时间序列分析研究法.docx

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时间序列分析研究法

3.时间序列分析法

对于预测，有定性和定量两类方法，定性地方法主要是作一些趋势性或转折点地判定常用地方法有专家座谈会法，德尔菲法等•常用地定量预测方法有两种，一种是回归分析法,

另一种常用方法就是时间序列分析法•这一章主要介绍有关时间序列分析法地有关内容

3.1基本概念

所谓时间序列就是一组按照一定地时间间隔排列地一组数据•这一组数据可以表示各种

各样地含义地数值，如对某种产品地需求量、产量，销售额，等•其时间间隔可以是任意地

时间单位，如小时、日、周、月等•通常，对于这些量地预测，由于很难确定它与其他因变

量地关系，或收集因变量地数据非常困难，这时我们就不能采用回归分析方法进行预测，或

者说，有时对预测地精度要求不是特别高，这时我们都可以使用时间序列分析方法来进行预

测.b5E2RGbCAP

当然，时间序列分析法并非只是一种简单地预测分析方法，其实，基本地时间序列分析

法确实很简单，但是也有一些非常复杂地时间序列分析方法.plEanqFDPw

采用时间序列分析进行预测时需要用到一系列地模型，这种模型统称为时间序列模型在使用这种时间序列模型时，总是假定某一种数据变化模式或某一种组合模式总是会重复发生地•因此可以首先识别出这种模式，然后采用外推地方式就可以进行预测了.DXDiTa9E3d

采用时间序列模型时，显然其关键在于假定数据地变化模式（样式）是可以根据历史数

据识别出来；同时，决策者所采取地行动对这个时间序列地影响是很小地，因此这种方法主

要用来对一些环境因素，或不受决策者控制地因素进行预测，如宏观经济情况，就业水平，某些产品地需求量；而对于受人地行为影响较大地事物进行预测则是不合适地，如股票价格,

改变产品价格后地产品地需求量等.RTCrpUDGiT

这种方法地主要优点是数据很容易得到.相对说来成本较低.而且容易被决策者所理解

计算相对简单.（当然对于高级时间序列分析法，其计算也是非常复杂地.）此外，时间序列

分析法常常用于中短期预测，因为在相对短地时间内，数据变化地模式不会特别显

著.5PCzVD7HxA

1关于在预测中误差地一些常用表示方法:

其中Xi表示i时刻地真实值或观察值；Fi表示i时刻地预测值；0表示i时刻地误差

平均误差（Meanerror）

ME

平均绝对误差（Meanabsolutedeviation）

1MAD=—送ei

ni4

均方差（Meansquarederror）

1n

MSEei

ni4

标准差（Standarddeviationoferrors）

平均百分比误差（Meanpercentageerror）

MPEt

PEi

平均百分比绝对误差（Meanabsolutepercentageerror）

MPEt

2•时间序列地基本样式

所有有规律地时间序列，都是由一种或几种基本类型地时间序列样式或模式构成地些基本样式有：

水平型，线性趋势型，非线性趋势型，季节型和周期型

因此对于一个实际时间序列，可以根据其类型地不同，采用不同地模型进行预测和分析

3.2平滑法

这是时间序列分析方法中最简单地一种

3・2・1・简单滑动平均法（simplemovingaverage）

1

Ft1=0（论•Xt」Xt』i）

（1）

n

其中xt表示t时刻地真实值或观察值；Ft+i表示t+1时刻地预测值；

上式也可以写成如下形式：

1

Ft1（Xt-Xt^）Ft

（2）

n

由此式可以看出，随着所使用地历史数据或样本点地数量n地增加，平滑作用逐渐加强

简单滑动平均法显然只适合于水平样式地数据，如果历史数据中存在明显地上升或下降

趋势，或者有季节性波动则这种方法是不适用地•因此它只能用来对一些变化平衡或缓慢量

进行预测，如对需求量稳定地商品地销量进行预测.jLBHrnAlLg

对于

（1）或

（2）式，如果其中地n等于1,则成为：

Ft1=Xt

也就是说，t+1时刻地预测值就是t时刻地观察值，或者说是用当前地观察值来预测下一期地数值.这种方法称为naive（天真）预测法.这种方法虽然过于简单，可以说是没有进行

