北师大版七年级数学下学期期末综合能力提升练习.docx
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北师大版七年级数学下学期期末综合能力提升练习
1、下列计算，正确的是（ ）
A．x4-x3=xB.x6÷x3=x2C．-x•（-x）3=-x4D.（-xy3）2=xy6
2.三角形中，最大角α的取值范围是（ ）
A．0°＜α＜90°B．60°＜α＜180°C．60°≤α＜90°D．60°≤α＜180
考点：
三角形内角和定理．
分析：
根据三角形的内角和定理，又α是最大角，得：
3α≥180°，α＜180，从而求得最大角α的取值范围．
解答：
解：
根据三角形的内角和定理，又α是最大角，得：
3α≥180°，即α≥60°，
故最大角α的取值范围是60°≤α＜180度．
故选D．
点评：
注意三角形的内角和是180°
3、两本书按如图所示方式叠放在一起，则图中相等的角是（ ）
A．∠1与∠2B．∠2与∠3C．∠1与∠3D．三个角都相等
（第3题图）（第4题图）
考点：
三角形内角和定理；对顶角、邻补角．
专题：
应用题．
分析：
书本的两组对边是两组平行线，根据对顶角相等，邻补角互补，以及三角形内角和定理即可求解．
解答：
解：
在直角△DEF与直角△FMP中，∠E=∠M=90°，∠5=∠MFP，
∴∠4=∠FPM，
∴∠2=∠3；
同理易证∠ANB=∠CAE，而∠CAE与∠4不一定相等．因而∠1与∠3不一定相等．
故图中相等的角是∠2与∠3．
故选B．
点评：
本题主要考查了三角形内角和定理及对顶角、邻补角的性质．
4．小明玩投掷飞镖的游戏，他设计了一个如图所示的靶子，点E、F分别是矩形ABCD的两边AD、BC上的点，EF∥AB，点M、N是EF上任意两点，则投掷一次，飞镖落在阴影部分的概率是（ ）
A.
B.
C.
D.
考点：
几何概率．
分析：
将图形分为四边形ABFE和四边形DCFE两部分，可得四边形ABFE内阴影部分是四边形ABFE面积的一半，四边形DCFE内阴影部分是四边形DCFE面积的一半，从而可得飞镖落在阴影部分的概率．
解答：
解：
∵四边形ABFE内阴影部分面积=
1
2
×四边形ABFE面积，
四边形DCFE内阴影部分面积=
1
2
×四边形DCFE面积，
∴阴影部分的面积=
1
2
×矩形ABCD的面积，
∴飞镖落在阴影部分的概率是
1
2
．
故选：
C．
点评：
此题考查同学的看图能力以及概率计算公式，从图中找到题目中所要求的信息．用到的知识点为：
概率=相应的面积与总面积之比．
5、一水池有甲、乙、丙三个水管，其中甲、丙两管为进水管，乙管为出水管．单位时间内，甲管水流量最大，丙管水流量最小．先开甲、乙两管，一段时间后，关闭乙管开丙管，又经过一段时间，关闭甲管开乙管．则能正确反映水池蓄水量y（立方米）随时间t（小时）变化的图象是（ ）
A．
B．
．C
D．
考点：
函数的图象．
专题：
压轴题．
分析：
根据水量增多则函数随x的增大而增大，反之，则x随x的增大而减小，据此即可确定．
解答：
解：
先开甲、乙两管，则蓄水量增加，函数图象倾斜向上；
一段时间后，关闭乙管开丙管，则蓄水量增加的速度变大，因而函数图象倾斜角变大；
关闭甲管开乙管则蓄水量减小，函数图象随x的增大而减小．
故选D．
点评：
本题考查利用函数的图象解决实际问题，正确理解函数图象横纵坐标表示的意义，理解问题的过程，就能够通过图象得到函数问题的相应解决
6.如图，有两颗树，一颗高10米，另一颗高4米，两树相距8米．一只鸟从一颗树的树梢飞到另一颗树的树梢，问小鸟至少飞行（ ）
A．8米B．10米C．12米D．14米
考点：
勾股定理的应用．
专题：
应用题．
分析：
根据“两点之间线段最短”可知：
小鸟沿着两棵树的树梢进行直线飞行，所行的路程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出．
解答：
解：
如图，设大树高为AB=10m，
小树高为CD=4m，
过C点作CE⊥AB于E，则EBDC是矩形，
连接AC，
∴EB=4m，EC=8m，AE=AB-EB=10-4=6m，
在Rt△AEC中，AC=
AE2+EC2
=10m，
故选B．
点评：
本题考查正确运用勾股定理．善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键．
7.速算下列各题
①（x-y）（-x-y）=②（-a-3）2=
③（−
）−2+（−9）0+201×199=④（-0.25）11•412=
①（x-y）（-x-y）=y2-x2②（-a-3）2=a2+6a+9
③原式=4+1+（200+1）×（200-1）=5+40000-1=39996；
④（-0.25）11•412=-4
8.
