陈纪修数学分析答案.docx
《陈纪修数学分析答案.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《陈纪修数学分析答案.docx（11页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
陈纪修数学分析答案
陈纪修数学分析答案
【篇一：
陈纪修教授《数学分析》九讲学习笔记与心得】
class=txt>云南分中心?
昆明学院?
周兴伟
此次听陈教授的课，收益颇多。
陈教授的这些讲座，不仅是在教我们如何处理《数学分析》中一些教学重点和教学难点，更是几堂非常出色的示范课。
我们不妨来温习一下。
第一讲、微积分思想产生与发展的历史
法国著名的数学家h.庞加莱说过：
“如果我们想要预见数学的将来，适当的途径是研究这门科学的历史和现状。
”那么，如果你要学好并用好《数学分析》，那么，掌故微积分思想产生与发展的历史是非常必要的。
陈教授就是以这一专题开讲的。
在学校中，我不仅讲授《数学分析》，也讲授《数学史》，所以我非常赞同陈教授在教学中渗透数学史的想法，这应该也是提高学生数学素养的有效途径。
在这一讲中，陈教授脉络清晰，分析精当，这是我自叹不如的。
讲《数学史》也有些年头，但仅满足于史料的堆砌，没有对一些精彩例子加以剖析。
如陈教授对祖暅是如何用“祖暅原理”求出球的体积的分析，这不仅对提高学生的学习兴趣是有益的（以疑激趣、以奇激趣），而且有利于提高学生的民族自豪感（陈教授也提到了这一点）。
第二讲、实数系的基本定理
在这一讲中，陈教授从《实变函数》中对集合基数的讨论展开，对实数系的连续性作了有趣的讨论。
首先是从绅士开party的礼帽问题，带我们走进了“无穷的世界”。
我在开《数学赏析》时有一个专题就是“无穷的世界”，我给学生讲礼帽问题、也讲希尔伯特无穷旅馆问题，但遗憾的是，当我剖析“若无穷旅馆住满了人，再来两个时，可将住１号房间的移往３号房间，住２号房间的移往４号房间，从而空出两个房间”时，学生对我“能移”表示怀疑。
这
一点我往往只能遗憾的说“跳不出有限的圈子，用有限的眼光来看无限，只能是‘只在此山中，云深不知处’”。
当然，我还是会进一步考虑如何来讲好这一讲。
若陈教授或其他老师有好的建议，能指点一下，则不胜感激。
对于集合[0,1]与（0,1）的对等关系，包括q与Ｒ的对等关系，或者说他们之间双射的构造。
关键在于“求同存异”，找一个可数集来“填补”他们之间的差距，这相当于希尔伯特无穷旅馆问题中来了两个人和来了可数个人。
从可数集到不可数集，再加上无最大基数定理，让我们看到了“无穷的层次性”，由此我们不难理解“人外有人，天外有天，无穷之外有无穷”。
我们不能不发出“哀吾生之须臾，羡长江之无穷”的感慨。
陈教授对单调确界原理的证明非常清晰明了，几何直观的描述形象直观。
第三讲《数学分析》课程中最重要的两个常数
法国著名雕塑家罗丹曾经说过“生活中从不缺少美，而是缺少发现美的眼睛”。
我想说：
“数学中并不缺少美，缺少的是揭示数学美的老师”。
陈教授是一个出色的老师，他不仅发现了数学的美，而且为我们展示了数学的美。
著名的欧拉公式：
e?
i?
1?
0，实现了有理数、无理数、超越数、实数、虚数完美统一，获得“最美的数学定理”称号。
欧拉建立了在他那个时代，数学中最重要的几个常数（0,1,i,e,?
）之间的绝妙的有趣的联系，被认为是数学奇异美的典例。
在本讲中，陈教授以李大潜院士访问法国“引入”的一个有趣例子开讲，让我们体会了数学中的美，这个不等式还有许多有意思的地方，无论是不等式的形式，还是他的证明，都非常深刻地体现了数学的美。
pi是无理数的证明，吸引了与会学员的眼球，赞叹之余，有学员问这一证法的出处，我也还真想知道，请陈教授不吝指教。
本讲最后将函数sinx/x展成无穷乘积形式，并妙用此形式求出p级数中p为偶数值时的和，对我而言是耳目一新的。
在我记忆中好像菲尔金哥尔茨的《微积分学教程》（第二卷）中也有求出的方法，而p为奇数的情形好像至今尚未解决。
对p=2的情形，欧拉至少用两种方法得到结果，其中一种方法妙用了l’hospital法则（《数学译林》09.3）。
第四讲级数与反常积分收敛的a.d判别法
恰逢这个学期讲《数学分析》（3），在讲授含参变量反常积分时，先复习了反常积分，再复习了函数项级数，并将几个判别法列表比较，尤其是a.d判别法，能与陈教授不谋而合，真是倍感荣幸。
陈教授对abel引理的直观刻画，也是深得学员好评。
我对陈教授从abel引理分析?
