第六章 解直角三角形.docx

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第六章解直角三角形

第六章解直角三角形

第1课正弦和余弦

（一）

一、教学目标

（一）知识教学点

使学生知道当直角三角形的锐角固定时，它的对边、邻边与斜边的比值也都固定这一事实．

（二）能力训练点

逐步培养学生会观察、比较、分析、概括等逻辑思维能力．

（三）德育渗透点

引导学生探索、发现，以培养学生独立思考、勇于创新的精神和良好的学习习惯．

二、教学重点、难点

1．重点：

使学生知道当锐角固定时，它的对边、邻边与斜边的比值也是固定的这一事实．

2．难点：

学生很难想到对任意锐角，它的对边、邻边与斜边的比值也是固定的事实，关键在于教师引导学生比较、分析，得出结论．

三、教学过程

（一）明确目标

1．如图6-1，长5米的梯子架在高为3米的墙上，则A、B间距离为多少米？

2．长5米的梯子以倾斜角∠CAB为30°靠在墙上，则A、B间的距离为多少？

3．若长5米的梯子以倾斜角40°架在墙上，则A、B间距离为多少？

4．若长5米的梯子靠在墙上，使A、B间距为2米，则倾斜角∠CAB为多少度？

前两个问题学生很容易回答．这两个问题的设计主要是引起学生的回忆，并使学生意识到，本章要用到这些知识．但后两个问题的设计却使学生感到疑惑，这对初三年级这些好奇、好胜的学生来说，起到激起学生的学习兴趣的作用．同时使学生对本章所要学习的内容的特点有一个初步的了解，有些问题单靠勾股定理或含30°角的直角三角形和等腰直角三角形的知识是不能解决的，解决这类问题，关键在于找到一种新方法，求出一条边或一个未知锐角，只要做到这一点，有关直角三角形的其他未知边角就可用学过的知识全部求出来．

通过四个例子引出课题．

（二）整体感知

1．请每一位同学拿出自己的三角板，分别测量并计算30°、45°、60°角的对边、邻边与斜边的比值．

学生很快便会回答结果：

无论三角尺大小如何，其比值是一个固定的值．程度较好的学生还会想到，以后在这些特殊直角三角形中，只要知道其中一边长，就可求出其他未知边的长．

2．请同学画一个含40°角的直角三角形，并测量、计算40°角的对边、邻边与斜边的比值，学生又高兴地发现，不论三角形大小如何，所求的比值是固定的．大部分学生可能会想到，当锐角取其他固定值时，其对边、邻边与斜边的比值也是固定的吗？

这样做，在培养学生动手能力的同时，也使学生对本节课要研究的知识有了整体感知，唤起学生的求知欲，大胆地探索新知．

（三）重点、难点的学习与目标完成过程

1．通过动手实验，学生会猜想到“无论直角三角形的锐角为何值，它的对边、邻边与斜边的比值总是固定不变的”．但是怎样证明这个命题呢？

学生这时的思维很活跃．对于这个问题，部分学生可能能解决它．因此教师此时应让学生展开讨论，独立完成．

2．学生经过研究，也许能解决这个问题．若不能解决，教师可适当引导：

若一组直角三角形有一个锐角相等，可以把其

顶点A1，A2，A3重合在一起，记作A，并使直角边AC1，AC2，AC3……落在同一条直线上，则斜边AB1，AB2，AB3……落在另一条直线上．这样同学们能解决这个问题吗？

引导学生独立证明：

易知，B1C1∥B2C2∥B3C3……，∴△AB1C1∽△AB2C2∽△AB3C3∽……，∴

形中，∠A的对边、邻边与斜边的比值，是一个固定值．

通过引导，使学生自己独立掌握了重点，达到知识教学目标，同时培养学生能力，进行了德育渗透．

而前面导课中动手实验的设计，实际上为突破难点而设计．这一设计同时起到培养学生思维能力的作用．

练习题为

作了孕伏同时使学生知道任意锐角的对边与斜边的比值都能求出来．

（四）总结与扩展

1．引导学生作知识总结：

本节课在复习勾股定理及含30°角直角三角形的性质基础上，通过动手实验、证明，我们发现，只要直角三角形的锐角固定，它的对边、邻边与斜边的比值也是固定的．

教师可适当补充：

本节课经过同学们自己动手实验，大胆猜测和积极思考，我们发现了一个新的结论，相信大家的逻辑思维能力又有所提高，希望大家发扬这种创新精神，变被动学知识为主动发现问题，培养自己的创新意识．