（1）若3×9a÷81a+1=27，则a=
（2）如果am=3，an=9，那么a3m-2n=
（1）∵3×9a÷81a+1=3-2a-3=27=33，
∴-2a-3=3，
解得：
a=-3．
（2）考点：
同底数幂的除法；幂的乘方与积的乘方．
分析：
首先根据幂的乘方以及积的乘方将原式变形，再利用同底数幂的除法得出答案．
解答：
解：
∵am=3，an=9，
∴a3m-2n=（am）3÷（an）2=33÷92=
1
3
．
故答案为：
1
3
．
点评：
此题主要考查了同底数幂的除法以及幂的乘方以及积的乘方，将原式变形（am）3÷（an）2是解决问题的关键
9.如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=
考点：
多边形内角与外角；三角形的外角性质．
分析：
结合图形根据三角形的外角和定理进行计算，要求的角的和显然是一个三角形的三个外角的和．
解答：
解：
∵∠1=∠A+∠B，∠2=∠E+∠F，∠3=∠C+∠D，
∵∠1+∠2+∠3=360°，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=360°．
故答案为：
360°．
点评：
本题考查了三角形的外角性质，把∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F转化为一个三角形的三个外角的和是解题的
10.如图，在矩形ABCD中，AB的长度为a，
BC的长度为b，其中
b＜a＜b．
将此矩形纸片按下列顺序折叠，（第8题图）
则C′D′的长度为（用含a、b的代数式表示）．
考点：
翻折变换（折叠问题）．
专题：
压轴题．
分析：
由轴对称可以得出A′B=AB=a，就有A′C=b-a，从而就有A′C′=b-a，就可以得出C′D′=a-2（b-a），化简就可以得出结论．
解答：
解：
由轴对称可以得出A′B=AB=a，
∵BC=b，
∴A′C=b-a．
由轴对称可以得出A′C′=b-a，
∴C′D′=a-2（b-a），
∴C′D′=3a-2b．
故答案为：
3a-2b．
点评：
本题考查了轴对称的运用，代数式的运用，折叠问题在实际问题中的运用，解答本题时利用折叠问题抓住在折叠变化中不变的线段是解答本题的关键．
11.在等腰△ABC中，AB=AC，中线BD将这个三角形的周长分为15和两个部分，则这个等腰三角形的底边长为
考点：
等腰三角形的性质；二元一次方程组的应用．
专题：
分类讨论．
分析：
根据题意画出图形，设等腰三角形的腰长为a，底边为b，根据中点定义得到AD与DC相等都等于腰长a的一半，AC边上的中线BD将这个三角形的周长分为AB+AD和BC+CD两部分，分别表示出两部分，然后分AB+AD=15，BC+CD=12或AB+AD=12，BC+CD=15两种情况分别列出方程组，分别求出方程组的解即可得到a与b的两对值，根据三角形的两边之和大于第三边判定能否构成三角形，即可得到满足题意的等腰三角形的底边长．
解答：
解：
依题意可得：
这一边上的中线为腰上的中线，（1分）画出图形如下：
设这个等腰三角形的腰长为a，底边长为b，
∵D为AC的中点，∴AD=DC=
1
2
AC=
1
2
a，
根据题意得：
3
2
a＝15
1
2
a+b＝12
或
3
2
a＝12
1
2
a+b＝15
，
解得：
a＝10
b＝7
或
a＝8
b＝11
．
又∵三边长10、10、7和8、8、11均可以构成三角形，
∴底边长为7或11．（7分）
答：
这个等腰三角形底边长为7或11．
点评：
此题考查了等腰三角形的性质，中点定义，以及三边构成三角形的条件．对于题中中线分三角形的周长为两部分，在没有指明两部分对应的长度时，应利用分类讨论的思想来求解，另外求出a与b后，不要忽略用三角形的两边之和大于第三边来判定能否构成三角形．
12.在直线l上依次摆放着七个正方形（如图所示）．已知斜放置的三个正方形的面积分别是1，2，3，正放置的四个正方形的面积依次是S1，S2，S3，S4，则S1+S2+S3+S4=
