实验4Z变换和系统频域特性的MATLAB实现.docx
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实验4Z变换和系统频域特性的MATLAB实现
小实验4Z变换和系统频域特性的MATLAB实现
1.实验目的
学习通过Z变换来分析离散系统的频率响应，并用MATLAB实现。
加深对系统的零、极点分布概念的理解。
2.实例分析
2.1通过Z变换分析求解系统的冲激响应
已知用线性常系数差分方程：
表示的线性时不变系统其系统函数为：
（3-1）
上式为两个关于
的多项式之比，即
为有理分式。
同时，式可以表示成部分分式的形式：
则可以通过所熟悉的常见序列的Z变换形式求得
的Z反变换，从而求得系统的冲激响应函数
。
MATLAB提供了一个内部函数residuez（），来计算有理多项式的留数和直接项，residuez（）函数有几种调用方式：
（1）[R,p,C]=residuez（b,a），在已知以分子行向量b和分母行向量a下，得到列向量R含有留数，列向量p是极点位置，行向量C包含直接项；
（2）[b,a]=residuez（R,p,C），将部分分式展开式转换到分子行向量b和分母行向量a.
MATLAB还提供了一个内部函数impz（b,a,N），在已知分子行向量b和分母行向量a下，计算N点的单位冲激响应
。
例3.1求系统：
的单位冲激响应
。
解：
由上述基本原理和MATLAB提供的函数，将下列指令编辑到“exe3impz.m”文件中，可以得到所求系统的冲激响应
。
%exe3impz.mh（n）求解
b=[0.001836,0.007344,0.011016,0.007374,0.001836];
a=[1,-3.0544,3.8291,-2.2925,0.55075];
[h,n]=impz（b,a,40）;
stem（n,h,'.'）;ylabel（'h[n]'）;gridon
运行“exe3impz.m”文件将产生如图3-1所示的序列。
图4-1系统冲激响应
例3.2求
的Z反变换。
解：
由上述基本原理和MATLAB提供的函数，将下列指令编辑到“exe3zinver.m”文件中，来求Z反变换。
%exe3zinver.mz反变换求解
b=[0,1,0];
a=[3,-4,1];
[R,p,C]=residuez（b,a）
[b,a]=residuez（R,p,C）
运行结果如下：
R=
0.5000
-0.5000
p=
1.0000
0.3333
C=
0
b=
-0.00000.33330
a=
1.0000-1.33330.3333
因此得到因式分解后的
，所以Z反变换的结果为
。
2.2通过Z变换分析离散系统的频率响应和零、极点分布
将式（3-1）表示的
的分子、分母进行因式分解，可采用根的形式表示多项式，即
其中，
为分子多项式的根，称为系统函数的零点，
为分母多项式的根，称为系统函数的极点，A为比例。
这样系统函数就表示成了零极点的形式，零极点在Z平面的位置刻画了系统很重要的特性，可以通过系统函数零极点位置估算出系统函数的频率响应，进而判断系统的滤波特性，这是一种非常实用的方法，也称为频率响应的几何确定法。
根据频率响应的定义，将
代入上式，系统频率响应为：
MATLAB提供了一个内部函数zplane（b,a），在已知系统函数的分子行向量b和分母行向量a下，画出极点和零点。
MATLAB还提供了一个内部函数freqz（）来求系统的频率响应，freqz（）函数有几种调用方式：
（1）[H,w]=freqz（b,a,N），在已知分子行向量b和分母行向量a情况下得到N点的频率向量w和N点的系统复频率响应向量H，频率响应在单位圆的上半圆的N个等分点上求值；
（2）[H,w]=freqz（b,a,N,’whole’），在已知分子行向量b和分母行向量a情况下得到N点的频率向量w和N点的系统复频率响应向量H，频率响应用环绕整个单位圆的N个等分点求值；
（3）H=freqz（b,a,w），在已知分子行向量b和分母行向量a情况下得到在频率向量w上的频率响应向量H。
例3.3画出因果系统
的零极点图和频率响应曲线，并求出脉冲响应
。
解：
由上述的基本原理和MATLAB提供的函数，将下列指令编辑到“exe3freqz.m”文件中，即可求得系统的零极点图和频率响应。
%exe3freqz.m系统求解
b=[1,0];
a=[1,-0.9];
subplot（2,2,1）;zplane（b,a）;
[H,w]=freqz（b,a,100）;
magH=abs（H）;
phaH=angle（H）;
subplot（2,2,3）;plot（w/pi,magH）;gridon
xlabel（'FrequencyinPiuints'）;
ylabel（'Magnitude'）;
title（'Magnituderesponse'）;
subplot（2,2,4）;plot（w/pi,phaH/pi）;
xlabel（'FrequencyinPiuints'）;
