关于数学方面一些特殊题目的解答.docx

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关于数学方面一些特殊题目的解答

如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1的侧面ABB1A1内有一动点P到直线A1B1和直线BC的距离相等，则动点P所在曲线形状为（　　）

A．

B．

C．

D．

解：

依题意可知点P到BC的距离就是当P点B的距离，P到点B的距离等于到直线A1B1的距离，

根据抛物线的定义可知，动点P的轨迹是以B为焦点，以A1B1为准线的过A的抛物线的一部分．

A的图象为直线的图象，排除A．

B项中B不是抛物线的焦点，排除B．

D项不过A点，D排除．

故选C．

为什么一个二面角的两个面分别垂直于另一个二面角的两个面,它们的关系不确定

与摆放位置有关系 ，如图，在直二面角A-DC-F中，有一二面角，它的两个面分别垂直于直二面角A-DC-F的两个面，但它的一个面可以绕它的交线转动，这时两个二面角之间大小是不定的。

将边长为4m的正方形钢板适当剪裁，再焊接成一个密闭的正四棱柱水箱，并要求这个水箱的全面积等于该正方形钢板的面积（要求剪裁的块数尽可能少，不计焊接缝的面积），则该水箱的容积为

4m34m3

解：

根据水箱的表面积等于该正方形钢板的面积

剪下的部分拼成水箱盖，

∴剪下的部分的总面积应等于水箱的底面积．

在正方形钢板的四角各剪下一个边长x米的正方形，

则水箱的表面积应为：

2（4-2x）2+4（4-2x）x=16，

解这个方程，

32-16x=16，x=1，

所以水箱高1米，底面是边长2米的正方形．

∴该水箱的容积为4m3

若方程x+y-6根号（x+y）+3k=0仅仅表示一条直线，则实数k的取值范围是？

参考：

解：

把√（x+y）看成一个整体，由于√（x+y）非负，且x+y-6√（x+y）+3k=0仅表示一条直线，所以分两种情况

（1）判别式等于0,此时k=3

（2）方程有两个根，一正一负，很明显负值被舍去，所以只有一个正值留下，还是仅表示一条直线。

所以k<0

若两负，或两正，显然都不可能。

综上，k的范围是k<0或k=3.

用一个平面去截正方体,如何截正方形，五边形，六边形

已知△ABC的三个顶点在抛物线y^2=2x上,抛物线焦点为F，若AF，BF,CF成等差数列，且B横坐标为2/3求AC的垂直平分线与x轴的交点坐标

解：

AF，BF,CF成等差数列，

∴AF+CF=2BF

设A（2m^2,2m）,C（2n^2,2n）,由抛物线定义，

2m^2+1/2+2n^2+1/2=2（2/3+1/2）,

得，m^2+n^2=2/3。

AC的斜率=1/（m+n）,

AC的中点为（2/3,m+n）,

AC的垂直平分线:

y-（m+n）=-（m+n）（x-2/3）,

它与x轴的交点坐标为（5/3,0）。

已知定义在（0，正无穷）上的函数f（x）为单调函数，且f（x）f（f（x）+1/x）=1,则f

（1）=

解：

设f

（1）=a  

令x=1时f

（1）f[f

（1）+1]=1  即f（a+1）=1/a

令x=a+1时f（a+1）f[f（a+1）+1/（a+1）]=1  

即f[f（a+1）+1/（a+1）]=a=f

（1）

又由于f（x）在定义域单调

所以f（a+1）+1/（a+1）=1

      1/a+1/（a+1）=1

      a=（1+根号5）/2  或  a=（1-根号5）/2

关于函数f（x）=sin²x-（2/3）^|x|+1/2，有下列四个结论：

1f（x）是周期函数;②当x＞2003时,f（x）＞1/2恒成立;

③f（x）的最大值是1/2;④f（x）的最小值是-3/2，

其中正确结论的个数为：

.

解：

①-（2/3）^|x|在[0,+∞]和[-∞,0]上为单调函数，所以显然f（x）不是周期函数,

②当x>2003时，-（2/3）^|x|总小于0，sin²x仍可以为0，所以f（x）>1/2不可能恒成立,

③x无限增大时，-（2/3）^|x|可以无限接近于0，sin²x总可以取到1，所以f（x）最大值一定大于1/2,

④-（2/3）^|x|最小值为-1,sin²x最小值为0，-1+1/2>-3/2,所以最小值也不为-3/2,

所以正确结论个数为0

（2011湖北卷）5：

已知随机变量

服从正态分布

，且Ｐ（

＜4）＝

，则Ｐ（0＜

＜2）＝

解答：

以Φ（x）表示标准正态分布的分布函数,它有性质:

Φ（-x）=1-Φ（x）

P（ξ>4）=1-P（ξ<=4）=1-P{[（ξ-2）/σ]<=[（4-2）/σ]}=1-Φ[2/σ]=0.2.