2．扩展：

当锐角为30°时，它的对边与斜边比值我们知道．今天我们又发现，锐角任意时，它的对边与斜边的比值也是固定的．如果知道这个比值，已知一边求其他未知边的问题就迎刃而解了．看来这个比值很重要，下节课我们就着重研究这个“比值”，有兴趣的同学可以提前预习一下．通过这种扩展，不仅对正、余弦概念有了初步印象，同时又激发了学生的兴趣．

四、布置作业

本节课内容较少，而且是为正、余弦概念打基础的，因此课后应要求学生预习正余弦概念．

第2课正弦和余弦

（二）

一、教学目标

（一）知识教学点

使学生初步了解正弦、余弦概念；能够较正确地用sinA、cosA表示直角三角形中两边的比；熟记特殊角30°、45°、60°角的正、余弦值，并能根据这些值说出对应的锐角度数．

（二）能力训练点

逐步培养学生观察、比较、分析、概括的思维能力．

（三）德育渗透点

渗透教学内容中普遍存在的运动变化、相互联系、相互转化等观点．

二、教学重点、难点

1．教学重点：

使学生了解正弦、余弦概念．

2．教学难点：

用含有几个字母的符号组sinA、cosA表示正弦、余弦；正弦、余弦概念．

三、教学过程

（一）明确目标

1．引导学生回忆“直角三角形锐角固定时，它的对边与斜边的比值、邻边与斜边的比值也是固定的．”

2．明确目标：

这节课我们将研究直角三角形一锐角的对边、邻边与斜边的比值——正弦和余弦．

（二）整体感知

只要知道三角形任一边长，其他两边就可知．

而上节课我们发现：

只要直角三角形的锐角固定，它的对边与斜边、邻边与斜边的比值也固定．这样只要能求出这个比值，那么求直角三角形未知边的问题也就迎刃而解了．

通过与“30°角所对的直角边等于斜边的一半”相类比，学生自然产生想学习的欲望，产生浓厚的学习兴趣，同时对以下要研究的内容有了大体印象．

（三）重点、难点的学习与目标完成过程

正弦、余弦的概念是全章知识的基础，对学生今后的学习与工作都十分重要，因此确定它为本课重点，同时正、余弦概念隐含角度与数之间具有一一对应的函数思想，又用含几个字母的符号组来表示，因此概念也是难点．

在上节课研究的基础上，引入正、余弦，“把对边、邻边与斜边的比值称做正弦、余弦”．如图6－3：

请学生结合图形叙述正弦、余弦定义，以培养学生概括能力及语言表达能力．教师板书：

在△ABC中，∠C为直角，我们把锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA，锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cosA．

若把∠A的对边BC记作a，邻边AC记作b，斜边AB记作c，则

引导学生思考：

当∠A为锐角时，sinA、cosA的值会在什么范围内？

得结论0＜sinA＜1，0＜cosA＜1（∠A为锐角）．这个问题对于较差学生来说有些难度，应给学生充分思考时间，同时这个问题也使学生将数与形结合起来．

教材例1的设置是为了巩固正弦概念，通过教师示范，使学生会求正弦，这里不妨增问“cosA、cosB”，经过反复强化，使全体学生都达到目标，更加突出重点．

例1 求出图6－4所示的Rt△ABC中的sinA、sinB和cosA、cosB的值．

讲解例1

学生练习1中1、2、3．

让每个学生画含30°、45°的直角三角形，分别求sin30°、sin45°、sin60°和cos30°、cos45°、cos60°．这一练习既用到以前的知识，又巩固正弦、余弦的概念，经过学习亲自动笔计算后，对特殊角三角函数值印象很深刻．