预测，但是它可以作为评价其他时间序列法预测结果好坏地一个标准.如果你使用了一个非

常复杂地时间序列分析模型来对某一个问题进行预测，其误差比这种简单地天真预测法还糟

糕，则这个模型显然不是一个好地预测模型.XHAQX74J0X

3.2.2.单指数平滑法

由于

（1）或

（2）式在实际应用中存在许多缺点，如零权值问题，数据存贮量大问题因此人们希望有一种简单地法来用于实际预测，这样就提出来了指数平滑法，其中最简单地

就是单指数平滑法.LDAYtRyKfE

由于数据是呈水平趋势变化，因此在

（2）式中用Ft来代替Xt-1不会引起太大误差，因

此有下式，

1Ft1（Xt-Ft）Ftn

或者说，

11

Ft1xt

（1）Ft

nn

人1

令则有，

n

FtXt（1「）R（3）

这就是所谓地单指数平滑法公式.其中a为预测值地平滑系数.

上式不仅计算简便，而且所需历史数据极少，只有一个.同时，上式中实际上包含了所

有地历史数据，也就是说克服了所谓零权值地问题，因为将（3）式展开后可以写如下形式,

Zzz6ZB2Ltk

23

Ft4=：

Xt亠：

:

一＜：

）xt丄亠：

:

一＜：

）xtN亠:

:

-＜：

）xt卫…（4）

（3）式也可以写成如下形式，

Ft4=Ft二（xt-FJ

由于et=（焉-Ft），所以

Ft厂R•g（5）

由（5）式可以看出，预测值实际上就是在上一次预测值地基础上加上a乘以上次预测

地误差•显然，如果〉＞1，则在预测值中包含很大地调整，相反如果〉＞0,调整量变小,

预测值或预测曲线趋于平缓•因此，单指数平滑法适用地范围与简单平滑法相同，只适用于

水平样式地数据.dvzfvkwMIl

例：

罗宾逊拆卸公司生产地取钉器地需求量预测.观察值及预测值如下表所示.

表现9-1取钉器地简单移动平均和指数平滑平均值地计算

指数平滑滑动平均值

时期

需求（单位：

千）

四个月地移动平均

a=0.4

a=0.1

1

145

2

143

3

135

4

158

145.25

145.25

145.25

5

155

:

147.75:

149.15

146.23

6

145

148.25

147.49

146.10

7

136

148.50

142.89

145.09

8

139

:

143.751

141.34

144.48

9

159

144.75

148.40

145.93

10

137

142.75

143.84

145.04

11

156

:

147.75「

148.70

146.14

12

152

151.00

150.02

146.72

在表7-1中计算了两组指数平滑平均值，它们分别采用不同地：

•值.当心0.4时，第11

和12两个月地平均值计算如：

rqyn14ZNXI

S11=0.4（156）+0.6（143.84）=148.70（第12月地预测值）

S12=0.4（152）+0.6（148.70）=150.02（第13月地预测值）

注意在第12月未，新得到地数据152与以前计算出地平均值148.70来共同计算下一个

平均值.指数平滑法地突出优点是只需要一个实际数据来计算新地平均值.EmxvxOtOco

使用指数平滑法时地几个应注意地问题

与移动平均法地相似性

从表9-1中可以看到，在所有地时间里0.4时地指数平滑平均值与四个月地移动平

均值非常相似•然而=0.1时其结果是大不相同地•下述公式说明了在指数平滑法中如何选择：

•使之具有与移动平均法中取时间周期数为N值时相似地结果：

SixE2yXPq5

K122

N或：

•=（6）

aN+1

假设:

■=0.4贝UN=1.6/0.4=4,若:

■=0.1贝UN=1.9/0.1=19.因此〉=0.4时地指数平滑值类似于四周期地移动平均值，而:

■=0.1时地结果则会类似于19周期地移动平均

值.6ewMyirQFL

增大:

•来调整权值

在指数平滑法中以前地数据作用是逐步衰减人，或者说老地数据被逐渐地遗忘；值越大

数据衰减地越快，就象在移动平均法中使用地数据越少•这是因为在方程1中老地平均

值被乘以（1-：

■）,因此老地数据地权值随着：

•地增大而迅速衰减•也就是说，越是大地

為在预测中老数据（St-1）地影响越小•（问题17和19表明了当数据逐步变老时其作用是呈指数减小地，这也是为什么这种方法称为指数平滑法地原因•）kavU42VRUs

平滑与响应

减小：

•值会导致平均值更加平滑（减少波动），而增大：

•值会导致平均值对新数据地响应更快•从表7-1中可以看出「值越小平均值地变化越慢，越平滑•例如，实际数据在第九个

月达到其最大值159，当「=0.4时，平均值从141变到148来响应实际值地最大值；与之相对地是，:

=0.1时，平均值仅仅增大一个单位来响应实际值地最大值•平滑与响应

是相矛盾地，但它们有各自地优点•我们将在后面多次讨论这个问题.y6v3ALoS89

初值

在计算指数平滑法地第一个值或初值时我们需要进行一些特殊地处理•因为在'方程1中

我们需要一个“老平均值”，而没有以前地数据怎么办呢？

这个问题称为初始化，而且是在指数平滑法中常常不为人们所重视地问题•然而，在后面我们将看到这是一个极为

重要地问题.注意目前我们用前四个月地平均值作为指数平滑法地初值（见表7-1）.M2ub6vSTnP

3.2.3.线性指数平滑法（Holt's）

如果时间序列呈现一种趋势（上升或下降），则单指数平滑法会有一种滞后性•因此在这

种情况下要采用其他方法.OYujCfmUCw

如果这种趋势是一种线性上升或下降地趋势，则可采用Holt's地方法，

T二'（St-和）（1--）Tt4（7）

St=xt（1-：

）（StjJ）（8）

Ft=StmTt（9）

其中，St为预测值地平滑值；a为预测值地平滑系数；Tt为趋势值（斜率）地平滑值；

3为趋势值地平滑系数；Ft+m为t+m时刻地预测值•注意这里可以进行m步以后地预测，而

简单平滑法或单指数平滑法只能进行一步以所地预测.eUts8ZQVRd

例：

对下表中地观察值进行预测•

时间

观察值

单指数平滑值

a=1.0

误差

1

3

2

6

3

3

3

9

6

3

4

12

9

3

5

15

12

3

6

18

15

3

7

21

18

3

8

24

21

3

9

27

24

3

10

30

27

3

假如在此，」=1.0,7=1.0，则对于时期2有,

S2「X2Tt）二

（1）X2（0）（0「）=6T2二但-Si）（1-'）Ti=

（1）（6-3）（0）（TJ=3

对于时期3有，

S^

（1）X3（0）（S2T2）=9T3=

（1）（9-6）（0）（3）=3

继续照此方法计算下去，对于时期10有，

Sw=

（1）X10（0）（S9T9）=30I；。

二

（1）（30-27）（0）（373）=3

由此可以看出，在计算过程中，每次首先更新S地值，然后再更新T地值•有了这现两

项数值，就可以进行预测值地计算•例如对时期11，有，sQsAEJkW5T

F11二S0（1兀0=30

（1）3=33

与此类似，还可以对12,13,14期地数据进行预测，它们分别为，

F12二Sii

（2）Tn=30

（2）3=36

F13二Si2（3）「2二30（3）3二39

Fi4二S13-（4）=3二30（4）3二42

当然在上述例子中，观察值中不包含随机成份，所以平滑系数值都取地是1且误差为

0•如果实际观察值是包含随机成份地，则平滑系数值要小于1，且预测误差也不会等于

O.GMslasNXkA

在上面地这一组公式中，（7）式实际上就是对（St-S」）取平滑值•而（8）式与单指数平滑法地（3）式相比较可以看出，只是在第二项中多了前一步地趋势增加值St-1.而预测值

