第九章 98曲线与方程.docx

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第九章98曲线与方程

§9.8　曲线与方程

最新考纲

考情考向分析

1.了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系．

2.了解解析几何的基本思想，利用坐标法研究曲线的简单性质．

3.能够根据所给条件选择适当的方法求曲线的轨迹方程.

以考查曲线的轨迹、轨迹方程为主．题型主要以解答题的形式出现，题目为中档题，有时也会在选择、填空题中出现.

1．曲线与方程的定义

一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C（看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹）上的点与一个二元方程f（x，y）＝0的实数解建立如下的对应关系：

那么，这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线．

2．求动点的轨迹方程的基本步骤

概念方法微思考

1．f（x0，y0）＝0是点P（x0，y0）在曲线f（x，y）＝0上的充要条件吗？

提示　是．如果曲线C的方程是f（x，y）＝0，则曲线C上的点的坐标满足f（x，y）＝0，以f（x，y）＝0的解为坐标的点也都在曲线C上，故f（x0，y0）＝0是点P（x0，y0）在曲线f（x，y）＝0上的充要条件．

2．方程y＝与x＝y2表示同一曲线吗？

提示　不是同一曲线．

3．若点P到直线x＝－1的距离比它到点（2,0）的距离小1，则点P的轨迹是什么图形？

提示　依题意知，点P到直线x＝－2的距离等于它到点（2,0）的距离，故点P的轨迹是抛物线．

4．曲线的交点与方程组的关系是怎样的？

提示　曲线的交点与方程组的关系

（1）两条曲线交点的坐标是两个曲线方程的公共解，即两个曲线方程组成的方程组的实数解；

（2）方程组有几组解，两条曲线就有几个交点；方程组无解，两条曲线就没有交点．

题组一　思考辨析

1．判断下列结论是否正确（请在括号中打“√”或“×”）

（1）方程x2＋xy＝x的曲线是一个点和一条直线．（　×　）

（2）到两条互相垂直的直线距离相等的点的轨迹方程是x2＝y2.（　×　）

（3）y＝kx与x＝y表示同一直线．（　×　）

（4）动点的轨迹方程和动点的轨迹是一样的．（　×　）

题组二　教材改编

2．[P37T3]已知点F，直线l：

x＝－，点B是l上的动点，若过点B垂直于y轴的直线与线段BF的垂直平分线交于点M，则点M的轨迹是（　　）

A．双曲线B．椭圆

C．圆D．抛物线

答案　D

解析　由已知|MF|＝|MB|，根据抛物线的定义知，

点M的轨迹是以点F为焦点，直线l为准线的抛物线．

3．[P35例1]曲线C：

xy＝2上任一点到两坐标轴的距离之积为______．

答案　2

解析　在曲线xy＝2上任取一点（x0，y0），则x0y0＝2，

该点到两坐标轴的距离之积为|x0||y0|＝|x0y0|＝2.

4．[P37B组T1]若过点P（1,1）且互相垂直的两条直线l1，l2分别与x轴，y轴交于A，B两点，则AB中点M的轨迹方程为______________．

答案　x＋y－1＝0

解析　设M的坐标为（x，y），则A，B两点的坐标分别是（2x,0），（0,2y），连接PM，∵l1⊥l2.

∴|PM|＝|OM|，

而|PM|＝，|OM|＝.