anbn收敛条件的分析而得到dilichlet判别法和abel判别法的相关条件深感佩服，尤其是分析得丝丝入扣。
第五讲函数项级数与含参变量反常积分的一致收敛
一致收敛性无疑是《数学分析》中的一个重要概念。
陈教授对“点点收敛”与“一致收敛”的剖析是非常到位的，学生在学习时如果是只能注意到在定义的陈述“?
x”的位置不相同，而不明其所以时，这样的教学肯定是失败的。
陈教授例子选择精当，语言使用精辟，问题分析精准。
请注意陈教授的这句话：
“毛病出在点态收敛的情况下，在某些点附近，n无法控制”（类似的话在第九讲中说过）。
第六讲weierstrass函数：
处处连续处处不可导的函数
陈教授分析了为何在weierstrass之前的数学家不能构造出这样的函数。
原来在此之前，数学家们所掌握的函数是不足以构造出这样的函数的。
weierstrass在1872年构造出了如下处处连续处处不可导的函数：
?
ansin（bnx）0a1b,ab1
陈教授选用1930年vanderwaerden给出的例子进行了剖析。
所讲自是精当，本人很是受益。
第七讲条件极值问题与lagrange乘数法
本讲陈教授从一个几何问题入手，得到一个条件极值问题。
考虑了条件极值的必要条件，引入lagrange乘数法，化条件极值问题为无极条件极值问题。
这部分内容中，本人认为几何解释最有启发性。
对于具体使用lagrange乘数法的例子中，如何解方程组，陈教授给了很好的建议。
第二个例子，即求平面x+y+z=0与椭球面x2+y2+4z2=1相交而成的椭圆面积。
这个例子我很喜欢，只可惜不能用来做期末考题（不要问我为什么！
）。
第八讲重积分的变量代换
本讲陈教授从定积分的换元的计算公式分析入手，对二重积分的相应的代换公式作出类比猜想（在教学中注重渗透数学思想方法，如此妙哉！
）再作分析，然后得出代换公式。
为证明代换公式，陈教授引入本原映射，化“矩形”为“梯形”，化变换t为两个本原变换的复合，实现了化复杂为简单，化困难为容易。
第九讲《数学分析》课程中的否定命题
《数学分析》教学中，说说“反话”很重要！
（请不要误解！
）
两个命题a与b如果既不能同时成立，也不能同时不成立，就称a与b互为否定命题。
若a与b互为否定命题，则a与b一定满足：
一个成立，另一个必然不成立；一个不成立，另一个必定成立。
（废话！
）
有界与无界、收敛于a与不收敛于a、收敛与不收敛、（注意前边两对的区别！
）、可导与不可导、cauchy收敛准则及其否定命题，等等。
这些“反话”不说，大量的题做不了。
我在讲《数学分析》
（1）时会有一讲（几个概念的否定叙述）就是来讲否定命题的。
陈教授在这部分的例子非常好，分析得也清楚！
陈教授的九讲，给了我们太多的启示：
一、在我们的教学中，不仅要教其所以然，而且要教其所以然。
陈教授的这九讲，应该是我们讲授
《数学分析》的经典案例，当然，我们不一定是讲这一些内容！
正确的思想从哪里来，是从天上掉下来的吗？
不是！
二、在我们的教学，不仅要传授知识，而且要传授思想方法，也就是教学中要注
重思想方法的渗透。
三、在我们的教学中，不仅要传授知识，而且要培养学生的数学素养，让他们了解数学的过去、现
在，以便开创数学的将来。
四、在我们的教学中，或许会遇的许多困难：
教学时数少，教学对象差等等，但我们应从我们自身
积极的寻找对策。
陈教授就是这样的。
以上所述，仅凭个人听课记录，又仅凭个人理解。
若是有误，请陈教授见谅并斧正。
最后，向陈纪修教授致以崇高的敬意！
滇源后学：
周兴伟
【篇二：
2015年上海财经大学,数学分析高等代数,真题回忆版】
很多送分数的题目，所以卷面看起来简单，但是送分的题目有限，剩下的大部分是要么会做要么完全不会做的东西，所以显得难度挺大的。
至少高等代数今年突然上升，变得比华东师范的题目还都要难一点。
而数学分析难度实际上是略微下降了。
《高等代数部分》
太多太多都忘掉了，想了好久好久还是只能说个大概了，实在没办法考完都4个月了。
我先都不是按照顺序的，因为记不得顺序。
题量很大。
最后想想考过的题目其实明年绝对不会再考到，考的知识点也不一定还会见到，所以还是把考到的一些知识点列出来吧，很多都很偏僻。
1.求秩为1的矩阵的复jordan标准型
2.如果矩阵a可以对角化，那么a相似于a?