．
考点：
勾股定理．
专题：
计算题．
分析：
如图，易证△CDE≌△ABC，得AB2+DE2=DE2+CD2=CE2，同理FG2+LK2=HL2，S1+S2+S3+S4=1+3=4．
解答：
解：
∵在△CDE和△ABC中，
∠EDC＝∠CBA
∠ECD＝∠CAB
EC＝CA
，
∴△CDE≌△ABC（AAS），
∴AB=CD，BC=DE，
∴AB2+DE2=DE2+CD2=CE2=3，
同理可证FG2+LK2=HL2=1，
∴S1+S2+S3+S4=CE2+HL2=1+3=4．
故答案为：
4．
点评：
本题考查了全等三角形的证明，考查了勾股定理的灵活运用，本题中证明AB2+DE2=DE2+CD2=CE2是解题的关键
三、用心做一做（每题12分、满分36分）
13.已知：
如图△ABC为等边三角形，E是AB上一点，△DEC为等边三角形，问AD和BC平行吗，请说明理由
14．已知动点P以每秒2cm的速度沿如图所示的边框按从B⇒C⇒D⇒E⇒F⇒A的路径移动，相应的△ABP的面积S关于时间t的函数图象如图所示，若AB=6cm，试回答下列问题：
（1）如图甲，BC的长是多少？
图形面积是多少？
（2）如图乙，图中的a是多少？
b是多少？
15.问题背景 在△ABC中，∠B=2∠C，点D为线段BC上一动点，当AD满足某种条件时，探讨在线段AB、BD、CD、AC四条线段中，某两条或某三条线段之间存在的数量关系．
例如：
在图1中，当AB=AD时，可证得AB=DC，现在继续探索：
任务要求：
（1）当AD⊥BC时，如图2，求证：
AB+BD=DC；
（2）当AD是∠BAC的角平分线时，判断AB、BD、AC的数量关系，并证明你的结论
考点：
全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质．
专题：
证明题．
分析：
（1）作辅助线“在DC上截取DM=BD，连接AM”构建全等三角形△ABD≌△AMD，然后由全等三角形的对应角相等以及等腰三角形的性质证得∠B=∠AMB；再由已知条件、三角形外角定理求得∠C=∠MAC，所以AM=MC；最后根据等量代换求得MC=AB，即AB+BD=DC；
（2）假设结论AB+BD=AC．方法一：
如图a在AC上截取AM=AB，连接DM．先证△ABD≌△AMD，可得∠B=∠AMD．再证DM=MC，则MC=BD；
方法二：
如图b延长AB到M，使BM=BD，连接MD．∠ABD=∠M+∠BDM=2∠M．由∠ABD=2∠C，得∠M=∠C．再证△AMD≌△ACD．
解答：
解：
（1）在DC上截取DM=BD，连接AM．
在△ABD与△AMD中，
AD＝AD
∠ADB＝∠ADM＝90°
DM＝BD
，
∴△ABD≌△AMD（SAS），
∴AB=AM，
∴∠B=∠AMB．
∵∠AMD=∠MAC+∠C，∠B=2∠C，
∴∠C=∠MAC，
∴AM=MC，
∴MC=AB，
则AB+BD=DC；
（2）AB+BD=AC．
方法一：
如图a，在AC上截取AM=AB，连接DM．
在△ABD和△AMD中，
AB＝AM
∠BAD＝∠MAD（角平分线的性质）
AD＝AD（公共边）
，
∴△ABD≌△AMD（SAS），
∴∠B=∠AMD．
∵∠B=2∠C（已知），∠AMD=∠C+∠MDC（外角定理），
∴∠C=∠MDC（等量代换），
∴DM=MC，则MC=BD，
则AB+BD=AC．
方法二：
如图b，延长AB到M，使BM=BD，连接MD．
∴∠ABD=∠M+∠BDM=2∠M．
∵∠ABD=2∠C，
∴∠M=∠C．
又∵∠BAD=∠CAD（角平分线的性质），
AD=AD（公共边）
∴△AMD≌△ACD．
∴AM=AC，
∴AB+BD=AC．
点评：
本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质．解答该题的关键是通过作辅助线构建全等三角形来证明结论的．
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