∴＝，

化简，得x＋y－1＝0，即为所求的轨迹方程．

题组三　易错自纠

5．方程（2x＋3y－1）（－1）＝0表示的曲线是（　　）

A．两条直线B．两条射线

C．两条线段D．一条直线和一条射线

答案　D

解析　原方程可化为或－1＝0，

即2x＋3y－1＝0（x≥3）或x＝4，

故原方程表示的曲线是一条射线和一条直线．

6．已知M（－1,0），N（1,0），|PM|－|PN|＝2，则动点P的轨迹是（　　）

A．双曲线B．双曲线左支

C．一条射线D．双曲线右支

答案　C

解析　由于|PM|－|PN|＝|MN|，所以D不正确，应为以N为端点，沿x轴正向的一条射线．

7．已知M（－2,0），N（2,0），则以MN为斜边的直角三角形的直角顶点P的轨迹方程是__________．

答案　x2＋y2＝4（x≠±2）

解析　连接OP，则|OP|＝2，∴P点的轨迹是去掉M，N两点的圆，∴方程为x2＋y2＝4（x≠±2）．

题型一　定义法求轨迹方程

例1已知圆M：

（x＋1）2＋y2＝1，圆N：

（x－1）2＋y2＝9，动圆P与圆M外切并且与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C，求C的方程．

解　由已知得圆M的圆心为M（－1,0），半径r1＝1；

圆N的圆心为N（1,0），半径r2＝3.设圆P的圆心为P（x，y），半径为R.因为圆P与圆M外切并且与圆N内切，所以|PM|＋|PN|＝（R＋r1）＋（r2－R）＝r1＋r2＝4>2＝|MN|.由椭圆的定义可知，曲线C是以M，N为左、右焦点，长半轴长为2，短半轴长为的椭圆（左顶点除外），其方程为＋＝1（x≠－2）．

思维升华定义法求轨迹方程

（1）在利用圆锥曲线的定义求轨迹方程时，若所求的轨迹符合某种圆锥曲线的定义，则根据曲线的方程，写出所求的轨迹方程．

（2）利用定义法求轨迹方程时，还要看轨迹是不是完整的曲线，如果不是完整的曲线，则应对其中的变量x或y进行限制．

跟踪训练1在△ABC中，|BC|＝4，△ABC的内切圆切BC于D点，且|BD|－|CD|＝2，则顶点A的轨迹方程为______________．

答案　－＝1（x>）

解析　以BC的中点为原点，中垂线为y轴建立如图所示的坐标系，E，F分别为两个切点．

则|BE|＝|BD|，|CD|＝|CF|，

|AE|＝|AF|.

所以|AB|－|AC|＝2<4，

所以点A的轨迹为以B，C为焦点的双曲线的右支（y≠0），且a＝，c＝2，所以b＝，

所以轨迹方程为－＝1（x>）．

题型二　直接法求轨迹方程

例2（2016·全国Ⅲ）已知抛物线C：

y2＝2x的焦点为F，平行于x轴的两条直线l1，l2分别交C于A，B两点，交C的准线于P，Q两点．

（1）若F在线段AB上，R是PQ的中点，证明：

AR∥FQ；

（2）若△PQF的面积是△ABF的面积的两倍，求AB中点的轨迹方程．

（1）证明　由题意知，F，设l1：

y＝a，l2：

y＝b，

则ab≠0，

且A，B，P，Q，

R.

记过A，B两点的直线为l，则l的方程为2x－（a＋b）y＋ab＝0.

由于F在线段AB上，故1＋ab＝0.

记AR的斜率为k1，FQ的斜率为k2，

则k1＝＝＝

＝－＝－b＝＝k2.

所以AR∥FQ.

（2）解　设过AB的直线为l，

设l与x轴的交点为D（x1,0），

则S△ABF＝|b－a||FD|＝|b－a|，

S△PQF＝.

由题意可得|b－a|＝，

所以x1＝1或x1＝0（舍去）．

设满足条件的AB的中点为E（x，y）．

当AB与x轴不垂直时，

由kAB＝kDE可得＝（x≠1）．

而＝y，所以y2＝x－1（x≠1）．

当AB与x轴垂直时，E与D重合，

此时E点坐标为（1,0），满足方程y2＝x－1.

所以所求轨迹方程为y2＝x－1.