3.两个矩阵在实数域上相似等价于在复数域上相似
4.幂等矩阵的秩等于迹
5.矩阵ab与矩阵ba有相同的非零特征值，并且其重数相同
6.倒数第二题是一个很难的题目，类似于丘维声《高等代数学习指导书（上）》394页例11，当然了比这个例题要难很多，但是差不多就是这种类型，可以注意一下（题目真的记不住了，而且这题目我以前也没见过原题，没法查找）
7.考了一个最大公因式的题目，最大公因式的知识点自己准备一下就好，没什么好说的，要求举一个反例也是很简单的例子。
8.丘维声《高等代数学习指导书（上）》416例11原题
9.线性方程组考了一个20分的大题目，而且很难，非齐次的方程组，系数还含有待定的a,b,c，告诉我们一些秩的条件，然后叫我们求出abc，并且证明秩的一些结论。
建议在方程组（非齐次线性方程组很容易被忽略）上花点时间，真的这题目猝不及防，确实极难，我做完整个卷子才回来做了这题。
10.最后一题是一个其貌不扬的题目，看起来很easy其实是灰常灰常不简单的。
原题见丘维声《高等代数学习指导书（下）》262页例11
15年的高代比14年难了太多，几乎没有完全白送的题目。
顺便提一下，14年唯一一个难题是要考生证明极分解定理，其它都是很平庸的，但也说明，复习高代如果只是用北大第三版可能也是可以的，但是要考得很稳妥的话，是不够的，还是需要再看一点补充的内容的。
《数学分析》部分
1.一些关于数列和连续函数简单的概念和反例考察：
当x?
0?
1，?
其中略有一点点难度的是问f（x）?
?
0,当x?
0在区间?
0,1?
上是否为某个可积函数
?
?
1，当x?
0?
的原函数？
答案当然是没有，因为黎曼可积函数的原函数必为连续函数，而f（x）是不连续的。
另一个概念考察的是问：
a1?
a2?
?
?
an?
0是否能推出an?
0？
答案当然是肯定n
的，这是一个简单的数分课后题，华东师范书上一个课后题。
那么又问：
1a?
a?
?
?
anan?
0是否能推12?
0？
答案是否定的，反例即调和数列{}nn
还有一个概念题，是问一个数列{an}无界，是否可以推出答案当然还是an是无穷大量？
否定的，反例如下：
an?
?
?
1,当n为偶数
?
n,当n为奇数，此时{an}无界，但是an并不是无穷大量。
最后一个举反例的我记不得了，也很简单，和一致收敛有关的，不提也成。
2.（数列极限的计算）只记得一个了，是问n!
?
?
