高中数学公式大全完整版012714.docx
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高中数学公式大全完整版012714
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高中数学常用公式及常用结论
1.包含关系
AIBAAUBBABCUBCUA
AICBCUAUBR
U
n
2．集合{a1,a2,L,an}的子集个数共有2
n
个；真子集有2
n
–1个；非空子集有2
n
–1个；非空的真子集有2
–
2个.
3.充要条件
（1）充分条件：
若pq，则p是q充分条件.
（2）必要条件：
若qp，则p是q必要条件.
（3）充要条件：
若pq，且qp，则p是q充要条件.
注：
如果甲是乙的充分条件，则乙是甲的必要条件；反之亦然.
4.函数的单调性
（1）设x1x2a,b,x1x2那么
f（x）f（x）
12在上是增函数；
（xx）f（x）f（x）00f（x）a,b
1212
xx
12
f（x）f（x）
1在上是减函数.
2
（xx）f（x）f（x）00f（x）a,b
1212
xx
12
（2）设函数yf（x）在某个区间内可导，如果f（x）0，则f（x）为增函数；如果f（x）0，则f（x）为减函
数.
5.如果函数f（x）和g（x）都是减函数,则在公共定义域内,和函数f（x）g（x）也是减函数;如果函数yf（u）
和ug（x）在其对应的定义域上都是减函数,则复合函数yf[g（x）]是增函数.
6．奇偶函数的图象特征
奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称;反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这
个函数是奇函数；如果一个函数的图象关于y轴对称，那么这个函数是偶函数．
7.对于函数yf（x）（xR）,f（xa）f（bx）恒成立,则函数f（x）的对称轴是函数
ab
x;两个函数
2
yf（xa）与yf（bx）的图象关于直线
8.几个函数方程的周期（约定a>0）
ab
x对称.
2
（1）f（x）f（xa），则f（x）的周期T=a；
1
（2），f（xa）（f（x）0），或
f（x）
f（xa）
1
f（x）
（f（x）0）,则f（x）的周期T=2a；
9.分数指数幂
m
n
1
nm
a
（a0,m,nN，且n1）.
（2）a
m
n
1
m
n
a
a（a0,m,nN，且n1）.
（1）
10．根式的性质
naa.
（2）当n为奇数时，nana；当n为偶数时，
n
（1）（）
nnaa
0
a|a|
a,a0
.
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11．有理指数幂的运算性质
rsrsrsrsrrr
（1）aaa（a0,r,sQ）.
（2）（a）a（a0,r,sQ）.（3）（ab）ab（a0,b0,rQ）.
12.指数式与对数式的互化式log
b
aNbaN（a0,a1,N0）.
①.负数和零没有对数，②.1的对数等于0：
loga10，③.底的对数等于1：
logaa1，
M
④.积的对数：
loga（MN）logaMlogaN，商的对数：
alogMlogN
log，
aa
N
nnn
幂的对数：
logaMnlogaM；logmblogab
a
m
13.对数的换底公式
logN
a
log
log
m
m
N
a
（a0,且a1,m0,且m1,N0）.
n
n
推论logblogb
ma
a
m
（a0,且a1,m,n0,且m1,n1,N0）.
15.
a
n
s,n1
1
ss,n2
nn1
（数列{an}的前n项的和为sna1a2Lan）.
16.等差数列的通项公式
*
aa1（n1）ddna1d（nN）；
n
其前n项和公式为
n（aa）n（n1）
1n
sna1d
n
22
d1
2
n（ad）n.
1
22
17.等比数列的通项公式
a
n11n*
aa1qq（nN）
n
q
；
其前n项的和公式为
n
a（1q）
1
s1q
n
q1
或
s
n
aaq
1n
1q
q1
.
na,q1
1
na,q1
1
18.同角三角函数的基本关系式
22
sincos1，tan=
sin
cos
19正弦、余弦的诱导公式
n
n
sin（）
2
2
（1）sin,
n1
2
（1）cos,
（n为偶数）
（n为奇数）
20和角与差角公式sin（）sincoscossin;
cos（）coscosmsinsin;
tan（）
tantan
1mtantan
.
asinbcos=
22sin（）
ab（辅助角所在象限由点（a,b）的象限决定,tan
b
a
）.
21、二倍角的正弦、余弦和正切公式：
⑴sin22sincos．
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⑵
2222
cos2cossin2cos112sin（
21cos2
2
cos
，
sin
21cos2
2
）．
⑶
tan2
2tan
2
1tan
．
22.三角函数的周期公式
函数ysin（x），x∈R及函数ycos（x），x∈R（A,ω,为常数，且A≠0，ω＞0）的周期
2
T；
函数ytan（x），xk,kZ（A,ω,为常数，且A≠0，ω＞0）的周期T.
2
23.正弦定理
abc
sinAsinBsinC
2R
.