思维升华直接法求曲线方程时最关键的就是把几何条件或等量关系翻译为代数方程，要注意翻译的等价性．通常将步骤简记为建系设点、列式、代换、化简、证明这五个步骤，但最后的证明可以省略，如果给出了直角坐标系则可省去建系这一步，求出曲线的方程后还需注意检验方程的纯粹性和完备性．

跟踪训练2（2018·成都模拟）在平面直角坐标系xOy中，点P（a，b）为动点，F1，F2分别为椭圆＋＝1（a>b>0）的左、右焦点，已知△F1PF2为等腰三角形．

（1）求椭圆的离心率e；

（2）设直线PF2与椭圆相交于A，B两点，M是直线PF2上的点，满足·＝－2，求点M的轨迹方程．

解　

（1）设F1（－c,0），F2（c,0）（c>0）．

由题意，可得|PF2|＝|F1F2|，

即＝2c，

整理得22＋－1＝0，

得＝－1（舍去）或＝，所以e＝.

（2）由

（1）知a＝2c，b＝c，可得椭圆方程为3x2＋4y2＝12c2，直线PF2的方程为y＝（x－c）．

A，B两点的坐标满足方程组

消去y并整理，得5x2－8cx＝0.

解得x1＝0，x2＝c，

代入直线方程得

不妨设A，B（0，－c）．

设点M的坐标为（x，y），则＝，＝（x，y＋c）．

由y＝（x－c），得c＝x－y.

于是＝，

＝（x，x），由·＝－2，

即·x＋·x＝－2.

化简得18x2－16xy－15＝0.

将y＝代入c＝x－y，

得c＝>0.所以x>0.

因此，点M的轨迹方程是18x2－16xy－15＝0（x>0）．

题型三　相关点法求轨迹方程

例3如图所示，抛物线E：

y2＝2px（p>0）与圆O：

x2＋y2＝8相交于A，B两点，且点A的横坐标为2.过劣弧AB上动点P（x0，y0）作圆O的切线交抛物线E于C，D两点，分别以C，D为切点作抛物线E的切线l1，l2，l1与l2相交于点M.

（1）求p的值；

（2）求动点M的轨迹方程．

解　

（1）由点A的横坐标为2，可得点A的坐标为（2,2），

代入y2＝2px，解得p＝1.

（2）由

（1）知抛物线E：

y2＝2x.

设C，D，y1≠0，y2≠0，切线l1的斜率为k，则切线l1：

y－y1＝k，代入y2＝2x，

得ky2－2y＋2y1－ky＝0，由Δ＝0，解得k＝，

∴l1的方程为y＝x＋，

同理l2的方程为y＝x＋.

联立解得

易知CD的方程为x0x＋y0y＝8，

其中x0，y0满足x＋y＝8，x0∈[2,2]，

由得x0y2＋2y0y－16＝0，

则代入

可得M（x，y）满足可得

代入x＋y＝8，并化简，得－y2＝1，

考虑到x0∈[2,2]，知x∈[－4，－2]，

∴动点M的轨迹方程为－y2＝1，x∈[－4，－2]．

思维升华“相关点法”的基本步骤

（1）设点：

设被动点坐标为（x，y），主动点坐标为（x1，y1）；

（2）求关系式：

求出两个动点坐标之间的关系式

（3）代换：

将上述关系式代入已知曲线方程，便可得到所求动点的轨迹方程；

（4）检验：

注意检验所求方程是否符合题意．

跟踪训练3（2018·安阳调研）

如图，动圆C1：

x2＋y2＝t2,1

＋y2＝1相交于A，B，C，D四点．点A1，A2分别为C2的左、右顶点，求直线AA1与直线A2B交点M的轨迹方程．

解　由椭圆C2：

＋y2＝1，知A1（－3,0），A2（3,0）．

设点A的坐标为（x0，y0），由曲线的对称性，

得B（x0，－y0），

设点M的坐标为（x，y），

直线AA1的方程为y＝（x＋3）．①

直线A2B的方程为y＝（x－3）．②

由①②相乘得y2＝（x2－9）．③

又点A（x0，y0）在椭圆C2上，故y＝1－.④

将④代入③得－y2＝1（x<－3，y<0）．

因此点M的轨迹方程为－y2＝1（x<－3，y<0）．

1．方程（x－y）2＋（xy－1）2＝0表示的曲线是（　　）

A．一条直线和一条双曲线

B．两条双曲线

C．两个点

D．以上答案都不对

答案　C

解析　由（x－y）2＋（xy－1）2＝0，得

解得或故选C.

