抽样检验理论分布和抽样分布最全版.docx
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抽样检验理论分布和抽样分布最全版
（抽样检验）理论分布和抽样分布
第四章理论分布和抽样分布
在上章样本分布及其特征的基础上本章将讨论总体的分布及其特征。
首先介绍间断性变数总体的理论分布，包括二项分布和泊松分布；其次介绍连续性变数总体的理论分布，即正态分布；最后介绍从这俩类理论分布中抽出的样本统计数的分布，即抽样分布。
为了说明这些理论分布，必须首先了解概率的基本概念和计算法则。
第壹节事件、概率和随机变量
壹、事件和事件发生的概率
在自然界中壹种事物，常存在几种可能出现的情况，每壹种可能出现的情况称为事件，而每壹个事件出现的可能性称为该事件的概率（probability）。
例如种子可能发芽，也可能不发芽，这就是俩种事件，而发芽的可能性和不发芽的可能性就是对应于俩种事件的概率。
若某特定事件只是可能发生的几种事件中的壹种，这种事件称为随机事件（randomevent），例如抽取壹粒种子，它可能发芽也可能不发芽，这决定于发芽和不发芽的机会（概率），发芽和不发芽这俩种可能性均存在，出现的是这俩种可能性中的壹种。
事件发生的可能性（概率）是在大量的实验中观察得到的，例如棉田发生盲蝽象为害的情况，且不是所有的棉株都受害，随着观察的次数增多，我们对棉株受害可能性程度大小的把握越准确、越稳定。
这里将壹个调查结果列于表4.1。
调查5株时，有2株受害，受害株的频率为40%，调查25株时受害频率为48%，调查100株时受害频率为33%。
能够见出三次调查结果有差异，说明受害频率有波动、不稳定。
而当进壹步扩大调查的单株数时，发现频率比较稳定了，调查500株到2000株的结果是受害棉株稳定在35%左右。
表4.1在相同条件下盲蝽象在某棉田危害程度的调查结果
调查株数（n）
5
25
50
100
200
500
1000
1500
2000
受害株数（a）
2
12
15
33
72
177
351
525
704
棉株受害频率（a/n）
0.40
0.48
0.30
0.33
0.36
0.354
0.351
0.350
0.352
现以n代表调查株数，以a代表受害株数，那么能够计算出受害频率p=a/n。
从棉株受害情况调查结果见，频率在n取不同的值时，尽管调查田块是相同的，频率p却不同，只有在n很大时频率才比较稳定壹致。
因而，调查株数n较多时的稳定频率才能较好地代表棉株受害的可能性。
统计学上用n较大时稳定的p近似代表概率。
然而，正如此试验中出现的情况，尽管频率比较稳定，但仍有较小的数值波动，说明观察的频率只是对棉株受害这个事件的概率的估计。
统计学上通过大量实验而估计的概率称为实验概率或统计概率，
以表示。
此处P代表概率，P（A）代表事件A的概率，P（A）变化的范围为0～1，即0≤P（A）≤1。
随机事件的概率表现了事件的客观统计规律性，它反映了事件在壹次试验中发生可能性的大小，概率大表示事件发生的可能性大，概率小表示事件发生的可能性小。
若事件A发生的概率较小，如小于0.05或0.01，则认为事件A在壹次试验中不太可能发生，这称为小概率事件实际不可能性原理，简称小概率原理。
这里的0.05或0.01称为小概率标准，农业试验研究中通常使用这俩个小概率标准。
除了随机事件外，仍有必然事件和不可能事件，它们是随机事件的特例。
对于壹类事件来说，如在同壹组条件的实现之下必然要发生的，称为必然事件；例如，水在标准大气压下加热到100℃必然沸腾。
相反，如果在同壹组条件的实现之下必然不发生的，称为不可能事件。