例2 求下列各式的值：

讲解例2

（四）总结、扩展

首先请学生作小结，教师适当补充，“主要研究了锐角的正弦、余弦概念，已知直角三角形的两边可求其锐角的正、余弦值．知道任意锐角A的正、余弦值都在0～1之间，即0＜sinA＜1，0＜cosA＜1（∠A为锐角）．还发现Rt△ABC的两锐角∠A、∠B，sinA＝cosB，cosA＝sinB．正弦值随角度增大而增大，余弦值随角度增大而减小．”

四、布置作业

教材习题6.1中A组2.3.

第3课正弦和余弦（三）

 一、教学目标

（一）知识教学点

使学生了解一个锐角的正弦（余弦）值与它的余角的余弦（正弦）值之间的关系．

（二）能力训练点

逐步培养学生观察、比较、分析、综合、抽象、概括的逻辑思维能力．

（三）德育渗透点

培养学生独立思考、勇于创新的精神．

二、教学重点、难点

1．重点：

使学生了解一个锐角的正弦（余弦）值与它的余角的余弦（正弦）值之间的关系并会应用．

2．难点：

一个锐角的正弦（余弦）与它的余角的余弦（正弦）之间的关系的应用．

三、教学过程

（一）明确目标

1．复习提问

（1）、什么是∠A的正弦、什么是∠A的余弦，结合图形请学生回答．因为正弦、余弦的概念是研究本课内容的知识基础，请中下学生回答，从中可以了解教学班还有多少人不清楚的，可以采取适当的补救措施．

（2）请同学们回忆30°、45°、60°角的正、余弦值（教师板书）．

（3）请同学们观察，从中发现什么特征？

学生一定会回答“sin30°＝cos60°，sin45°＝cos45°，sin60°＝cos30°，这三个角的正弦值等于它们余角的余弦值”．

2．导入新课

根据这一特征，学生们可能会猜想“一个锐角的正弦（余弦）值等于它的余角的余弦（正弦）值．”这是否是真命题呢？

引出课题．

（二）、整体感知

关于锐角的正弦（余弦）值与它的余角的余弦（正弦）值之间的关系，是通过30°、45°、60°角的正弦、余弦值之间的关系引入的，然后加以证明．引入这两个关系式是为了便于查“正弦和余弦表”，关系式虽然用黑体字并加以文字语言的证明，但不标明是定理，其证明也不要求学生理解，更不应要求学生利用这两个关系式去推证其他三角恒等式．在本章，这两个关系式的用处仅仅限于查表和计算，而不是证明．

（三）重点、难点的学习和目标完成过程

1．通过复习特殊角的三角函数值，引导学生观察，并猜想“任一锐角的正弦（余弦）值等于它的余角的余弦（正弦）值吗？

”提出问题，激发学生的学习热情，使学生的思维积极活跃．

2．这时少数反应快的学生可能头脑中已经“画”出了图形，并有了思路，但对部分学生来说仍思路凌乱．因此教师应进一步引导：

sinA=cos（90°-A），cosA=sin（90°-A）（A是锐角）成立吗？

这时，学生结合正、余弦的概念，完全可以自己解决，教师要给学生足够的研究解决问题的时间，以培养学生逻辑思维能力及独立思考、勇于创新的精神．

3．教师板书：

任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值；任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值．

sinA=cos（90°-A），cosA=sin（90°-A）．

4．在学习了正、余弦概念的基础上，学生了解以上内容并不困难，但是，由于学生初次接触三角函数，还不熟练，而定理又涉及余角、余函数，使学生极易混淆．因此，定理的应用对学生来说是难点、在给出定理后，需加以巩固．