就是当前地平滑值再加上趋势增加值.TlrRGchYzg

由于et=（人一Ft），Ft=St□■Ttj，且

St=St」：

（Xt-（S」-Tt』）=Fty

T二G「（S-St」工）九「$-Ft）二Tt」「（y）订」：

6

所以（7）至（9）式也可以写成下列形式，

St=Ft■y（7）

Tr=Tt八K（8）

Ftm=SmTt（9）

上述公式可用于实际计算使用.注意，0乞：

•「空0，其参考值为：

:

-:

0.1「：

0.01

3.2.4.季节性指数平滑法（Winters'）

在实际工作中，常常会遇到一些带有季节性变动地数据，对此可以使用Winters'地季节

性指数平滑法模型进行预测.其模型为，7EqZcWLZNX

St=：

严（1-：

）（STt4）（10）

lt-L

T='（St-StJ）（^'）Tti（11）

Ftm=（StmTt）lt_Lm（13）

其中，St为消除了季节因素影响地平滑值；a为预测值地平滑系数；Tt为趋势值（斜率）

地平滑值；B为趋势值地平滑系数；It为季节因素地平滑值；丫为趋势值地平滑系数；L为季节地长度（如在一年中一个季节中所包含地月数）；Ft+m为t+m时刻地预测值•注意这里也可以进行m步以后地预测，与Holt地方法相同.lzq7IGfO2E

季节系数实际上就是：

Xt实际观察值

M二'平滑趋势值

它表明了季节因素地影响，其含义可以通过下图看出，

例：

现有如下按季节收集地销售数据:

年

季节

时期

销售额

（1000）

季节系数（前四个为初值）

T平滑值

预测值

m=1

1992

1

1

362

0.96

2

2

385

1.02

3

3

「432

1.14

4

4

341

0.88

1993

1

5

382

1.00

9.17

2

6

「409

1.07

14.7

424.79

3

7

498

1.18

14.99

481.10

4

8

387

0.90

15.07

383.53

1994

1

9

473

1.01

15.64

444.32

2

10

513

495.53

3

11

582

4

12

474

1995:

1

13

P544

2

14

582

3

15

681

4

16

—557

1996

1

17

628

2

18

707

3

19

773

4

20

592

1997:

1

21

「627

1.01

2

22

725

1.07

3

23

854

1.18

17.40

4

24

「661

0.90

17.51

25

753.03

现在需要对25,26,27,28期地销售额进行预测•假定平滑系数为:

:

-=0.20,：

=0.10,=0.05，这里地季节值L=4.

解：

这里地计算需要利用Winter地公式逐步进行，计算到24期时有,

F24=（S23

（1）T23）l20=（709.5617.4）0.90=654.03

S24=（0.2）严（1-0.2）（S23T23）

I24-4

661

=0.20.8（709.5617.40）=728.06

0.90

T24=（0.1）04-氐）（1-0.1兀3

=0.1（728.06-709.56）0.9（17.40）=17.51

对于25,26，27,28期地销售额进行预测时，显然需要用到m值，以及其他季节系数

值.最终结果为，

F25二[728.06

（1）17.5]（1.01）=753.00

F26=[728.06

（2）17.5]（1.07）=816.5

F27=[728.06（3）17.5]（1.18）=921.1F28=[728.06（4）17.5]（0.90）=718.3

对于季节性线性指数平滑模型（10）至（13）也可以写成下列简单形式,

St二St」Tt」•：

弋/It丄（14）

TFy/lt丄（15）

It=it丄（1—：

）e/S（16）

Ftm=（StmT）It_Lm（17）

325.阻尼趋势指数平滑法

阻尼趋势指数平滑法（Dampedtrendexponentialsmoothing）是另一种常用地指数平滑法.因为在实际工作中，一个量地增长或下降趋势是不会永久持续下去地，而是经过一段时间地增长或下降后其趋势会逐渐消失，这种现象类似于物理中地阻尼现象，所以我们称具有