例如，水在标准大气压下温度低于100℃时，不可能沸腾。
必然事件和不可能事件发生的概率为1和0。
二、事件间的关系
在实际问题中，不只研究壹个随机事件，而是要研究多个随机事件，这些事件之间又有壹定的联系。
例如，在种子发芽试验中，显然“发芽”和“不发芽”之间是有壹定联系的。
为了表述类似上述事件之间的联系，下面说明事件之间的几种主要关系。
（壹）和事件
事件A和B至少有壹个发生而构成的新事件称为事件A和B的和事件，记为A+B，读作“或A发生，或B发生”。
例如，有壹批种子，包含有能发芽的和不能发芽的。
若A为“取到能发芽种子”，B为“取到不能发芽种子”，则A+B为“或者取到能发芽种子或者取到不能发芽种子”。
事件间的和事件能够推广到多个事件：
事件A1、A2、…、An至少有壹发生而构
成的新事件称为事件A1、A2、…、An的和事件，记为A1+A2+…+An=。
（二）积事件
事件A和B同时发生所构成的新事件称为事件A和B的积事件，记作AB，读作“A和B同时发生或相继发生”。
事件间的积事件也能够推广到多个事件：
事件A1、A2、…、An同
时发生所构成的新事件称为这n个事件的积事件，记作A1A2…An=。
（三）互斥事件
事件A和B不可能同时发生，即AB为不可能事件，记作A·B=V，称事件A和B互斥或互不相容。
例如，有壹袋种子，按种皮分黄色和白色。
若记A为“取到黄色”，B为“取到白色”，显然A和B不可能同时发生，即壹粒种子不可能既为黄色又为白色，说明事件A和B互斥。
这壹定义也能够推广到n个事件。
（四）对立事件
事件A和B不可能同时发生，但必发生其壹，即A+B为必然事件（记为A+B=U），AB为不可能事件（记为A·B=V），则称事件B为事件A的对立事件，且记B为。
例如，上面A为“取到黄色”，B为“取到白色”，A和B不可能同时发生，可是，任意抽取壹粒种子，其皮色不是黄色就是白色，即A和B必发生其壹，因此，A和B互为对立事件。
（五）完全事件系
若事件A1、A2、…、An俩俩互斥，且每次试验结果必发生其壹，则称A1、A2、…、An为完全事件系。
例如，仅有三类花色：
黄色、白色和红色，则取壹朵花，“取到黄色”、“取到白色”和“取到红色”就构成完全事件系。
（六）事件的独立性
若事件A发生和否不影响事件B发生的可能性，则称事件A和事件B相互独立。
例如，事件A为“花的颜色为黄色”，事件B为“产量高”，显然如果花的颜色和产量无关,则事件A和事件B相互独立。
三、计算事件概率的法则
（壹）互斥事件的加法
假定俩互斥事件A和B的概率分别为P（A）和P（B）。
则事件A和B的和事件的概率等于事件A的概率和事件B的概率之和，即P（A+B）=P（A）+P（B）。
加法定理对于多个俩俩互斥的事件也成立：
假定A1、A2、…、Ann个事件彼此间均是俩俩互斥的事件，其概率依次为P（A1），P（A2），…，P（An），则A1，A2到An和事件的概率P（A1+A2+…+An）等于P（A1），P（A2），…，P（An）之和，即P（A1+A2+…+An）=P（A1）+P（A2）+…+P（An）。
例如，壹捆花中红、黄、白花的概率分别为0.2、0.3、0.5，那么我们随机抽取壹朵非白色花的概率为0.5（=0.2+0.3），这只是由加法定理得到的俩个事件概率之和。
（二）独立事件的乘法
假定P（A）和P（B）是俩个独立事件A和B各自出现的概率，则事件A和B同时出现的概率等于俩独立事件出现概率P（A）和P（B）的乘积，即P（AB）=P（A）P（B）
乘法定理对于n个相互独立的事件也成立。