这题目是华师书上的一个课后题，没做n
过的人就不会，做过的人就会了，一般复习数分肯定会复习到的。
3.（含参量积分和函数列的一致收敛性）今年就考了四个计算题，基本上就是比课后题稍微难一点的难度吧，技巧比较少，主要考的是对积分和极限可交换的理解，还有一致收敛性的判断，这些其实题目换来换去也没什么好说的，关键多做题目吧。
不过有一题考察了一致收敛的dini判别法，这是在复旦陈纪修的书上有的定理，还有一个题目函数表达式挺复杂的，我一时也看不出端倪，就直接用了lebesgue控制收敛定理，两下就做掉了，这也提醒你这些题目用数分的方法太麻烦的时候，可以用实变函数论直接灭掉。
顺便提一下，14年的一个含参量反常积分可以用复变函数论的留数定理解决，十分方便，如果用数学分析做就很头痛很难受了。
4.（曲线积分和曲面积分）就是计算咯，算第二型曲面曲面积分的时候gauss散度定理用到了一下。
计算反正好好做题目好好复习就可以了，类型很多，有些方法也很麻烦，不过上海财经的题目总归是不会太难的咯。
5.（一个大难题）进入正题了！
倒数第二题，22分，分了四个小问题很肉疼，前面几个小问题很有技巧，但是没什么好提的，最后问了一个函数项级数求和问题，值得注意哦！
其实我整个数分复习阶段都没有做到过这种题目，考试的时候大概给逼急了突然灵光一闪想出来了，做完了才意识到这其实是华东师范数学分析下册的一个课后题：
下册60页习题2.
6.最后一题是白送分数的啦，就是叫你把一个分段函数分别傅立叶展开，幂级数展开，然后
求一下和函数。
都只是很机械的计算，当然了，计算是很烦很烦很烦的，基本概念和定理搞明白，计算别出错即可。
7.今年挺奇怪的，微分中值定理和泰勒公式的题目其实是没有直接考察的，微分学的内容是非常基础的，往年的题目看微分中值定理都是整个卷子的小高潮。
这说明其实每年变化都很大，扎实复习好每一块儿内容才是关键嗷
【篇三：
《数学分析》教学大纲】
t>《数学分析》教学大纲
218.003.1数学分析（i）学分数5周学时4+2总学时96
（讲课64，习题课32）218.003.2数学分析（ii）学分数5周学时4+2总学时96
（讲课64，习题32）218.003.3数学分析（iii）学分数4周学时3+2总学时80
（讲课48，习题32）
课程性质与基本要求
课程性质：
数学分析是数学系最重要的一门基础课，是许多后继课程如微分几何，微分方程，复变函数，实变函数与泛函分析，计算方法，概率论与数理统计等课程必备的基础，是数学类本科一、二年级学生的必修课。
本课程总学时为272学时，其中讲课为176学时，习题课为96学时，共分三学期完成，分别为数学分析（i），数学分析（ii），数学分析（iii）。
基本要求：
通过系统的学习与严格的训练，全面掌握数学分析的基本理论知识；培养严格的逻辑思维能力与推理论证能力；具备熟练的运算能力与技巧；提高建立数学模型，并应用微积分这一工具解决实际应用问题的能力。
教学方式与指导思想
教学方式：
以课堂教学为主，充分利用现代化技术，结合计算机实习与多媒体辅助教学，提高教学效果。
指导思想：
微积分理论的产生离不开物理学，天文学，几何学等学科的发展，在数学分析的教学中，应强化微积分与相邻学科之间的联系，强调应用背景，充实理论的应用性内容。
数学分析的教学除体现本课程严格的逻辑体系外，也要反映现代数学的发展趋势，吸收和采用现代数学的思想观点与先进的处理方法，提高学生的数学修养。
教学内容，教学要求与学时分配
学时（含习题课）数学分析（i）
第一章集合与映射8
1.集合
2.映射与函数
本章教学要求：
理解集合的概念与映射的概念，掌握实数集合的表示法，函数的表示法与函数的一些基本性质。
第二章数列极限16
1.实数系的连续性
2.数列极限
3.无穷大量
4.收敛准则
本章教学要求：
掌握数列极限的概念与定义，掌握并会应用数列的收敛准则，理解实数系具有连续性的分析意义，并掌握实数系的一系列基本定理。
第三章函数极限与连续函数16
1.函数极限
2.连续函数
3.无穷小量与无穷大量的阶
4.闭区间上的连续函数
本章教学要求：
掌握函数极限的概念，函数极限与数列极限的关系，无穷小量与无穷大量阶的估计，闭区间上连续函数的基本性质。
第四章微分15
1.微分和导数
2.导数的意义和性质