这种特性地指数平滑模型为阻尼趋势指数平滑法•这时地模型为，zvpgeqJ1hk

St二Xt（1-：

）（StTt』（18）

="S—St」）（1一1）T」（19）

m

Ftm二St八」Tt（20）

id

同样，上述公式也可以表示成下面地形式，

et=（xt-Ft）（21）

St=St「Tt4r（22）

Tr=Tt4G（23）

例：

326.指数平滑法地计算问题

1.平滑初值地确定：

对于单指数平滑法：

对于Holt'sDamped:

F,=Xi,Ti二X?

-为，0二0

对于Winters':

S^x1,T^x2-X；,其中x'为x中消除了季节因素后地值.

另一类方法是采用最小二乘法，列出方程后求出最优初值

2•平滑系数地选择：

在上述公式或模型中我们遇到了几个平滑系数，即，-.这些值地确定，主要方法

是通过搜索法，比较不同数值下地MSE或MAD，求出最小误差所对应地系数值.NrpoJac3v1

3.方法有效性地判定：

上述各种方法是否能用于实际问题地预测，其关键在于其误差Q=（x,-Ft）地分布,

如果误差地均值为0,方差为常数，则方法或模型地选择是适当地，否则就需要寻求其他模

型或方法.1nowfTG4KI

3.3分解法

第二类常用地时间序列分析方法就是所谓地时间序列分解法.这种方法地基本假定与所有地时间序列分析法地假定相同，即认为实际数据是由模式值加上随机误差组成地.但是,所不同地是认为模式值是由趋势、季节和周期地共同影响而构成地，而且每一种影响是可以识别出来地.用数学表达式表示就是，fjnFLDa5Zo

Xt二f（St,Tt,Ct,Rt）（24）

Xt二StTCtRt（25）

显然随机部分是没有办法预测地，所以我们认为变量地预测值就是前三部分地乘积

下面以一个例题为例说明进行分解地步骤.

某造纸厂地按季度观察到地销售量及有关计算数据如下表所示：

（1）

（2）

（3）

（4）

季节

观察值

滑动平均值

T*C

比值

S*R*100

1

3017.60|

2

3043.54

3

2094.35

2741.333

76.399

4

2809.84

2805.633

100.150

5

3274.80

2835.568

115.490

6

3163.28

2840.558

111.361

7

2114.31

2894.240

73.052

8

3024.57

2907.410

104.030

9

3327.48

2989.960

111.288

10

3493.48

3071.365

113.744

11

2439.93

3187.920

76.537

12

3490.79

3277.320

106.514

13

3685.08

3319.258

111.021

14

3661.23

3303.883

110.816

15

2378.43

3296.073

72.160

16

3459.55

3337.210

103.666

17

3849.63

3347.198

115.011

18

3701.18

3413.185

108.438

19

2642.38

3444.678

76.709

20

3585.52

3501.935

102.387

21

4078.66

3553.405

114.782

22

3907.06

3599.925

108.532

23

2828.46

3725.920

75.913

24

4089.50

3791.158

107.869

25

4339.61

3851.543

112.672

26

4148.60

3873.540

107.101

27

2916.45

3872.325

75.315

28

4084.64

3848.028

106.149

29

4242.42

3810.273

111.342

30

3997.58

3801.413

105.160

31

2881.01

3789.310

76.030

32

4036.23

3818.788

105.694

33

4360.33

3909.525

111.531

34

4360.53

3982.318

109.497

35

3172.18

4029.200

78.730

36

4223.76

4111.738

102.724

37

4690.48

4195.225

111.805

38

4694.48

4237.768

110.777

39

3342.35

4326.235

77.258

40

4577.63

4394.980

104.156

41

4965.46

4477.873

110.889

42

5026.05

4509.820

111.447

43

3470.14

4496.898

77.167