假定P（A1），P（A2），…，P（An）是n个相互独立事件各自出现的概率，则该n个事件同时出现的概率P（A1A2…An）等于各自出现概率之乘积，即P（A1A2…An）=P（A1）P（A2）…P（An）。
现有4粒种子，其中3粒为黄色、1粒为白色，采用复置抽样。
试求下列俩事件的概率：
（A）第壹次抽到黄色、第二次抽到白色；（B）俩次都抽到黄色。
由于采用复置抽样（即每壹次抽出观察结果后又放回再进行下壹次抽样），所以第壹次和第二次的抽样结果间是相互独立的。
采用概率的古典定义，能够求出抽到黄色种子的概率为0.75，抽到白色种子的概率为0.25。
因此，有P（A）=P（第壹次抽到黄色种子）P（第二次抽到白色种子）=0.25×0.75=0.1875，P（B）=P（第壹次黄色种子）P（第二次黄色种子）=0.75×0.75=0.5625。
（三）对立事件的概率
若事件A的概率为P（A），那么其对立事件的概率为：
（四）完全事件系的概率
例如“从10个数字中随机抽得任何壹个数字都能够”这样壹个事件是完全事件系，其概率为1。
（五）非独立事件的乘法
如果事件A和B是非独立的，那么事件A和B同时发生的概率为事件A的概率P（A）乘以事件A发生的情况下事件B发生的概率P（B|A），即：
P（AB）=P（A）P（B|A）
四、随机变量
随机变量是指随机变数所取的某壹个实数值。
用抛硬币试验作例子，硬币落地后只有俩种可能结果：
币值面向上和国徽面向上，用数“1”表示“币值面向上”，用数“0”表示“国徽面向上”。
把0，1作为变量y的取值。
在讨论试验结果时，就能够简单地把抛硬币试验用取值为0，1的变量来表示。
P（y=1）=0.5，P（y=0）=0.5
同理，用“1”表示“能发芽种子”，其概率为p；用“0”表示“不能发芽种子”，其概率为q。
显然p+q=1，则P（y=1）=p，P（y=0）=q=1-p。
用变量y表示水稻产量，若y大于500kg的概率为0.25，大于300kg且等于小于500kg的概率为0.65，等于小于300kg的概率为0.1。
则用变量y的取值范围来表示的试验结果为P（y≤300）=0.10，P（300＜y≤500）=0.65，P（y＞500）=0.25。
对于前俩个例子，当试验只有几个确定的结果，且可壹壹列出，变量y的取值可用实数表示，且y取某壹值时，其概率是确定的，这种类型的变量称为离散型随机变量。
将这种变量的所有可能取值及其对应概率壹壹列出所形成的分布称为离散型随机变量的概率分布：
变量yi
y1
y2
y3
…
yn
概率
P1
P2
P3
…
Pn
也可用函数f（y）表述，称为概率函数。
对于上面水稻产量的例子，变量y的取值仅为壹范围，且y在该范围内取值时，其概率是确定的。
此时取y为壹固定值是无意义的，因为在连续尺度上壹点的概率几乎为0。
这种类型的变量称为连续型随机变量。
对于随机变量，若存在非负可积函数f（y）（-∞＜y＜＋∞），对任意a和b（a＜b）都有
P（a≤y＜b）=
则称y为连续型随机变量（continuousrandomvariate），f（y）称为y的概率密度函数（probabilitydensityfunction）或分布密度（distributiondensity）。
因此，它的分布由密度函数所确定。
若已知密度函数，则通过定积分可求得连续型随机变量在某壹区间的概率。
总之，随机变量可能取得的每壹个实数值或某壹范围的实数值是有壹个相应概率的，这就是所要研究和掌握的规律，这规律称为随机变量的概率分布。
随机变量完整地描述了壹个随机试验，它不仅告诉我们随机试验的所有可能结果，而且告诉我们随机试验各种结果出现的可能性大小。
这样，对随机试验概率分布的研究，就转成了对随机变量的概率分布的研究了。