2．已知点O（0,0），A（1,2），动点P满足|＋|＝2，则P点的轨迹方程是（　　）

A．4x2＋4y2－4x－8y＋1＝0

B．4x2＋4y2－4x－8y－1＝0

C．8x2＋8y2＋2x＋4y－5＝0

D．8x2＋8y2－2x＋4y－5＝0

答案　A

解析　设P点的坐标为（x，y），则＝（x，y），＝（x－1，y－2），＋＝（2x－1,2y－2）．所以（2x－1）2＋（2y－2）2＝4，整理得4x2＋4y2－4x－8y＋1＝0.故选A.

3．（2018·湛江模拟）在平面直角坐标系中，已知两点A（3,1），B（－1,3），若点C满足＝λ1＋λ2（O为原点），其中λ1，λ2∈R，且λ1＋λ2＝1，则点C的轨迹是（　　）

A．直线B．椭圆C．圆D．双曲线

答案　A

解析　设C（x，y），则＝（x，y），＝（3,1），＝（－1,3），

∵＝λ1＋λ2，∴

又λ1＋λ2＝1，∴化简得x＋2y－5＝0，表示一条直线．

4．设过点P（x，y）的直线分别与x轴的正半轴和y轴的正半轴交于A，B两点，点Q与点P关于y轴对称，O为坐标原点．若＝2，且·＝1，则点P的轨迹方程是（　　）

A.x2＋3y2＝1（x>0，y>0）

B.x2－3y2＝1（x>0，y>0）

C．3x2－y2＝1（x>0，y>0）

D．3x2＋y2＝1（x>0，y>0）

答案　A

解析　设A（a,0），B（0，b），a>0，b>0.由＝2，

得（x，y－b）＝2（a－x，－y），所以

即a＝x>0，b＝3y>0.

由题意得，点Q（－x，y），

故由·＝1，得（－x，y）·（－a，b）＝1，

即ax＋by＝1.将a，b代入ax＋by＝1得所求的轨迹方程为x2＋3y2＝1（x>0，y>0）．故选A.

5．在△ABC中，B（－2,0），C（2,0），A（x，y），给出△ABC满足的条件，就能得到动点A的轨迹方程．

下表给出了一些条件及方程：

条件

方程

①△ABC周长为10

C1：

y2＝25

②△ABC面积为10

C2：

x2＋y2＝4（y≠0）

③△ABC中，∠A＝90°

C3：

＋＝1（y≠0）

则满足条件①，②，③的轨迹方程依次为（　　）

A．C3，C1，C2B．C1，C2，C3

C．C3，C2，C1D．C1，C3，C2

答案　A

解析　①△ABC的周长为10，即|AB|＋|AC|＋|BC|＝10，又|BC|＝4，所以|AB|＋|AC|＝6>|BC|，此时动点A的轨迹为椭圆，与C3对应；②ABC的面积为10，所以|BC|·|y|＝10，即|y|＝5，与C1对应；③因为∠A＝90°，所以·＝（－2－x，－y）·（2－x，－y）＝x2＋y2－4＝0，与C2对应．故选A.

6．（2018·广州模拟）如图，斜线段AB与平面α所成的角为60°，B为斜足，平面α上的动点P满足∠PAB＝30°，则点P的轨迹是（　　）

A．直线B．抛物线

C．椭圆D．双曲线的一支

答案　C

解析　可构造如图所示的圆锥．

母线与中轴线夹角为30°，然后用平面α去截，使直线AB与平面α的夹角为60°，则截口为P的轨迹图形，由圆锥曲线的定义可知，P的轨迹为椭圆．故选C.