已知∠A和∠B都是锐角，

（1）把cos（90°-A）写成∠A的正弦．

（2）把sin（90°-A）写成∠A的余弦．

这一练习只能起到巩固定理的作用．为了运用定理，教材安排了例3．

（2）已知sin35°=0.5736，求cos55°；

（3）已知cos47°6′=0.6807，求sin42°54′．

（1）问比较简单，对照定理，学生立即可以回答．

（2）、（3）比

（1）则更深一步，因为

（1）明确指出∠B与∠A互余，

（2）、（3）让学生自己发现35°与55°的角，47°6′分42°54′的角互余，从而根据定理得出答案，因此

（2）、（3）问在课堂上应该请基础好一些的同学讲清思维过程，便于全体学生掌握，在三个问题处理完之后，最好将题目变形：

（2）已知sin35°=0.5736，则cos______=0.5736．

（3）cos47°6′=0.6807，则sin______=0.6807，以培养学生思维能力．

为了配合例3的教学，教材中配备了练习题2．

（2）已知sin67°18′=0.9225，求cos22°42′；

（3）已知cos4°24′=0.9971，求sin85°36′．

学生独立完成练习2，就说明定理的教学较成功，学生基本会运用．

教材中3的设置，实际上是对前二节课内容的综合运用，既考察学生正、余弦概念的掌握程度，同时又对本课知识加以巩固练习，因此例3的安排恰到好处．同时，做例3也为下一节查正余弦表做了准备．

（四）小结与扩展

1．请学生做知识小结，使学生对所学内容进行归纳总结，将所学内容变成自己知识的组成部分．

2．本节课我们由特殊角的正弦（余弦）和它的余角的余弦（正弦）值间关系，以及正弦、余弦的概念得出的结论：

任意一个锐角的正弦值等于它的余角的余弦值，任意一个锐角的余弦值等于它的余角的正弦值．

四、布置作业

教材习题6.1A组4、5．

第4课正切和余切

一、教学目标 

（一）知识教学点 

使学生了解正切、余切的概念，能够正确地用tanA、cotA表示直角三角形（其中一个锐角为∠A）中两边的比，了解tanA与cotA成倒数关系，熟记30°、45°、60°角的各个三角函数值，会计算含有这三个特殊锐角的三角函数值的式子，会由一个特殊锐角的三角函数值说出这个角的度数，了解一个锐角的正切（余切）值与它的余角的余切（正切）值之间的关系．

（二）能力训练点

逐步培养学生观察、比较、分析、综合、概括等逻辑思维能力．

（三）德育渗透点

 培养学生独立思考、勇于创新的精神．

 二、教学重点、难点

 1．重点：

了解正切、余切的概念，熟记特殊角的正切值和余切值．

 2．难点：

了解正切和余切的概念．

 三、教学过程

（一）明确目标

 1．什么是锐角∠A的正弦、余弦？

（结合图6-8回答）．

 2．填表

3．互为余角的正弦值、余弦值有何关系？

 4．当角度在0°～90°变化时，锐角的正弦值、余弦值有何变化规律？

5．我们已经掌握一个锐角的正弦（余弦）是指直角三角形中该锐角的对边（邻边）与斜边的比值．那么直角三角形中，两直角边的比值与锐角的关系如何呢？

在锐角三角函数中，除正、余弦外，还有其它一些三角函数，本节课我们学习正切和余切．

（二）整体感知．

正切、余切的概念，也是本章的重点和关键，是全章知识的基础，对学生今后的学习或工作都十分重要．教材在继第一节正弦和余弦后，又以同样的顺序安排第二节正切余切．像这样，把概念、计算和应用分成两块，每块自成一个整体小循环，第二循环又包含了第一循环的内容，可以有效地克服难点，同时也使学生通过对比，便于掌握锐角三角函数的有关知识．

（三）重点、难点的学习与目标完成

1．引入正切、余切概念

①本节课我们研究两直角边的比值与锐角的关系，因此同学们首先应思考：

当锐角固定时，两直角边的比值是否也固定？

因为学生在研究过正弦、余弦概念之后，已经接触过这类问题，所以大部分学生能口述证明，并进一步猜测“两直角边的比值一定是正切和余切．”

②给出正切、余切概念如图6-10，在Rt△ABC中，把∠A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作tanA．