这里须注意事件发生的可能性和试验结果是不同的，前者是指事件可能发生的概率，后者是指特定试验结果，这种结果可能是概率大的事件发生了，也可能概率小的事件发生了。
概率分布指明了不同事件发生的可能性。
随机变量是用来代表总体的任意数值的，随机变数是随机变量的壹组数据，代表总体的随机样本资料，它可用来估计总体的参数。
第二节二项式分布
壹、二项总体及二项式分布
试验或调查中最常见的壹类随机变数是整个总体的各组或单位能够根据某种性状的出现和否而分为俩组。
例如：
小麦种子发芽和不发芽，大豆子叶色为黄色和青色，调查棉田盲蝽象为害分为受害株和不受害株等等。
这类变数均属间断性随机变数，其总体中包含俩项，即：
非此即彼的俩项，它们构成的总体称为二项总体（binarypopulation）。
为便于研究，通常将二项总体中的“此”事件以变量“1”表示，具概率p；将“彼”事件以变量“0”表示，具概率q。
因而二项总体又称为0、1总体，其概率则显然有：
p+q=1或q=1-p
如果从二项总体抽取n个个体，可能得到y个个体属于“此”，而属于“彼”的个体为n-y。
由于是随机独立地从总体中抽取个体的，每壹次抽取的个体均有可能属于“此”，也可能属于“彼”，那么得到的y个“此”个体的数目可能为0、1、2、…、n个。
此处将y作为间断性资料的变量，y共有n+1种取值，这n+1种取值各有其概率，因而由变量及其概率就构成了壹个分布，这个分布叫做二项式概率分布，简称二项式分布或二项分布（binomialdistribution）。
例如观察施用某种农药后供试5只蚜虫的死亡数目，记“死”为0，记“活”为1，观察结果将出现6种事件，它们是5只全死、4死1活、3死2活、2死3活、1死4活、5只全活，这6种事件构成了壹个完全事件系，但6个事件的概率不同，将完全事件系的总概率1分布到6个事件中去，就是所谓的概率分布。
如果将活的虫数y来代表相应的事件，便得到了关于变量y的概率分布。
下面将给出二项分布的概率计算方法。
二、二项式分布的概率计算方法
已知大豆青子叶色由2对隐性重叠基因控制，2对基因中任壹显性基因都使子叶表现为黄色。
具有壹对基因差异的大豆黄子叶品种和青子叶品种杂交后，F1代表现黄子叶，其F2代按壹对等位基因分离，黄子叶表现显性，黄和青作3∶1比例分离。
这里讨论杂种后代关于黄子叶的粒数（y）这个变量的概率分布，用来说明二项式分布的概率计算。
从遗传学已知，杂种后代F2代按壹对等位基因分离，出现俩种子叶颜色，出现黄色子叶的概率为0.75，出现青色的概率为0.25，这是二项总体的概率分布。
如果从这种总体抽取n粒，那么得到y粒是黄子叶的概率是多少呢？
以二粒荚为例相当于抽取二粒种子，这时全部可能的结果将有四种：
俩粒都是黄的（YY）；第壹次是青的第二次是黄的（GY）；第壹次是黄的第二次是青的（YG）；以及俩粒都是青的（GG）。
现如不考虑种子位次而仅仅考虑种子颜色，则以黄子叶种子数目作概率分布如下（以Y代黄子叶，以G代青子叶）：
豆荚内黄子叶种子数目（y）
0
1
2
合计
（GG）
（YG+GY）
（YY）
豆荚机会数
1
2
1
4
黄子叶种子出现y次的概率P（y）
1/16
6/16
9/16
1
豆荚内黄子叶种子数是壹个随机变数，上述黄子叶种子（y）是豆荚内有二粒种子的随机变数的全部可能值，而P（y）则指其相应概率，这样就列出了出现黄子叶种子的概率分布。
下面说明怎样计算这壹概率分布的。
如果壹个豆荚仅有俩粒种子，这相当于进行俩次重复试验，出现第壹粒种子和出现第二粒种子是互不影响的，因此这俩个事件是独立事件。
