六年级奥数举一反三2630课件.docx
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六年级奥数举一反三2630课件
第26周加法、乘法原理
例题1：
小红、小丽和小敏三个人到世纪公园游玩拍照留念（不考虑站的顺序），共有多少种不同的拍照方法？
练习1：
1、4个好朋友在旅游景点拍照留念（不考虑站的顺序），共有多少种不同的拍照方法？
2、用0，2，3三个数字组成不同的三位数，一共可以组成多少种不同的三位数？
3、有1克、2克和5克的砝码各一个，那么在天平上可以称出多少种不同质量的物体？
（砝码都放在右盘）
例题2：
从北京到天津的列车中途要经过4个站点，这列列车从北京到天津要准备多少种不同的车票？
练习2：
1、一列列车从甲地到乙地要经过5个站点，这列列车从甲地到乙地要准备多少种不同的车票？
2、5个人进行下棋比赛，每两个人之间都要赛一场，一共要赛多少场？
3、一把钥匙只能开一把锁，现在有4把钥匙和4把锁，但不知道哪把钥匙开哪把锁。
最多要试多少次才能配好全部的钥匙和锁？
例题3：
在4×4的方格图中（如右图），共有多少个正方形？
练习3：
1、在3×3的方格图中，共有多少个正方形？
2、在5×5的方格图中，共有多少个正方形？
3、在6×6的方格图中，共有多少个正方形？
例题4：
从3，5，7，11，13这五个数中每次取出两个数分别作为一个分数的分母和分子，一共可以组成多少个不同的分数？
其中有多少个真分数？
练习4：
1、从1，3，5，7这四个数中每次取出两个数分别作为一个分数的分母和分子，一共可以组成多少个不同的分数？
其中有多少个真分数？
2、从5，7，11，13这四个数中每次取出两个数分别作为一个分数的分母和分子，一共可以组成多少个不同的分数？
其中有多少个真分数？
3、从2，3，7，11，13，17这六个数中每次取出两个数分别作为一个分数的分母和分子，一共可以组成多少个不同的分数？
其中有多少个真分数？
例题5：
用0，1，2，3，4这五个数字可以组成多少个不同的三位数？
练习5：
1、用1，2，3，4这四个数字可以组成多少个不同的三位数？
2、如右图所示：
A、B、C、D四个区域分别用红、黄、蓝、绿四种颜色中的某一种染色。
如果要求相邻的区域染不同的颜色，共有多少种不同的染色方法？
3、用6，3，0，5，9这五个数字可能组成多少个不同的三位数？
用6，3，0，5，9这五个数字可以组成多少个不同的三位数？
用6，3，2，5，9这五个数字可以组成多少个不同的三位数?
第27周表面积与体积
（一）
专题简析：
小学阶段所学的立体图形主要有四种长方体、正方体、圆柱体和圆锥体。
从平面图形到立体图形是认识上的一个飞跃，需要有更高水平的空间想象能力。
因此，要牢固掌握这些几何图形的特征和有关的计算方法，能将公式作适当的变形，养成“数、形”结合的好习惯，解题时要认真细致观察，合理大胆想象，正确灵活地计算。
在解答立体图形的表面积问题时，要注意以下几点：
（1）充分利用正方体六个面的面积都相等，每个面都是正方形的特点。
（2）把一个立体图形切成两部分，新增加的表面积等于切面面积的两倍。
反之，把两个立体图形粘合到一起，减少的表面积等于粘合面积的两倍。
（3）若把几个长方体拼成一个表面积最大的长方体，应把它们最小的面拼合起来。
若把几个长方体拼成一个表面积最小的长方体，应把它们最大的面拼合起来。
例题1：
从一个棱长10厘米的正方体木块上挖去一个长10厘米、宽2厘米、高2厘米的小长方体，剩下部分的表面积是多少？
这是一道开放题，方法有多种：
①按图27-1所示，沿着一条棱挖，剩下部分的表面积为592平方厘米。
②按图27-2所示，在某个面挖，剩下部分的表面积为632平方厘米。
③按图27-3所示，挖通某两个对面，剩下部分的表面积为672平方厘米。