P（ξ<0）=P{[（ξ-2）/σ]<[（0-2）/σ）}=Φ[-2/σ].

由性质,得:

P（ξ<0）=Φ[-2/σ]=1-Φ[2/σ]=0.2.

∵P（ξ<4）=0.8

所以P（ξ>4）=0.2

所以P（ξ<0）=0.2

所以P（0<ξ<2）=0.5-0.2=0.3

（2011湖北卷）18：

已知定义在r上的奇函数f（x）和偶函数g（x）满足f（x）+g（x）=a^x-a^-x+2，（a>0,a≠0）.若g

（2）=a,求f

（2）

解：

直接将x=2代入原式可以得到

f

（2）=a^2-a^-2+2-a

（1）

关键问题为求a的值，将x=-x代入原式可得

f（-x）+g（-x）=a^-x-a^x+2

（2）

加上原式

f（x）+g（x）=a^x-a^-x+2（3）

注意到

（2）、（3）式右端可以抵消，于是

（2）+（3）有

f（-x）+g（-x）+f（x）+g（x）=4（4）

这时将奇偶函数特性：

奇函数f（-x）=-f（x）,偶函数g（-x）=g（x）代入（4）可得

g（x）=2（5）

那么g（x）恒等于2，g

（2）=a=2，把a=2代入

（1）得到最终结果

f

（2）=2^2-2^-2=15/4

（2011上海卷）18：

设

是各项为正数的无穷数列，

是边长为

的矩形面积（

），则

为等比数列的充要条件为（）

A

是等比数列。

B

或

是等比数列。

C

和

均是等比数列。

D

和

均是等比数列，且公比相同。

解：

依题意可知Ai=ai•ai+1，

∴Ai+1=ai+1•ai+2，

若{An}为等比数列则Ai+1Ai=ai+2ai=q（q为常数），则a1，a3，…，a2n-1，…和a2，a4，…，a2n，…均是等比数列，且公比均为q；

反之要想{An}为等比数列则Ai+1Ai=ai+2ai需为常数，即需要a1，a3，…，a2n-1，…和a2，a4，…，a2n，…均是等比数列，且公比相等；

故{An}为等比数列的充要条件是a1，a3，…，a2n-1，…和a2，a4，…，a2n，…均是等比数列，且公比相同．

故选D

（2011上海卷）17：

设A1，A2，A3，A4，A5是平面上给定的5个不同点，则使向量MA1+MA2+MA3+MA4+MA5=0成立的点M的个数为个.

解法：

一个

设A1，A2，A3，A4,A5坐标分别为（X1,Y1）,（X2,Y2）,（X3,Y3）,（X4,Y4）（X5,Y5）

设M坐标为（X,Y）

由MA1+MA2+MA3+MA4+MA5=0得方程

（X1-X）+（X2-X）+（X3-X）+（X4-X）+（X5-X）=0

（Y1-Y）+（Y2-Y）+（Y3-Y）+（Y4-Y）+（Y5-Y）=0

解得X=（X1+X2+X3+X4+X5）/5

Y=（Y1+Y2+Y3+Y4+Y5）/5

故有唯一的M满足等式

（2011全国卷）16：

在三角形ABC中，B＝60度，AC＝

，则AB＋2BC的最大值为?

