等边三角形的培优.docx
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等边三角形的培优
等边三角形培优讲义
1、等边三角形的性质:
(1)等边三角形的三条边相等,三个角都等于60;
(2)等边三角形每个角的平分线与所对的中线,高线互相垂直;
(3)等边三角形的每条边上的中线、高线以及所对角的平分线相等.
2、等边三角形的判定:
(1)三条边相等的三角形是等边三角形;
(2)三个角都相等的三角形是等边三角形;
(3)有一个角为60的等腰三角形是等边三角形。
例题讲解:
1.下列三角形:
①有两个角等于
;②有一个角等于
的等腰三角形;③三个外角(每个顶点处各取一个外角)都相等的三角形;④一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形.其中是等边三角形的有()
A.①②③B.①②④C.①③D.①②③④
2.如图,△为等边三角形,且,与相交于点P,则∠()
A70B60C50D不确定
3.如图,C为线段上一点,在的同侧作等边△和等边△,连接、,若∠40°,则∠的大小是()
A60B65C70D80
4、如图2,在线段同侧作两个等边三角形△和△(∠<120°),点P与点M分别是线段和的中点,则△是()
A.钝角三角形B.直角三角形C.等边三角形D.非等腰三角形
5、如图,在△中,2,3.6,∠60°,将△绕点A按顺时针旋转一定角度得到△,当点B的对应点D恰好落在边上时,则的长为.
第二题
第三题
6、如图,已知△是等边三角形,点B、C、D、E在同一直线上,且,,则∠.
7、如图,在等边三角形中,6,D是上一点,且3,△绕点A旋转后得到△,则的长度为.
8.将宽为2的长方形纸条折叠成如图所示的形状,那么折痕的长是
9.如图,等边△的三条角平分线相交于点O,∥交于D,∥交于点E,那么这个图形中的等腰三角形共有个。
10.如图,将第一个图(图①)所示的正三角形连接各边中点进行分割,得到第二个图(②);再将第二个图中最中间的小正三角形按同样的方式进行分割,得到第三个图(图③);再将第三个图中最中间的小正三角形按同样的方式进行分割,…,则得到的第七个图中,共有个正三角形.
11、在等边△中,是∠的角平分线,D为上一点,以为一边且在下方坐等边△,连接
(1)求证:
△≌△;
(2)延长至Q,P为上一点,连接、使5,若8时,求的长。
12、在等边△中的延长线上取一点E,以为边做等边△,使它与△位于直线的同一侧,点M为线段的中点,点N为线段的中点,求证:
(1)△为等边三角形;
(2)若让△绕C旋转,下列结论会发生变化吗?
;
与交角的度数;
三角形为等边三角形。
13、已知O是等边△内的一点,∠、∠∠的角度之比为6:
5:
4,求在以、、为边的三角形中,此三边所对的角度之比
14.如图,在等边
中,
相交于点
于点
.
求证:
.
15、如图,△是等边三角形,△是顶角∠120°的等腰三角形,以D为顶点作一个60°的∠,角的两边分别交、边于M、N两点,连接.试探究、、之间的数量关系,并加以证明.
16、如图,△是等边三角形,△是顶角∠120°的等腰三角形,M是延长线上一点,N是延长线上一点,且∠60°,试探究、、之间的数量关系,并给出证明
17、如图,在平面直角坐标系中,点A的坐标为(﹣2,0),等边三角形经过平移或轴对称或旋转都可以得到△.
(1)△沿x轴向右平移得到△,则平移的距离是个单位长度;△与△关于直线对称,则对称轴是;△绕原点O顺时针旋转得到△,则旋转角度可以是度;
(2)连结,交于点E,求∠的度数.
18.如图是由9个等边三角形拼成的六边形,若已知中间的小等边三角形的边长是1,求六边形的周长。
19.如图,过边长为1的等边△的边上一点P,作⊥于E,Q为延长线上一点,当时,连交边于D,求的长
20、如图,△是边长为6的等边三角形,P是边上一动点,由A向C运动(与A、C不重合),Q是延长线上一动点,与点P同时以相同的速度由B向延长线方向运动(Q不与B重合),过P作⊥于E,连接交于D.
(1)当∠=30°时,求的长;
(2)在运动过程中线段的长是否发生变化?
如果不变,求出线段的长;如果变化请说明理由.
21.如图,点E是等边△内一点,且,△外一点D满足,且平分∠,求∠的度数.
22.如图,已知等边三角形中,点D,E,F分别为边,,的中点,M为直线上一动点,△为等边三角形(点M的位置改变时,△也随之整体移动).
(1)如图①,当点M在点B左侧时,请你判断与有怎样的数量关系?
点F是否在直线上?
都请直接写出结论,不必证明或说明理由;
(2)如图②,当点M在上时,其它条件不变,
(1)的结论中与的数量关系是否仍然成立?
若成立,请利用图②证明;若不成立,请说明理由;
(3)若点M在点C右侧时,请你在图③中画出相应的图形,并判断
(1)的结论中与的数量关系是否仍然成立?
若成立?
请直接写出结论,不必证明或说明理由.
23、
(1)操作发现:
如图①,D是等边△边上一动点(点D与点B不重合),连接,以为边在上方作等边△,连接.你能发现线段与之间的数量关系吗?
并证明你发现的结论.
(2)类比猜想:
如图②,当动点D运动至等边△边的延长线上时,其他作法与
(1)相同,猜想与在
(1)中的结论是否仍然成立?
(3)深入探究:
Ⅰ.如图③,当动点D在等边△边上运动时(点D与点B不重合)连接,以为边在上方、下方分别作等边△和等边△′,连接、′,探究、′与有何数量关系?
并证明你探究的结论.
Ⅱ.如图④,当动点D在等边△边的延长线上运动时,其他作法与图③相同,Ⅰ中的结论是否成立?
若不成立,是否有新的结论?
并证明你得出的结论.
24、阅读与理解:
图1是边长分别为a和b(a>b)的两个等边三角形纸片和C′叠放在一起(C与C′重合)的图形.
操作与证明:
(1)操作:
固定△,将△C′绕点C按顺时针方向旋转30°,连接,,如图2;在图2中,线段与之间具有怎样的大小关系?
证明你的结论;
(2)操作:
若将图1中的△C′,绕点C按顺时针方向任意旋转一个角度α,连接,,如图3;在图3中,线段与之间具有怎样的大小关系?
证明你的结论;
猜想与发现:
根据上面的操作过程,请你猜想当α为多少度时,线段的长度最大是多少?
当α为多少度时,线段的长度最小是多少?
25.基本问题:
已知等边△,。
(1)写出、之间数量关系;
(2)当点M运动到延长线上时,其余条件不变,则
(1)的结论是否成立?
变式问题:
1。
如图等边△和等边△,点P为射线一动点,∠60°,交直线于K。
(1)试探索、之间的数量关系;
(2)当点P运动到延长线上时,上题结论是否依然成立?
为什么。
26.已知等边△和点P,设点P到△三边、、的距离分别为h1,h2,h3,△的高为h.“若点P在一边上[如图
(1)],此时h3=0可得结论:
h1+h2+h3=h.”请直接应用上述信息解决下列问题:
当点P在△内[如图
(2)],以及点P在△外[如图(3)]这两种情况时,上述结论是否成立?
若成立,请予以证明;若不成立,h1,h2,h3与h之间又有怎样的关系,请写出你的猜想,不需要证明.
(1)
(2)(3)