练习1：
1、从一个长10厘米、宽6厘米、高5厘米的长方体木块上挖去一个棱长2厘米的小正方体，剩下部分的表面积是多少？
2、把一个长为12分米，宽为6分米，高为9分米的长方体木块锯成两个想同的小厂房体木块，这两个小长方体的表面积之和，比原来长方体的表面积增加了多少平方分米？
3、在一个棱长是4厘米的立方体上挖一个棱长是1厘米的小正方体后，表面积会发生怎样的变化？
例题2：
把19个棱长为3厘米的正方体重叠起来，如图27-4所示，拼成一个立体图形，求这个立体图形的表面积。
要求这个复杂形体的表面积，必须从整体入手，从上、左、前三个方向观察，每个方向上的小正方体各面就组合成了如下图形（如图27-5所示）。
而从另外三个方向上看到的面积与以上三个方向的面积是相等的。
整个立体图形的表面积可采用（S上+S左+S前）×2来计算。
（3×3×9+3×3×8+3×3×10）×2
=（81+72+90）×2
=243×2
=486（平方厘米）
答：
这个立体图形的表面积是486平方厘米。
练习2：
1、用棱长是1厘米的立方体拼成图27-6所示的立体图形。
求这个立体图形的表面积。
2、一堆积木（如图27-7所示），是由16块棱长是2厘米的小正方体堆成的。
它们的表面积是多少平方厘米？
3、一个正方体的表面积是384平方厘米，把这个正方体平均分割成64个相等的小正方体。
每个小正方体的表面积是多少平方厘米？
例题3：
把两个长、宽、高分别是9厘米、7厘米、4厘米的相同长方体，拼成一个大长方体，这个大长方体的表面积最少是多少平方厘米？
把两个相同的大长方体拼成一个大厂房体，需要把两个相同面拼合，所得大厂房体的表面积就减少了两个拼合面的面积。
要使大长方体的表面积最小，就必须使两个拼合面的面积最大，即减少两个9×7的面。
（9×9+9×4+7×4）×2×2—9×7×2
=（63+36+28）×4—126
=508—126
=382（平方厘米）
答：
这个大厂房体的表面积最少是382平方厘米。
练习3：
1、把底面积为20平方厘米的两个相等的正方体拼成一个长方体，长方体的表面积是多少？
2、将一个表面积为30平方厘米的正方体等分成两个长方体，再将这两个长方体拼成一个大长方体。
求大长方体的表面积是多少。
3、用6块（如图27-8所示）长方体木块拼成一个大长方体，有许多种做法，其中表面积最小的是多少平方厘米？
例题4：
一个长方体，如果长增加2厘米，则体积增加40立方厘米；如果宽增加3厘米，则体积增加90立方厘米；如果高增加4厘米，则体积增加96立方里，求原长方体的表面积。
我们知道：
体积=长×宽×高；由长增加2厘米，体积增加40立方厘米，可知宽×高=40÷2=20（平方厘米）；由宽增加3厘米，体积增加90立方厘米，可知长×高=90÷3=30（平方厘米）；由高增加4厘米，体积增加96立方厘米，可知长×宽=96÷4=24（平方厘米）。
而长方体的表面积=（长×宽+长×高+宽×高）×2=（20+30+24）×2=148（平方厘米）。
即
40÷2=20（平方厘米）
90÷3=30（平方厘米）
96÷4=24（平方厘米）
（30+20+24）×2
=74×2
=148（平方厘米）
答：
原长方体的表面积是148平方厘米。
练习4：
1、一个长方体，如果长减少2厘米，则体积减少48立方厘米；如果宽增加5厘米，则体积增加65立方厘米；如果高增加4厘米，则体积增加96立方厘米。
原来厂房体的表面积是多少平方厘米？
2、一个厂房体木块，从下部和上部分别截去高为3厘米和2厘米的长方体后，便成为一个正方体，其表面积减少了120平方厘米。
原来厂房体的体积是多少立方厘米？
3、有一个厂房体如下图所示，它的正面和上面的面积之和是209。
如果它的长、宽、高都是质数，这个长方体的体积是多少？
例题5：