24.余弦定理
2222cos
abcbcA;
2222cos2222cos
bcacaB;cababC.
25.面积定理
111
SabsinCbcsinAcasinB
（2）.
222
26.三角形内角和定理
在△ABC中，有ABCC（AB）
CAB
222
2C22（AB）.
27.实数与向量的积的运算律
设λ、μ为实数，那么
（1）结合律：
λ（μa）=（λμ）a;
（2）第一分配律：
（λ+μ）a=λa+μa;（3）第二分配律：
λ（a+b）=λa+λb.
28.向量的数量积的运算律：
（1）a·b=b·a（交换律）;
（2）（a）·b=（a·b）=a·b=a·（b）;（3）（a+b）·c=a·c+b·c.
30．向量平行的坐标表示
设a=（x1,y1）,b=（x2,y2），且b0，则aPb（b0）x1y2x2y10.
31.a与b的数量积（或内积）a·b=|a||b|cosθ．
32.数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘积．
33.平面向量的坐标运算
（1）设a=（x1,y1）,b=（x2,y2），则a+b=（x1x2,y1y2）.
（2）设a=（x1,y1）,b=（x2,y2），则a-b=（x1x2,y1y2）.
uuuruuuruuur
（3）设A（x1,y1），B（x2,y2）,则ABOBOA（x2x1,y2y1）
.
（4）设a=（x,y）,R，则a=（x,y）.
（5）设a=（x1,y1）,b=（x2,y2），则a·b=（x1x2y1y2）.
xxyy
1212
34.两向量的夹角公式
cos（a=（x1,y1）,b=（x2,y2））.
2222
xyxy
1122
uuuruuuruuur35.平面两点间的距离公式dA,B=|AB|ABAB
22
（xx）（yy）（A（x1,y1），B（x2,y2））.
2121
36.向量的平行与垂直
设a=（x1,y1）,b=（x2,y2），且b0，则
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A||bb=λax1y2x2y10.
ab（a0）a·b=0x1x2y1y20.
37.三角形的重心坐标公式
△ABC三个顶点的坐标分别为A（x1,y1）、B（x2,y2）、C（x3,y3）,则△ABC的重心的坐标是
xxxyyy
123123
G（,）.
33
设O为ABC所在平面上一点，角A,B,C所对边长分别为a,b,c，则
uuuruuuruuuruuuruuuruuurr
222
（1）O为ABC的外心OAOBOC.
（2）O为ABC的重心OAOBOC0
uuuruuuruuuruuuruuuruuur
（3）O为ABC的垂心OAOBOBOCOCOA
.
.
38.常用不等式：
（1）a,bR
222
abab（当且仅当a＝b时取“=”号）．
（2）a,bR
ab
2
ab（当且仅当a＝b时取“=”号）．
（3）ababab.
39已知x,y都是正数，则有
（1）若积xy是定值p，则当xy时和xy有最小值2p；
（2）若和xy是定值s，则当xy时积xy有最大值
1
4
2
s.
40.含有绝对值的不等式当a>0时，有
2
2
xaxaaxa.
22
xaxaxa或xa.
41.斜率公式
k
yy
21
xx
21
（P1（x1,y1）、P2（x2,y2））.
42.直线的五种方程
（1）点斜式yy1k（xx1）（直线l过点P1（x1,y1），且斜率为k）．
（2）斜截式ykxb（b为直线l在y轴上的截距）.
（3）两点式
yyxx
11
yyxx
2121
（y1y2）（P1（x1,y1）、P2（x2,y2）（x1x2））.
xy
（4）截距式1（a、b分别为直线的横、纵截距，a、b0）
ab
（5）一般式AxByC0（其中A、B不同时为0）.
43.两条直线的平行和垂直
（1）若l1:
yk1xb1，l2:
yk2xb2①
l1||l2k1k2,b1b2;②l1l2k1k21.
（2）若l1:
A1xB1yC10,l2:
A2xB2yC20,且A1、A2、B1、B2都不为零,
①
l||l
12
ABC
111
ABC
222
；②
l1l2A1A2B1B20；
（l1:
A1xB1yC10,l2:
A2xB2yC20,A1A2B1B20）.
直线l1l2时，直线l1与l2的夹角是
.
2
45.点到直线的距离
d
|AxByC|
00
22
AB
（点P（x0,y0）,直线l：
AxByC0）.
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46.圆的四种方程
（1）圆的标准方程
222
（xa）（yb）r.
（2）圆的一般方程
220
xyDxEyF（
224
DEF＞0）.
47.直线与圆的位置关系
直线AxByC0与圆
2（）
22
（xa）ybr的位置关系有三种:
dr;dr相切0;
相离0
dr0.其中
相交
AaBbC
d.