3.导数四则运算和反函数求导法则
4.复合函数求导法则及其应用
5.高阶导数和高阶微分
本章教学要求：
理解微分、导数、高阶微分与高阶导数的概念、性质及相互关系，熟练掌握求导与求微分的方法。
第五章微分中值定理及其应用21
1.微分中值定理
2.l＇hospital法则
3.插值多项式和taylor公式
4.函数的taylor公式及其应用
5.应用举例
6.函数方程的近似求解
本章教学要求：
掌握微分中值定理与函数的taylor公式，并能应用于函数性质的研究，熟练运用l＇hospital法则计算极限，熟练应用微分于求解函数的极值问题与函数作图问题。
第六章不定积分9
1.不定积分的概念和运算法则
2.换元积分法和分部积分法
3.有理函数的不定积分及其应用
本章教学要求：
掌握不定积分的概念与运算法则，熟练应用换元法和分部积分法求解不定积分，掌握求有理函数与部分无理函数不定积分的方法。
第七章定积分（1—3）11
1.定积分的概念和可积条件
2.定积分的基本性质
3.微积分基本定理
期末考试
数学分析（ii）
第七章定积分（4—6）15
4.定积分在几何中的应用
5.微积分实际应用举例
6.定积分的数值计算
本章教学要求：
理解定积分的概念，牢固掌握微积分基本定理：
牛顿—莱布尼兹公式，熟练定积分的计算，熟练运用微元法解决几何，物理与实际应用中的问题，初步掌握定积分的数值计算。
第八章反常积分9
1.反常积分的概念和计算
2.反常积分的收敛判别法
本章教学要求：
掌握反常积分的概念，熟练掌握反常积分的收敛
判别法与反常积分的计算。
第九章数项级数21
1.数项级数的收敛性
2.上级限与下极限
3.正项级数
4.任意项级数
5.无穷乘积
本章教学要求：
掌握数项级数敛散性的概念，理解数列上级限与下极限的概念，熟练运用各种判别法判别正项级数，任意项级数与无穷乘积的敛散性。
第十章函数项级数21
1.函数项级数的一致收敛性
2.一致收敛级数的判别与性质
3.幂级数
4.函数的幂级数展开
5.用多项式逼近连续函数
本章教学要求：
掌握函数项级数（函数序列）一致收敛性概念，一致收敛性的判别法与一致收敛级数的性质，掌握幂级数的性质，会熟练展开函数为幂级数，了解函数的幂级数展开的重要应用。
第十一章euclid空间上的极限和连续9
1.euclid空间上的基本定理
2.多元连续函数
3.连续函数的性质
本章教学要求：
了解euclid空间的拓扑性质，掌握多元函数的极限与连续性的概念，区分它们与一元函数对应概念之间的区别，掌握紧集上连续函数的性质。
第十二章多元函数的微分学（1—5）21
1.偏导数与全微分
2.多元复合函数的求导法则
3.taylor公式
4.隐函数
5.偏导数在几何中的应用
期末考试
数学分析（iii）
第十二章多元函数的微分学（6—7）7
6.无条件极值
7.条件极值问题与lagrange乘数法
本章教学要求：
掌握多元函数的偏导数与微分的概念，区分它们与一元函数对应概念之间的区别，熟练掌握多元函数与隐函数的求导方法，掌握偏导数在几何上的应用，掌握求多元函数无条件极值与条件极值的方法。
第十三章重积分19
1.有界闭区域上的重积分
2.重积分的性质与计算
3.重积分的变量代换
4.反常重积分
5.微分形式
本章教学要求：
理解重积分的概念，掌握重积分与反常重积分的计算方法，会熟练应用变量代换法计算重积分，了解微分形式的引入在重积分变量代换的表示公式上的应用。
第十四章曲线积分与曲面积分28
1.第一类曲线积分与第一类曲面积分
2.第二类曲线积分与第二类曲面积分
3.green公式，gauss公式和stokes公式
4.微分形式的外微分
5.场论初步
本章教学要求：
掌握二类曲线积分与二类曲面积分的概念与计算方法，掌握green公式，gauss公式和stokes公式的意义与应用，理解外微分的引入在给出green公式，gauss公式和stokes公式统一形式上的意义，对场论知识有一个初步的了解。
第十五章含参变量积分12
1.含参变量的常义积分
2.含参变量的反常积分
本章教学要求：
掌握含参变量常义积分的性质与计算，掌握含参变量反常积分一致收敛的概念、一致收敛的判别法、一致收敛反常积分的性质及其在积分计算中的应用，掌握euler积分的计算与应用。
升级会员 