即tanA=

并把∠A的邻边与对边的比叫做∠A的余切，记作cotA，

即cotA=

2．tanA与cotA的关系

请学生观察tanA与cotA的表达式，得结论

（或

）

这个关系式既重要又易于掌握，必须让学生深刻理解，并与tanA＝cot（90°-A）区别开．

 3．锐角三角函数

由上图，

把锐角A的正

弦、余弦、正切、余切都叫做∠A的锐角三角函数．

锐角三角函数概念的给出，使学生茅塞顿开，初步理解本节题目．

问：

锐角三角函数能否为负数？

学生回答这个问题很容易．

4．特殊角的三角函数．

三角函数/0°/30°/45°/60°/90° 

请同学推算30°、45°、60°角的正切、余切值．（如图6-11）

5．根据互为余角的正弦值与余弦值的关系，结合图形，引导学生发现互为余角的正切值与余切值的关系．

 结论：

任意锐角的正切值等于它的余角的余切值，任意锐角的余切值等于它的余角的正切值．

 即tanA=cot（90°-A），cotA=tan（90°-A）．

 练习：

1）请学生回答tan45°与cot45°的值各是多少？

tan60°与cot30°？

tan30°与cot60°呢？

学生口答之后，还可以为程度较高的学生设置问题：

tan60°与cot60°有何关系？

为什么？

tan30°与cot30°呢？

 2）把下列正切或余切改写成余角的余切或正切：

（1）tan52°；

（2）tan36°20′；（3）tan75°17′；

 （4）cot19°；（5）cot24°48′；（6）cot15°23′．

 6．例题

 例1求下列各式的值：

（1）2sin30°+3tan30°+cot45°；2）cos245°+tan60°·cos30°．

讲解例1

练习：

求下列各式的值：

（1）sin30°-3tan30°+2cos30°+cot90°；

（2）2cos30°+tan60°-6cot60°；

 （3）5cot30°-2cos60°+2sin60°+tan0°；

（4）

（5）

学生的计算能力可能不很强，尤其是分式，二次根式的运算，因此这里应查缺补漏，以培养学生运算能力．

 （四）总结扩展

 请学生小结：

本节课了解了正切、余切的概念及tanA与cotA关系．知道特殊角的正切余切值及互为余角的正切值与余切值的关系．本课用到了数形结合的数学思想．

结合

四、布置作业

 1．看教材，培养学生看书习惯．

 2．教材习题6.2A组2、3、5、6．

第5课用计算器求锐角三角函数值和由锐角三角函数值求锐角

一教学目标

（一）知识教学点

1．会用计算器求出一个数的平方、平方根、立方、立方根。

2．会用计算器求锐角三角函数值和由锐角三角函数值求锐角。

（二）能力训学点：

培养学生熟练地使用现代化辅助计算手段的能力

（三）德育渗透点；激发学生学习兴趣与求知欲。

二教学重点：

会用计算器求锐角三角函数值和由锐角三角函数值求锐角

三教学过程

问题1你能用计算器求出

（1）45、

（2）

、（3）

、（4）

的值吗？

试一试。

说明和建议

（1）组织学生人人用计算器来计算上述运算，分别求出它们的结果，使学生回忆出以前学过的用计算器进行数的乘方、开方的计算方法。

（2）在计算上述4个问题时，采取兵教兵的方法，教师只需作个别辅导。

计算结束后，可叫学生逐一说出使用计算器的顺序和方法，以纠正学生中存在的错误。

在使用CZ1206型计算器时，要求乘方的底数大于或等于0，当算式中乘方的底数小于0，且指数是奇数时,应将计算器中得到的结果加上负号，再进行加、减、乘、除运算时，只要按四则运算算式顺序输入数据与运算符号即可完成运算，具有括号的算式，可按照算式中的括号出现的顺序按[]　键即可，如计算：