ylabel（'Phase'）;
title（'Phaseresponse'）;
[h,n]=impz（b,a,40）;
subplot（2,2,2）;stem（n,h,'.'）;ylabel（'h[n]'）;gridon
运行“exe3freqz.m”文件将产生如图3-2所示的序列。
图4-2系统零极点及频率响应
例3.4定性画出
的零极点图和频率响应曲线。
解：
由上述基本原理和MATLAB提供的函数，将下列指令编辑到“exe3freqz2.m”文件中，即可求得系统的零极点图和频率响应。
%exe3freqz2.m系统求解
N=8;
b=[1,0,0,0,0,0,0,0,-1];
a=[1,0,0,0,0,0,0,0,0];
subplot（2,1,1）;
zplane（b,a）;
title（'零点-极点图'）;
[H,w]=freqz（b,a,100）;
magH=abs（H）;
phaH=angle（H）;
subplot（2,2,3）;plot（w/pi,magH）;gridon
xlabel（'FrequencyinPiuints'）;
ylabel（'Magnitude'）;
title（'Magnituderesponse'）;
subplot（2,2,4）;plot（w/pi,phaH/pi）;
xlabel（'FrequencyinPiuints'）;
ylabel（'Phase'）;
title（'Phaseresponse'）;
运行“exe3freqz2.m”文件将产生如图3-3所示的序列。
图4-3零极点及频率响应图
2.3由
求解零极点及由零极点得到
的表达式
例3.5已知系统函数
有5个零点，一个在
，另外4个是
及其共轭与镜像，求
的系数并进行验证。
解：
MATLAB提供了一个内部函数tf2zp（），来求
的零极点和增益；提供了一个内部函数zp2tf（），在零极点已知时求
和
的系数；提供了一个内部函数roots（），来求一个多项式的根；提供了一个内部函数poly（），由给定的根求出相应多项式的系数。
因此，将下列指令编辑到“exe2zphz.m”文件中，可求解和验证。
%exe3zphz.m零极点与系统函数的转换
B=poly（[0.5*exp（j*pi/3）,0.5*exp（-j*pi/3）,2*exp（j*pi/3）,2*exp（-j*pi/3）,0.8]）;
L=length（B）;
A=zeros（1,L）;A
（1）=1;
[Z,P,K]=tf2zp（B,A）;
sort（Z）
[b,a]=zp2tf（Z,P,K）
Z1=roots（B）
运行“exe3zphz.m”文件结果如下，可自行比较验证。
ans=
0.2500-0.4330i
0.2500+0.4330i
0.8000
1.0000-1.7321i
1.0000+1.7321i
b=
1.0000-3.30007.2500-6.70003.0000-0.8000
a=
100000
Z1=
1.0000+1.7321i
1.0000-1.7321i
0.8000
0.2500+0.4330i
0.2500-0.4330i
3.实验内容
3.1求系统
的零极点和频率响应。
b=[0.0528,0.0797,0.1295,0.1295,0.797,0.0528];
a=[1,-1.8107,2.494,-1.8801,0.9537,-0.2336];
subplot（2,2,1）;zplane（b,a）;
[H,w]=freqz（b,a,1000）;
magH=abs（H）;
phaH=angle（H）;
subplot（2,2,3）;plot（w/pi,magH）;gridon
xlabel（'FrequencyinPiuints'）;
ylabel（'Magnitude'）;
title（'Magnituderesponse'）;
subplot（2,2,4）;plot（w/pi,phaH/pi）;
xlabel（'FrequencyinPiuints'）;
ylabel（'Phase'）;
title（'Phaseresponse'）;
[h,n]=impz（b,a,40）;
subplot（2,2,2）;stem（n,h,'.'）;ylabel（'h[n]'）;gridon
3.2求出矩形序列
的零极点和频率响应。
3.3已知离散系统差分方程为：
求其Z变换，画出零极点图，并判断系统的稳定性。
b=[1,-0.5,0];
a=[1,0.75,0.125];
subplot（2,2,1）;zplane（b,a）;
[H,w]=freqz（b,a,100）;
magH=abs（H）;
phaH=angle（H）;
极点在单位圆内，所以系统是稳定的
4.思考题
试从理论上计算分析例子3.4的零极点分布和幅频响应，并把结果同MATLAB程序运行结果对比。
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