7．已知两定点A（－2,0），B（1,0），如果动点P满足|PA|＝2|PB|，则点P的轨迹所包围的图形的面积为________．

答案　4π

解析　设P（x，y），由|PA|＝2|PB|，

得＝2，

∴3x2＋3y2－12x＝0，即x2＋y2－4x＝0.

∴P的轨迹为以（2,0）为圆心，2为半径的圆．

即轨迹所包围的图形的面积等于4π.

8．直线＋＝1与x，y轴交点的中点的轨迹方程是______________．

答案　x＋y＝1（x≠0且x≠1）

解析　直线＋＝1与x，y轴的交点为A（a,0），B（0，2－a），设AB的中点为M（x，y），则x＝，y＝1－，消去a，得x＋y＝1.因为a≠0且a≠2，所以x≠0且x≠1.

9．已知圆的方程为x2＋y2＝4，若抛物线过点A（－1,0），B（1,0）且以圆的切线为准线，则抛物线的焦点的轨迹方程是______________．

答案　＋＝1（y≠0）

解析　设抛物线焦点为F，过A，B，O作准线的垂线AA1，BB1，OO1，则|AA1|＋|BB1|＝2|OO1|＝4，由抛物线定义得|AA1|＋|BB1|＝|FA|＋|FB|，所以|FA|＋|FB|＝4>2，故F点的轨迹是以A，B为焦点，长轴长为4的椭圆（去掉长轴两端点）．

10.如图，P是椭圆＋＝1（a>b>0）上的任意一点，F1，F2是它的两个焦点，O为坐标原点，且＝＋，则动点Q的轨迹方程是____________．

答案　＋＝1

解析　由于＝＋，

又＋＝＝2＝－2，

设Q（x，y），则＝－＝，

即P点坐标为，又P在椭圆上，

则有＋＝1，即＋＝1.

11．已知定圆M：

（x－3）2＋y2＝16和圆M所在平面内一定点A，点P是圆M上一动点，线段PA的垂直平分线l交直线PM于点Q.

（1）讨论Q点的轨迹可能是下面的情形中的哪几种：

①椭圆；②双曲线；③抛物线；④圆；⑤直线；⑥一个点．

（2）若定点A（5,0），试求△QMA的面积的最大值．

解　

（1）由题意知|QP|＝|QA|，

①当A在圆M外时，|MA|>4，

且||QA|－|QM||＝|PM|＝4<|MA|，

所以Q点的轨迹是以M，A为焦点的双曲线，见图

（1）．

②当A在圆M内，且与M不重合时，|MA|<4，且|QA|＋|QM|＝|MP|＝4>|MA|，

所以Q点的轨迹是以M，A为焦点的椭圆，见图

（2）．

③当A在圆M上时，l过定点M，l与PM的交点Q就是点M，所以点Q的轨迹就是一个点，见图（3）．

④当A与M重合时，l与PM的交点Q就是PM的中点，所以点Q的轨迹就是圆，见图（4）．

综上所述，Q点的轨迹可能是①②④⑥四种．

（2）因为A（5,0）在圆M内，

由

（1）知，点Q的轨迹是以M，A为焦点的椭圆，

且|MA|＝2＝2c，|MP|＝4＝2a，所以b＝，

由椭圆的几何性质可知，Q为短轴端点时，S△MQA最大，

所以S△MQA的最大值为·2c·b＝.

12.如图，P是圆x2＋y2＝4上的动点，点P在x轴上的射影是点D，点M满足＝.

（1）求动点M的轨迹C的方程，并说明轨迹是什么图形；

（2）过点N（3,0）的直线l与动点M的轨迹C交于不同的两点A，B，求以OA，OB为邻边的平行四边形OAEB的顶点E的轨迹方程．

解　

（1）设M（x，y），则D（x,0），

由＝知，P（x,2y），

∵点P在圆x2＋y2＝4上，∴x2＋4y2＝4，

故动点M的轨迹C的方程为＋y2＝1，且轨迹C为椭圆．

（2）设E（x，y），由题意知l的斜率存在，

设l：

y＝k（x－3），代入＋y2＝1，

得（1＋4k2）x2－24k2x＋36k2－4＝0，（*）

设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1＋x2＝，

∴y1＋y2＝k（x1－3）＋k（x2－3）

＝k（x1＋x2）－6k＝－6k＝.