如图27-10所示，将高都是1米，底面半径分别为1.5米、1米和0.5米的三个圆柱组成一个物体。
求这个物体的表面积。
如果分别求出三个圆柱的表面积，再减去重叠部分的面积，这样计算比较麻烦。
实际上三个向上的面的面积和恰好是大圆柱的一个底面积。
这样，这个物体的表面积就等于一个大圆柱的表面积加上中、小圆柱的侧面积。
3.14×1.5×1.5×2+2×3.14×1.5×1+2×3.14×1×1+2×3.14×0.5×1
=3.14×（4.5+3+2+1）
=3.14×10.5
=32.97（平方米）
答：
这个物体的表面积是32.97平方米。
练习5：
1、一个棱长为40厘米的正方体零件（如图27-11所示）的上、下两个面上，各有一个直径为4厘米的圆孔，孔深为10厘米。
求这个零件的表面积。
2、用铁皮做一个如图27-12所示的工件（单位：
厘米），需用铁皮多少平方厘米？
3、如图27-13所示，在一个立方体的两对侧面的中心各打通一个长方体的洞，在上、下侧面的中心打通一个圆柱形的洞。
已知立方体棱长为10厘米，侧面上的洞口是边长为4厘米的正方形，上、下侧面的洞口是直径为4厘米的圆，求该立方体的表面积和体积（∏取3.14）。
答案：
练1
1、切下一块后，切口处的表面减少了前、后、上面3个1×1的正方形，新增加了左右下面三个1×1的正方形，所以表面积大小不变。
2、4×4×6－2×2×2＝92平方厘米
3、中心挖去的洞的体积是：
12×3×3－13×2＝7立方厘米，挖洞后木块的体积：
33－7＝20立方厘米，中心挖洞后每面增加的面积是12×4－12＝3平方厘米，挖洞后木块的表面积：
（32+3）×6＝72平方厘米。
练2
1、从三个不同的方向看，得到图答27－1：
从上往下看从前往后看从左往右看
（1×1×12+1×1×8+1×1×7）×2＝54平方厘米
2、（2×2×9+2×2×9+2×2×7）×2＝200平方厘米
3、因为64＝4×4×4，所以大正方形的棱长等于小正方形棱长的4被，那么大正方体的表面积是小正方体的4×4＝16倍，小正方体的表面积是：
384÷16＝24平方厘米
练3
1、将正方体分为两个长方体，表面积就增加了2个30÷6＝15平方厘米，拼成大正方体，表面积将减少两个拼合面的面积，正好是1个30÷6＝15平方厘米，所以大长方体的表面积是30+30+6＝35平方厘米。
2、要是表面积最小，就要尽可能地把大的面拼合在一起。
表面积最小的拼法有如图答27－2两种：
表面积都是（3×3+3×4×2）×2＝66平方厘米。
3、设大长方体的宽和高为x分米，长为2x分米，左面和右面的面积就是x2平方分米。
其余的面积为2x2平方分米，根据题意，大长方体的表面积是：
8x2+8×2x2＝600x＝5
大长方体的体积是：
5×5×2×5＝250立方分米
练4
1、（48÷2+65÷5+96÷4）×2＝122平方厘米
2、减少的表面积实质是高度分别为2厘米和3厘米的前、后、左、右四个面的面积之和。
把两个合并起来，用120÷（2+3）＝24厘米，求到正方体底面的周长，正方体的棱长就是24÷4＝6厘米。
圆长方体的体积是：
6×6×（6+3+2）＝396立方厘米
3、长方体正面及上面的面积之和恰好等于这个长方体的长×（宽+高），209＝11×19，所以长＝11，宽+高＝19，或长＝19，宽+高＝11，根据题意，宽和高只能是17和2，长方体的体积就是11×17×2＝374
练5
1、402×6+3.14×4×10×2＝9651.2平方厘米
2、用两个同样的工件可拼成图答27－3的圆柱体。
3.14×15×（46+54）÷2＝2355平方厘米
3、立方体的表面积和是：
6×102－42×4－2×3.14×（
）2＝510.88平方厘米
打洞后增加的面积是：
3.14×4×（10－4）+4×（10－4）×4×2+42×2－3.14×（
）2×2＝274.24平方厘米