解法：

由公式AC^2=AB^2+BC^2-2cosB|AB||BC|

有AB^2+BC^2-|AB||BC|=3

设AB＋2BC=aBC=x则AB=a-2x代入上式

得到7x^2-5ax+a^2-3=0

上式有解且x>0

故有25a^2-28（a^2-3）>=0得0

所以AB＋2BC的最大值为2√7

（2011全国卷）12：

函数y=1／x-1,的图像与函数y=2sinπx（-2<=x=<4）的图像所有交点的横坐标之和等于多少？

A.2B.4C.6D.8

解法1：

函数y=1/（1-x）的图像关于点（1,0）对称

y=2sinπx的图像也关于点（1,0）对称

区间（-2≤x≤4）也关于点（1,0）对称

有8个交点，每两个交点之和的横坐标之和等于1所有交点的横坐标之和等于8

解法2：

令z=1-x,即x=1-z；

则y=1/（1-x）变为y=1/z,y=2sinπx变为y=2sinπ（1-z）=2[sinπcosπz-cosπsinπz]=2sinπz。

因-2<=x=<4，故-4<=--x=<2,-3<=1-x<=3,即-3<=z<=3。

这样可知y=1/z与y=2sinπz均为[-3,3]上的奇函数，

令f（z）=1/z-2sinπz,则若有z0使得f（z0）=0,则必有-z0也使f（--z0）=0成立。

此时x的值分别为1-z0，1+z0，他们的和为2。

另外由于y=1/z有意义，故z≠0，排出了交点为奇数个的情形。

问题转化为求f（z）=1/z-2sinπz在[-3,3]上的零点有几对的问题。

只看z>0一边，简单的画一下y=1/z与y=2sinπz的图像，显然当z=1/2时，1/z=2，2sinπz=2这是一个交点并且此时1/z的切线斜率小于0，而2sinπz的切线斜率等于0这样两者在（1/2,1）上还有一个交点；显然在（2,5/2）（5/2,3）上还各有一个交点。

共有四对交点，结果是8.

（2005辽宁卷）8：

若钝角三角形三内角的度数成等差数列，且最大边长与最小边长的比值为m，则m的范围是（）

A．（1，2）B．（2，+∞）C．[3，+∞

D．（3，+∞）

解法:

我们先来求一个等式,设三个内角从大到小的顺序为：

A、B、C。

则可以得到，A-B=B-C；则可得A+C=2B；又因为A+B+C=180度，所以可以得到3B=180度，B=60度。

所以A+C=120度，这里因为A是钝角必须大于90度，所以A得取值范围是90

所以就是答案B.（2,+∞）,这里的2是开区间，因为是钝角，只能近似的为90度，所以只能取开区间。

2.如图，OM∥AB,点P在由射线OM、线段OB及AB的延长线围成的阴影区域内（不含边界）运动.向量OP=x向量OA+y向量OB,则x的取值范围为____，当x=-1/2时，y的取值范围为___

3．xyz=32x+y+z=4则|x|+|y|+|z|最小值为_____?

解：

设：

x>=y>=z

因为：

xyz=32>0

所以：

x,y,z满足全为正或一正二负

若是全为正数

由均值不等式得：

4=x+y+z>=3*三次根号下xyz

所以：

xyz<=64/27<32

矛盾

所以为一正二负

即：

x>0>y>=z

|x|+|y|+|z|

=x-y-z

=2x-（x+y+z）

=2x-4

所以只要x最小

z=4-x-y

代入xyz=32得：

xy^2+（x^2-4x）y-32=0

由于判别式大于零

得：

（x^2-4x）^2>=128x

x（x-8）（x^2+16）>=0

因为x>0,x^2+16>0

所以一定有：

x-8>=0,x>=8

故最小值为：

2*8-4=12

4.凸四边形ABCD的对角线ACBD相交于O且AC⊥BD已知OA＞OCOB＞OD比较BC+AD和AB+CD的大小

解：

设OA=A,OC=a;OB=B.OD=b

则

（BC+AD）^2=a^2+B^2+b^2+A^2+2*根号【（a^2+B^2）*（b^2+A^2）】=a^2+B^2+b^2+A^2+2*根号[（Aa）^2+（bB）^2+（AB）^2+（ba）^2】

同理有

（AB+CD）^2=a^2+B^2+b^2+A^2+2*根号【（Aa）^2+（bB）^2+（Ab）^2+（aB）^2】

因为（AB）^2+（ba）^2-[（Ab）^2+（aB）^2）]=（A^2-a^2）*（B^2-b^2）>0

所以（BC+AD）^2>（AB+CD）^2

即BC+AD>AB+CD

5.已知椭圆方程为x^2/4+y^2=1,A,B在椭圆上，满足OA与OB垂直.求三角形AOB面积的最大与最小值.

解：

首先我设B（2cosa1,sina1）,A（2cosa2,sina2）

由向量OA与OB垂直可得tana1tana2=-4

于是三角形面积可化简为S=sin（a2-a1）

答案是[4/5,1].

6.已知x²-x-1=0，试求-x³+2x²+2004的值！

！

解：

-x³+2x²+2004=-（x³-x²-x）+x^2-x-1+2005

7.