∵四边形OAEB为平行四边形，

∴＝＋＝（x1＋x2，y1＋y2）

＝，

又＝（x，y），∴

消去k，得x2＋4y2－6x＝0，

由（*）中Δ＝（－24k2）2－4（1＋4k2）（36k2－4）>0，

得k2<，∴0

∴顶点E的轨迹方程为x2＋4y2－6x＝0.

13．若曲线C上存在点M，使M到平面内两点A（－5,0），B（5，0）距离之差的绝对值为8，则称曲线C为“好曲线”．以下曲线不是“好曲线”的是（　　）

A．x＋y＝5B．x2＋y2＝9

C.＋＝1D．x2＝16y

答案　B

解析　∵M到平面内两点A（－5,0），B（5,0）距离之差的绝对值为8，∴M的轨迹是以A（－5,0），B（5,0）为焦点的双曲线，方程为－＝1.

A项，直线x＋y＝5过点（5,0），故直线与M的轨迹有交点，满足题意；

B项，x2＋y2＝9的圆心为（0,0），半径为3，与M的轨迹没有交点，不满足题意；

C项，＋＝1的右顶点为（5,0），故椭圆＋＝1与M的轨迹有交点，满足题意；

D项，方程代入－＝1，可得y－＝1，即y2－9y＋9＝0，∴Δ>0，满足题意．

14．设点P（x，y）是曲线a|x|＋b|y|＝1（a>0，b>0）上的动点，且满足＋≤2，则a＋b的取值范围为（　　）

A．[2，＋∞）B．[1,2]

C．[1，＋∞）D．（0,2]

答案　A

解析　设F1（0，－1），F2（0,1），

则满足＋＝2的点P的轨迹是以F1（0，－1），F2（0,1）为焦点的椭圆，其方程为＋＝1.

曲线a|x|＋b|y|＝1（a>0，b>0）为如图所示的菱形ABCD，

C，D.

由于＋≤2，

所以菱形ABCD在椭圆上或其内部，

所以≤1，≤，即a≥1，b≥.

所以a＋b≥1＋×＝2.故选A.

15．已知过点A（－3,0）的直线与x＝3相交于点C，过点B（3，0）的直线与x＝－3相交于点D，若直线CD与圆x2＋y2＝9相切，则直线AC与BD的交点M的轨迹方程为______________．

答案　＋＝1（y≠0）

解析　设点M（x，y），C（3，m），D（－3，n），则直线CD的方程为（m－n）x－6y＋3（m＋n）＝0，因为直线CD与圆x2＋y2＝9相切，所以＝3，所以mn＝9，又直线AC与BD的交点为M，

所以解得

所以－＝9，

所以点M的轨迹方程为＋＝1（y≠0）．

16．曲线C是平面内与两个定点F1（－2,0）和F2（2,0）的距离的积等于常数a2（a2>4）的点的轨迹．给出下列三个结论：

①曲线C过坐标原点；

②曲线C关于坐标原点对称；

③若点P在曲线C上，则△F1PF2的面积不大于a2.

其中，所有正确结论的序号是________．

答案　②③

解析　因为原点O到两个定点F1（－2,0），F2（2,0）的距离的积是4，又a2>4，所以曲线C不过原点，即①错误；

设动点P在曲线C上，

因为F1（－2,0），F2（2,0）关于原点对称，所以|PF1|·|PF2|＝a2对应的轨迹关于原点对称，即②正确；

因为

＝|PF1||PF2|sin∠F1PF2

≤|PF1||PF2|＝a2，

即△F1PF2的面积不大于a2，即③正确．