表面积是：
510.88+274.24＝785.12平方厘米
体积是：
103－42×10×2+43－3.14×（
）2×（10－4）＝668.64平方厘米
第28周表面积与体积
（二）
例题1：
有大、中、小三个正方体水池，它们的内边长分别为6米、3米、2米。
把两堆碎石分别沉在中、小水池里，两个水池水面分别升高了6厘米和4厘米。
如果将这两堆碎石都沉在大水池里，大水池的水面升高多少厘米？
练习1：
1、有大、中、小三个正方体水池，它们的内边长分别为4米、3米、2米。
把两堆碎石分别沉没在中、小水池的水中，两个水池的水面分别升高了4厘米和11厘米，如果将这两堆碎石都沉没在大水池中，那么大水池水面将升高多少厘米？
2、用直径为20厘米的圆钢，锻造成长、宽、高分别为30厘米、20厘米、5厘米的长方体钢板，应截取圆钢多长（精确到0.1厘米）？
3、将表面积为54平方厘米、96平方厘米、150平方厘米的三个铁质正方体熔铸成一个大正方体（不计损耗），求这个大正方体的体积
例题2：
一个底面半径是10厘米的圆柱形瓶中，水深8厘米，要在瓶中放入长和宽都是8厘米、高是15厘米的一块铁块，把铁块竖放在水中，水面上升几厘米？
练习2：
1、一个底面积是15平方厘米的玻璃杯中装有高3厘米的水。
现把一个底面半径是1厘米、高5厘米的圆柱形铁块垂直放入玻璃杯水中，问水面升高了多少厘米（∏取3）？
2、一个圆柱形玻璃杯内盛有水，水面高2.5厘米，玻璃杯内侧的底面积市2平方里。
在这个杯中放进棱长6厘米的正方形铁块后，水面没有淹没铁块，这时水面高多少厘米？
3、在底面是边长为60厘米的正方形的一个长方形容器里，直立放着一个长100厘米、底面边长为15厘米的正方形的四棱柱铁棍。
这时容器里的水50厘米深。
现在把铁棍轻轻地向上方提起24厘米，露出睡眠的四棱柱铁棍浸湿部分长多少厘米
例题3：
某面粉厂有一容积是24立方米的长方体储粮池，它的长是宽或高的2倍。
当贴着它一最大的内侧面将面粉堆成一个最大的半圆锥体时，求这堆面粉的体积（如图28-1所示）。
练习3：
1、已知一个圆锥体的底面半径和高都等于一正方体的棱长，这个正方体的体积是216立方分米。
求这个圆锥体的体积。
2、一个正方体的纸盒中如图28-2所示，恰好能装入一个体积6.28立方厘米的圆柱体。
纸盒的容积有多大（∏取3.14）？
3、如图28-3所掷，圆锥形容器中装有3升水，水面告诉正好是圆锥高读的一半。
这个容器还能装多少水？
例题4：
如果把12件同样的长方体物品打包，形成一件大的包装物，有几种包装方法？
怎样打包物体的表面积最小呢？
练习4：
1、如果把长8厘米，宽7厘米，高3厘米的2件同样的长方体物品打包，形成一件大的包装物，有几种包装方法？
怎样打包，物体的表面积最小？
2、一个精美小礼品盒的形状是长9厘米，宽6厘米，高4厘米的长方体。
请你帮厂家设计一个能装10个小礼品盒的大纸箱，你觉得怎样设计比较合理？
为什么？
3、一包香烟的形状是长方体，它的长是9厘米，宽是5厘米，高是2厘米。
把10包香烟包装在一起形成一个大长方体，称为一条。
可以怎样包装？
算一算需要多少包装纸（包转念能够纸的重叠部分忽略不计）。
你认为哪一种包装比较合理？
例题5：
一只集装箱，它的内尺寸是18×18×18。
现在有批货箱，它的外尺寸是1×4×9。
问这只集装箱能装多少只货箱？
练习5：
1、有一个长方体的盒子，从里面量长为40厘米、宽为12厘米、高为7厘米。
在这个盒子里放长5厘米、宽4厘米、高3厘米的长方体木块，最多可放几块？
2、从一个长、宽、高分别为21厘米、15厘米、12厘米的厂房体上面，尽可能大地切下一个正方体，然后从剩余的部分再尽可能大地切下一个正方体，最后再从第二次剩余的部分尽可能大地切下一个正方体，剩下的体积是多少立方厘米？