9.在直角坐标系中,若方程m（x^2+y^2+1）=（x-2y+3）^2表示的曲线是椭圆,则m的取值范围？

解：

通过适当变形,也可用初等方法解决:

--->m（x^2+y^2+2y+1）=（x-2y+3）^2

--->（根m）*根[x^2+（y+1）^2]=|x-2y+3|

--->根（m/5）*根[x^2+（y+1）^2]=|x-2y+3|/根[1^2+（-2）^2]

--->{根[x^2+（y+1）^2]}/[|x-2y+3|/（根5）]=根（5/m）

显然,此为点（x,y）到定点（0,-1）的距离与它到定直线x-2y+3=0的距离之比（即离心率e）为常数"根（5/m）",

故依定义知,轨迹是椭圆时,有

0<根（5/m）<1

解得,m>5.

10.画图：

极坐标方程：

r（t）=sin（（n/d）*t）.

解：

图如下

附件：

玫瑰线是极坐标系中的正弦曲线，可以用以下的方程来表示：

如果k是偶数，玫瑰线就有2k个瓣，如果k是奇数，则有k个瓣。

如果k是有理数，玫瑰线就是封闭的，其长度有限。

如果k是无理数，则曲线不是封闭的，长度为无穷大。

在这种情况下，玫瑰线的图形便形成了一个稠密集。

由于对于所有的θ，都有：

因此由以下方程所确定的玫瑰线

和

除了角度的不同以外，是全等的。

重要提示：

XX一下：

Wolframalpha

找到网址。

输入：

polarplotr=sin（2*t）

--------------------------------------

也可以输入：

plotr=sin（2*t）

但是……

r=sin（2*t）

和ploty=sin（2*t）

就不行啦！

变成直角坐标系了.

11.【悖论】蚂蚁和橡皮绳

一只蚂蚁沿着一条长100米的橡皮绳以每秒1厘米的匀速由一端向另一端爬行．每过1秒钟，橡皮绳就拉长 100米，比如 10秒后，橡皮绳就伸长为1000米了．当然，这个问题是纯数学化的，既假定橡皮绳可任意拉长，并且拉伸是均匀的．蚂蚁也会不知疲倦地一直往前爬，在绳子均匀拉长时，蚂蚁的位置理所当然地相应均匀向前挪动．现在要问，如此下去，蚂蚁能否最终爬到橡皮绳的另一端？

解答:

蚂蚁的位置随着绳子变长也在变化，

而蚂蚁每秒爬过的相对距离是存在的。

。

。

这样看，

第1秒，蚂蚁爬了全长的1/10000

第2秒，蚂蚁爬了全长的1/20000

第3秒，蚂蚁爬了全长的1/30000

……

设N秒后爬到绳子的头：

1/10000（1+1/2+1/3+…+1/N）=1

即：

1+1/2+1/3+。

。

。

+1/N=10000

因为1+1/2+1/3+。

。

。

+1/N是发散数列，当N→∞时，

数列值可以→∞

所以绝对可以追上！

！

！

！

（另解，因为橡皮绳拉长时，把蚂蚁看成绳上一个点，蚂蚁也往前移了！

有一个确切的解！

仁者见仁：

附件：

1+1/2+1/3+。

。

。

+1/N为什么可以要多大有多大？

？

？

因为

 1+1/2+ 1/3+1/4 + 1/5+1/6+1/7+1/8+……+1/N

>1+1/2+（1/4+1/4）+（1/8+1/8+1/8+1/8）+……+1/N

=1+1/2+ 1/2 + 1/2 +…….+1/2

=（1/2）M

当M→∞时，（1/2）M→∞

12.费马大定理：

当整数n>2时，关于x,y,z的不定方程x^n+y^n=z^n.无正整数解。

13.对于任意x属于R,f（x）=ax^2+bx+c（a

A.0,B.1,C.2,D.3

解：

D.3.

我们很容易得到，b>a>0，

F（x）=f（x）/a=x^2+b/ax+c/a（a

即，（b/a）^2-4c/a≦0。

（a+b+c）/（b-a）=（1+b/a+c/a）/（b/a-1）=（1+u+v）/（u-1）令b/a=u＞1（有用）,c/a=v，

有（b/a）^2≦4c/a可得v≥1/4u^2

则（1+u+v）/（u-1）≥（1+u+1/4u^2）/（u-1）=1/4[（u-1）+6+9/（u-1）]≥3。

（u>1）

最小值为3.