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固体理论习题

固体理论习题2014

固体理论习题

一、简答题

1、什么是原胞？

Wigner-Seitz原胞的特点。

a）在完整晶体中，晶格在空间的三个方向上都具有一定的周期对称性，这样可以取一个以结点为顶点，边长等于这三个方向上的周期的平行六面体作为最小的重复单元，来概括晶格的特征，这样的重复单元称为初基原胞或简称原胞。

b）W-S原胞，是晶格中比较对称的一种原胞。

其构成方法是以某个格点为中心，作其与近邻格点连线的垂直平分面，由这些平分面构成的单元即为W-S原胞。

2、讨论晶体电子结构，为什么要引入倒空间？

3、周期性边界条件的物理意义。

4、如何理解晶格振动的简谐近似，如何理解声子？

5、什么是Fermi能级？

绝对零度和有限温时候Fermi能级有什么区别？

对于金属，绝对零度下，电子占据的最高能级就是费米能级。

费米能级的物理意义是，该能级上的一个状态被电子占据的几率是1/2。

有限温度的费米分布会引入费米能级附近的展宽，这个温度可以通过展宽来得到。

这个时候可以认为展宽与实际电子温度有关。

6、什么是Landau能级？

朗道能级是磁场中电子作回旋运动的量子化能级。

考虑电子在均匀磁场B中运动。

电子沿磁场方向的运动不受影响，但在垂直于磁场的平面内作回旋运动。

7、如何利用能带理论来解释导体、半导体、绝缘体？

8、如何用Hubbard模型来描述Mott绝缘体。

5、在格点间距为a格点总数为N的一维单原子链中，证明

6、利用紧束缚近似方法，考虑最近邻近似，论述一维单原子链体系的能谱有如下形式：

，

为原子能级，t为两原子之间的耦合能量；讨论该体系中能带的宽度，电子的有效质量。

7、试用Anderson模型：

证明d电子的态密度公式为：

二、计算题

1、一维周期势场中电子的波函数应当满足布洛赫定理。

如果晶格常数为a,电子的波函数为

（i）

（ii）

（iii）

试求电子在这些状态的波矢量。

2、一维双原子链原子间距为a,相邻原子质量分别为m和M。

原子限制在沿链的方向运动，讨论描述原子振动的色散关系，并指出m=M时的极限情况。

3、限制在边长为L的正方形中的N个自由电子，电子的能量

（i）求能量E到E+dE之间的状态数（态密度）；

（ii）求此二维系统在绝对零度的Fermi能级。

（iii）如果在z方向上加入强度为B的磁场，能谱如何变化。

4、设有一维晶体的电子能带可写成

，其中

为晶格常数，

是电子的质量。

试求：

（1）能带宽度；

（2）电子在波矢k状态的速度；

（3）带顶和带底的电子有效质量。

5、

由Hubbard近似

（i）推导如下对易关系：

；

（iii）描述在该近似下库仑相互作用对电子能级的影响。

6、一个体系的自旋角动量量子数和磁量子数分别为S,m.同时定义

则容易得出：

。

另一方面，知道玻色子湮灭和产生算符有如下关系式：

，

。

（i）

表示

;

（ii）利用

的对易关系计算

的对易关系。