3、现有一张长40厘米、宽20厘米的长方形铁皮，请你用它做一只深是5厘米的长方体无盖铁皮盒（焊接处及铁皮厚度不计，容积越大越好），你做出的铁皮盒容积是多少立方厘米？
第二十九周抽屉原理
（一）
专题简析：
如果给你5盒饼干，让你把它们放到4个抽屉里，那么可以肯定有一个抽屉里至少有2盒饼干。
如果把4封信投到3个邮箱中，那么可以肯定有一个邮箱中至少有2封信。
如果把3本联练习册分给两位同学，那么可以肯定其中有一位同学至少分到2本练习册。
这些简单内的例子就是数学中的“抽屉原理”。
基本的抽屉原理有两条：
（1）如果把x+k（k≥1）个元素放到x个抽屉里，那么至少有一个抽屉里含有2个或2个以上的元素。
（2）如果把m×x×k（x＞k≥1）个元素放到x个抽屉里，那么至少有一个抽屉里含有m+1个或更多个元素。
利用抽屉原理解题时要注意区分哪些是“抽屉”？
哪些是“元素”？
然后按以下步骤解答：
a、构造抽屉，指出元素。
b、把元素放入（或取出）抽屉。
C、说明理由，得出结论。
本周我们先来学习第
（1）条原理及其应用。
例题1：
某校六年级有学生367人，请问有没有两个学生的生日是同一天？
为什么？
把一年中的天数看成是抽屉，把学生人数看成是元素。
把367个元素放到366个抽屉中，至少有一个抽屉中有2个元素，即至少有两个学生的生日是同一天。
平年一年有365天，闰年一年有366天。
把天数看做抽屉，共366个抽屉。
把367个人分别放入366个抽屉中，至少在一个抽屉里有两个人，因此，肯定有两个学生的生日是同一天。
练习1：
1、某校有370名1992年出生的学生，其中至少有2个学生的生日是同一天，为什么？
2、某校有30名学生是2月份出生的，能否至少有两个学生生日是在同一天？
3、15个小朋友中，至少有几个小朋友在同一个月出生？
例题2：
某班学生去买语文书、数学书、外语书。
买书的情况是：
有买一本的、二本的、也有三本的，问至少要去几位学生才能保证一定有两位同学买到相同的书（每种书最多买一本）？
首先考虑买书的几种可能性，买一本、二半、三本共有7种类型，把7种类型看成7个抽屉，去的人数看成元素。
要保证至少有一个抽屉里有2人，那么去的人数应大于抽屉数。
所以至少要去7+1=8（个）学生才能保证一定有两位同学买到相同的书。
买书的类型有：
买一本的：
有语文、数学、外语3种。
买二本的：
有语文和数学、语文和外语、数学和外语3种。
买三本的：
有语文、数学和外语1种。
3+3+1=7（种）把7种类型看做7个抽屉，要保证一定有两位同学买到相同的书，至少要去8位学生。
练习2：
1、某班学生去买语文书、数学书、外语书、美术书、自然书。
买书的情况是：
有买一本的、二本的、三本或四本的。
，问至少要去几位学生才能保证一定有两位同学买到相同的书（每种书最多买一本）？
2、学校图书室有历史、文艺、科普三种图书。
每个学生从中任意借两本，那么至少要几个同学才能保证一定有两人所借的图书属于同一种？
3、一只袋中装有许多规格相同但颜色不同的玻璃珠子，颜色有绿、红、黄三种，问最少要取出多少个珠子才能保证有两个同色的？
例题3：
一只袋中装有许多规格相同但颜色不同的手套，颜色有黑、红、蓝、黄四种。
问最少要摸出多少只手套才能保证有3副同色的？
把四种不同的颜色看成是4个抽屉，把手套看成是元素，要保证有1副同色的，就是1个抽屉里至少有2只手套，根据抽屉原理，最少要摸出5只手套。
这时拿出1副同色的后，4个抽屉中还剩下3只手套。
再根据抽屉原理，只要再摸出2只手套又能保证有一副手套是同色的，以此类推。
把四种颜色看成是4个抽屉，要保证有3副同色的，先考虑保证有一副就要摸出5只手套。
这时拿出1副同色的后，4个抽屉中还剩下3只手套。
根据抽屉原理，只要再摸出2只手套又能保证有一副手套是同色的。
以此类推，要保证有3副同色的，共摸出的手套有
5+2+2=9（只）