200—｛2

3—〔8

4+2

（3—4

2）—（5+6）〕｝

可按以下顺序按键

2、0、0、-、〔、2、×、3、-、[、8、

、4、

+、2、×、[、3、-、4、×、2、]、-、[、5

+、6、]、]、]、=，显示176

（4）教师还可以出一组加减乘除和乘方、开方的简单的计算题，让学生练习，以复习和巩固以前学过的计算器的有关内容和方法。

问题2（阅读课本第105页的有关内容并使用计算器进行计算，逐一回答问题。

）

（1）用计算器求锐角的三角函数值时应首先按哪一个键？

（2） 怎样用计算器求锐角的三角函数值？

要注意什么问题？

说明和建议：

（1）对求非整数度数的锐角三角函数值时，要先把它化为以度为单位的角后再求它的三角函数值。

在用计算器计算时注意度与分、秒之间均要用+键，分化度时用÷、6、0键，秒化度时用÷、3、6、0、0、键。

（2）按键时要正确，顺序不能搞错。

（3）教师可根据学生边读阅、边动手计算的情况，再提供已知锐角求它的正弦、余弦、正切、余切的题目让学生求出各锐角的三角函数值

问题3（阅读课本，按课本内容用计算器计算，并回答问题）

（1）怎样使用计算器由锐角三角函数值求锐角？

要注意什么问题？

（2）怎样求锐角的余切值和由锐角的余切值求锐角？

说明和建议：

（1）在学生边阅读、边计算时，教师要提醒学生以下几点：

在按sin或cos或tan键前必须按第二功能选择键；按sin键后显示得到的是这个锐角的度数，必须按课本上的方法逐一把度数的小数部分化为分，再把分的小数部分化为秒，最后得到精确到

的锐角的近似值。

（2）求锐角的余切值时应转换成求这个锐角的余角的正切值。

即利用关系式cotA=tan（

–A）来解决。

再由锐角的余切值求锐角时，应利用关系式cotA=

来解决。

（3）教师应配置相应的课堂练习题让学生巩固这类问题的解决方法。

[课堂练习]

课本习题6.3第1

（2）、2

（2）题。

[作业]课本习题6.3第1

（2）、（3）、（4）题、第2

（2）题。

第6课解直角三角形

一、教学目标

（一）知识教学点

 使学生理解直角三角形中五个元素的关系，会运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形．

（二）能力训练点

 通过综合运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形，逐步培养学生分析问题、解决问题的能力．

 （三）德育渗透点

 渗透数形结合的数学思想，培养学生良好的学习习惯．

 二、教学重点、难点和疑点

 1．重点：

直角三角形的解法．

 2．难点：

三角函数在解直角三角形中的灵活运用．

 3．疑点：

学生可能不理解在已知的两个元素中，为什么至少有一个是边．

 三、教学过程

（一）明确目标

 1．在三角形中共有几个元素？

 2．直角三角形ABC中，∠C=90°，a、b、c、∠A、∠B这五个元素间有哪些等量关系呢？

（1）边角之间关系

如果用

表示直角三角形的一个锐角，那上述式子就可以写成.

（2）三边之间关系

a2+b2=c2（勾股定理）

（3）锐角之间关系∠A+∠B=90°．

以上三点正是解直角三角形的依据，通过复习，使学生便于应用．

（二）整体感知

教材在继锐角三角函数后安排解直角三角形，目的是运用锐角三角函数知识，对其加以复习巩固．同时，本课又为以后的应用举例打下基础，因此在把实际问题转化为数学问题之后，就是运用本课——解直角三角形的知识来解决的．综上所述，解直角三角形一课在本章中是起到承上启下作用的重要一课．

（三）重点、难点的学习与目标完成过程 

1．我们已掌握Rt△ABC的边角关系、三边关系、角角关系，利用这些关系，在知道其中的两个元素（至少有一个是边）后，就可求出其余的元素．这样的导语既可以使学生大概了解解直角三角形的概念，同时又陷入思考，为什么两个已知元素中必有一条边呢？

激发了学生的学习热情． 

2．教师在学生思考后，继续引导“为什么两个已知元素中至少有一条边？

”让全体学生的思维目标一致，在作出准确回答后，教师请学生概括什么是解直角三角形？

（由直角三角形中除直角外的两个已知元素，求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形）． 

3．例题

例