂心为F，∴AF⊥OB，∴kAF·kOB＝－1，
∴·＝－1，∴＝.
设C1的离心率为e，则e2＝＝＝1＋＝.
∴e＝.
思维升华
（1）双曲线的几何性质中重点是渐近线方程和离心率，在双曲线－＝1（a>0，b>0）中，离心率e与双曲线的渐近线的斜率k＝±满足关系式e2＝1＋k2.
（2）求双曲线的离心率时，将提供的双曲线的几何关系转化为关于双曲线基本量a，b，c的方程或不等式，利用b2＝c2－a2和e＝转化为关于e的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值或取值范围．
（1）（2015·重庆）设双曲线－＝1（a＞0，b＞0）的右焦点是F，左，右顶点分别是A1，A2，过F作A1A2的垂线与双曲线交于B，C两点，若A1B⊥A2C，则该双曲线的渐近线的斜率为（ ）
A．±B．±
C．±1D．±
（2）（2015·湖北）将离心率为e1的双曲线C1的实半轴长a和虚半轴长b（a≠b）同时增加m（m>0）个单位长度，得到离心率为e2的双曲线C2，则（ ）
A．对任意的a，b，e1B．当a>b时，e1e2
C．对任意的a，b，e1>e2
D．当a>b时，e1>e2；当a答案
（1）C
（2）B
解析
（1）如图，双曲线－＝1的右焦点F（c,0），左，右顶点分别为A1（－a,0），A2（a,0），
易求B，C，
则kA2C＝，kA1B＝，又A1B与A2C垂直，
则有kA1B·kA2C＝－1，即·＝－1，
∴＝1，∴a2＝b2，即a＝b，
∴渐近线斜率k＝±＝±1.
（2）e1＝，e2＝.不妨令e10），得bma时，有>，即e1>e2；当b题型三 直线与双曲线的综合问题
例4
（1）（2015·四川）过双曲线x2－＝1的右焦点且与x轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A，B两点，则|AB|等于（ ）
A.B．2
C．6D．4
答案 D
解析 右焦点F（2,0），过F与x轴垂直的直线为x＝2，渐近线方程为x2－＝0，将x＝2代入渐近线方程得y2＝12，∴y＝±2，
∴A（2,2），B（2，－2），∴|AB|＝4.
（2）若双曲线E：
－y2＝1（a>0）的离心率等于，直线y＝kx－1与双曲线E的右支交于A，B两点．
①求k的取值范围；
②若|AB|＝6，点C是双曲线上一点，且＝m（＋），求k，m的值．
解 ①由得
故双曲线E的方程为x2－y2＝1.
设A（x1，y1），B（x2，y2），
由
得（1－k2）x2＋2kx－2＝0.（*）
∵直线与双曲线右支交于A，B两点，
故
即所以1故k的取值范围是{k|1②由（*）得x1＋x2＝，x1x2＝，
∴|AB|＝·
＝2＝6，
整理得28k4－55k2＋25＝0，∴k2＝或k2＝，
又1所以x1＋x2＝4，y1＋y2＝k（x1＋x2）－2＝8.
设C（x3，y3），由＝m（＋），
得（x3，y3）＝m（x1＋x2，y1＋y2）＝（4m,8m）．
∵点C是双曲线上一点．
∴80m2－64m2＝1，得m＝±.
故k＝，m＝±.
思维升华
（1）研究直线与双曲线位置关系问题的通法：
将直线方程代入双曲线方程，消元，得关于x或y的一元二次方程．当二次项系数等于0时，直线与双曲线相交于某支上一点，这时直线平行于一条渐近线；当二次项系数不等于0时，用判别式Δ来判定．
（2）用“点差法”可以解决弦中点和弦斜率的关系问题，但需要检验．
已知双曲线C的两个焦点分别为F1（－2,0），F2（2，0），双曲线C上一点P到F1，F2的距离差的绝对值等于2.
（1）求双曲线C的标准方程；
（2）经过点M（2,1）作直线l交双曲线C的右支于A，B两点，且M为AB的中点，求直
升级会员 