答：
最少要摸出9只手套才能保证有3副同色的。
练习3：
1、一只袋中装有许多规格相同但颜色不同的手套，颜色有黑、红、蓝、黄四种。
问最少要摸出多少只手套才能保证有4副同色的？
2、布袋中有同样规格但颜色不同的袜子若干只。
颜色有白、黑、蓝三种。
问：
最少要摸出多少只袜子，才能保证有3双同色的？
3、一个布袋里有红、黄、蓝色袜子各8只。
每次从布袋中拿出一只袜子，最少要拿出多少只才能保证其中至少有2双不同袜子？
例题4：
任意5个不相同的自然数，其中至少有两个数的差是4的倍数，这是为什么？
一个自然数除以4的余数只能是0，1，2，3。
如果有2个自然数除以4的余数相同，那么这两个自然数的差就是4的倍数。
一个自然数除以4的余数可能是0，1，2，3，所以，把这4种情况看做时个抽屉，把任意5个不相同的自然数看做5个元素，再根据抽屉原理，必有一个抽屉中至少有2个数，而这两个数的余数是相同的，它们的差一定是4的倍数。
所以，任意5个不相同的自然数，其中至少有两个数的差是4的倍数。
练习4：
1、任意6个不相同的自然数，其中至少有两个数的差是5的倍数，这是为什么？
2、任意取几个不相同的自然数，才能保证至少有两个数的差是8的倍数？
3、证明在任意的（n+1）个不相同的自然数中，必有两个数之差为n的倍数。
例题5：
能否在图29-1的5行5列方格表的每个空格中，分别填上1，2，3这三个数中的任一个，使得每行、每列及对角线AD、BC上的各个数的和互不相同？
由图29-1可知：
所有空格中只能填写1或2或3。
因此每行、每列、每条对角线上的5个数的和最小是1×5=5，最大是3×5=15。
从5到15共有11个互不相同的整数值，把这11个值看承11个抽屉，把每行、每列及每条对角线上的各个数的和看承元素，只要考虑元素和抽屉的个数就可得出结论是不可能的。
因为每行、每列、每条对角线上的5个数的和最小是5，最大是15，从5到15共有11个互不相同的整数值。
而5行、5列及两条对角线上的各个数的和共有12个，所以，这12条线上的各个数的和至少有两个是相同的。
练习5：
1、能否在6行6列方格表的每个空格中，分别填上1，2，3这三个数中的任一个，使得每行、每列及对角线上的各个数的和互不相同？
为什么？
2、证明在8×8的方格表的每个空格中，分别填上3，4，5这三个数中的任一个，在每行、每列及对角线上的各个数的和中至少有两个和是相同的。
3、在3×9的方格图中（如图29-2所示），将每一个小方格涂上红色或者蓝色，不论如何涂色，其中至少有两列的涂色方式相同。
这是为什么？
答案：
练1
1、1992年共有366天，把它看成是366个抽屉，把370个人放入366个抽屉中，至少有一个抽屉里有两个人，因此其中至少有2个学生的生日是同一天的。
2、2月份最多有29天，把它看作29个抽屉，把30名学生放入29个抽屉，至少有一个抽屉里有两个人，因此这30名学生中至少有两个学生的生日是在同一天。
3、一年有12个月，把12个月看作12个抽屉，把15个小朋友放入12个抽屉中，至少有一个抽屉里有两个小朋友，因此至少有2个小朋友是才同一个月出生。
练2
1、买书的类型中买一本的有4种，买二本的有6种，买三本的有4种，买4本的有一种，共有4+6+4+1＝15种情况。
把种15种情况看出15个抽屉，要保证有两位同学买到相同的书，至少要去16位学生。
2、从三周图书种任意借2本，只有6种情况。
要保证有两个所借的图书属于同一种，至少要7个学生。
3、玻璃珠子的颜色有三种，要保证有2个同色，最少应取出4只珠子。
练3
1、思路同例3，最少要摸出11只手套才能保证有4付同色的。
2、把三种颜色看作3个抽屉，要保证有一双同色的就要摸出4只袜子，这时拿出1双
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