2B
2
A
48.两圆位置关系的判定方法
设两圆圆心分别为O1，O2，半径分别为r1，r2，O1O2d
dr1r条公切线;dr1r2外切3条公切线;
外离42
r1rdrr条公切线;dr1r2内切1条公切线;
相交2212
0drr.
内含无公切线
12
49.圆的切线方程
（1）已知圆
220
xyDxEyF．
（2）已知圆
222
xyr．
①过圆上的
P0（x0,y0）点的切线方程为
2
xxyyr;
00
50.椭圆
22
xy
221（0）
ab
ab
的参数方程是
xa
yb
cos
sin
.
51.椭圆
22
xy
221（ab0）
ab
22
aa
焦半径公式PFe（x），PF2e（x）.
1c
c
52．椭圆的的内外部
（1）点P（x0,y0）在椭圆
22
xy
221（0）
ab
ab
的内部
22
xy
00
221
ab
.
（2）点P（x0,y0）在椭圆
22
xy
221（0）
ab
ab
的外部
22
xy
00
221
ab
.
53.双曲线
22
xy
221（a0,b0）
ab
的焦半径公式
2
a
PF1|e（x）|
c
，
2
a
PF2|e（x）|
c
.
54.双曲线的方程与渐近线方程的关系
2222
xyxy
（1）若双曲线方程为1220
渐近线方程：
22
abab
2
2
xyx
b
y0
（2）若渐近线方程为x
双曲线可设为
aaba
b
yx.
a
2
y
.
2
b
22
xy
（3）若双曲线与1
有公共渐近线，可设为
22
ab
x
a
2
2
2
y
2
b
（0，焦点在x轴上，0，焦点在y轴上）.
2
55.抛物线y2px
的焦半径公式
抛物线
22（0）
ypxp焦半径
p
CFx.
02
pp
过焦点弦长CDx1x2x1x2p
22
.
56.直线与圆锥曲线相交的弦长公式
22
AB（xx）（yy）或
1212
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2222
AB（1k）（xx）|xx|1tan|yy|1cot（弦端点A（x1,y1）,B（x2,y2），由方
211212
程
y
F（
kx
x,y）
b
0
2bxc
消去y得到ax0，0,为直线AB的倾斜角，k为直线的斜率）.
57
（1）加法交换律：
a＋b=b＋a．
（2）加法结合律：
（a＋b）＋c=a＋（b＋c）．（3）数乘分配律：
λ（a＋b）=λa＋λb．
59共线向量定理
对空间任意两个向量a、b（b≠0），a∥b存在实数λ使a=λb．
uuuruuuruuuruuuruuur
P、A、B三点共线AP||ABAPtABOP（1t）OAtOB
.
60.向量的直角坐标运算
设a＝（a1,a2,a3），b＝（b1,b2,b3）则
（1）a＋b＝（a1b1,a2b2,a3b3）；
（2）a－b＝（a1b1,a2b2,a3b3）；（3）λa＝（a1,a2,a3）（λ∈R）；
（4）a·b＝a1b1a2b2a3b3；
uuuruuuruuur
61.设A（x1,y1,z1），B（x2,y2,z2），则ABOBOA
=（x2x1,y2y1,z2z1）.
62．空间的线线平行或垂直
rr
设，
a（x,y,z）b（x,y,z）
111222
rr
，则ab
rr
ab
0x1x2y1y2z1z20.
63.夹角公式
ababab
112233
设a＝（a1,a2,a3），b＝（b1,b2,b3），则cos〈a，b〉=
.
222222
aaabbb
123123
rr
rr
|ab||xxyyzz|
121212
64．异面直线所成角cos|cosa,b|rr
=
222222
|a||b|xyzxyz
111222
rr
oo
（其中（090）为异面直线a,b所成角，a,b分别表示异面直线a,b的方向向量）
65.直线AB与平面所成角
uuurur
ur
ABm
arcsinuuurur（m
|AB||m|
为平面的法向量）.
urrurr
ur
mnmn
66.二面角l的平面角arccosurr或arccosurr（m
|m||n||m||n|
r
，n
为平面，的法向量）.
134.空间两点间的距离公式
uuuruuuruuur
若A（x1,y1,z1），B（x2,y2,z2），则dA,B=|AB|ABAB
222
（xx）（yy）（zz）.
212121
67.球的半径是R，则
其体积
4
3
VR,其表面积
3
2
S4R．
（3）球与正四面体的组合体:
棱长为a的正四面体的内切球的半径为
6
12
a,外接球的半径为
6
4
a.
68
11
VShShVShSh..
33
69.分类计数原理（加法原理）Nm1m2Lmn.
70.排列数公式
m
A=n（n1）（nm1）=
n
n
！
.（n，m∈N*，且mn）．注:
规定0!
1.
（nm）
！
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71.组合数公式
m
C=
n
m
A
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