出现第壹粒种子是青的概率为1/4，出现第二粒种子仍是青的概率也是1/4，同时俩粒种子都是青的概率应为俩个概率的积，即
P（y=0）
P（y=0）指俩粒都是青的这壹事件的概率。
同样出现俩粒都是黄的概率应为：
P（y=2）
之上计算概率应用了概率乘法法则。
现要知道怎样计算豆荚内壹黄壹青事件的概率呢？
这里须考虑出现壹黄壹青的位次问题。
已知：
P（YG）
=
P（GY）=
=
因为这俩个事件是互斥的，所以出现壹黄壹青事件的概率应为之上俩个事件概率之和。
于是应用概率加法得出
P（y=1）
出现黄子叶种子数量0，1，2三个事件A0，A1，A2构成壹完全事件系，所以
P（A0）+P（A1）+P（A2）
同理，假定壹豆荚内有三粒种子，这时黄、青子叶种子位次的组合就有以下8种可能的试验结果：
，，，
在这8种可能机会可分为四组：
（1）完全没有黄子叶种子的（GGG），记为y=0，相应概率为：
（2）仅有壹粒黄子叶种子的（GGY，GYG，YGG），记为y=1，这时有3种不同组合，每种组合的概率均为。
由于这三个事件都是相互互斥的，所以三种概率之和应为：
（3）具有俩粒黄子叶种子的（YYG，YGY，GYY），记为y=2，这里同样有3种组合，它们是相互互斥的，每种事件的概率为，所以三种事件概率之和应为：
（4）三粒种子均是黄子叶的（YYY），记为y=3，相应概率为：
从之上计算，能够了解每壹复合事件的概率必等于该事件出现的组合数目乘以单个事件的概率；而这壹复合事件的可能组合数目则相当于从n个物体中任取其y个物体的组合数。
数学上的组合公式为：
n相当于豆荚内种子数，y相当于黄子叶种子数。
因此：
（4·1）
例如，y=2，n=3，
二项式中包含俩项，这俩项的概率为p、q，且且（p+q）n=1，由（4·1）可推知变量y的概率函数为：
P（y）=（4·2）
这壹分布律也称贝努里（Bernoulli）分布，且有。
[例4.1]棉田盲蝽象为害的统计概率乃从调查2000株后获得近似值p=0.35。
现受害株事件为A，其概率为p=0.35，未受害株事件为对立事件，其概率q=（1-0.35）=0.65。
这壹试验是能够重复的。
假定做了n次试验，即抽出n株为壹个抽样单位，那么，试问出现有y株是受害的，其概率应有多少？
假定以n=1，即抽出壹株为壹个抽样单位，那么，总体2000个单位中有多少株受害？
多少株未受害？
这里已知P（A）=0.35和=0.65，总体的理论次数分布则以n乘上述概率分布，即np和n（1-p），所以有2000×0.35=700株受害和2000×0.65=1300株未受害。
如调查5株为壹个抽样单位，即n=5，则受害株数y=0，1，2，3，4和5的概率能够计算出来，如表4.2。
棉株受害数乃壹随机变数（y），能够计算变量y相应的概率函数和其累计函数。
表4.2调查单位为5株的概率分布表（p=0.35，q=0.65）
受害株数
概率函数P（y）
P（y）
F（y）
nP（y）
P（0）
0.1160
0.1160
46.40
P
（1）
0.3124
0.4284
124.96
P
（2）
0.3364
0.7648
134.56
P（3）
0.1811
0.9459
72.44
P（4）
0.0488
0.9947
19.52
P（5）
0.0053
1.0000
2.12
如果每次抽5个单株，抽n=400次，则理论上我们能够得到y=2的次数应为：
理论次数=400×P
（2）=400×0.3364=134.56（次）
对于任意y，其理论次数为：
理论次数=nP（y）（4·3）
图4.1和图4.2给出了概率函数图和累积概率函数图。
[例4.2]某种昆虫在某地区的死亡率为40%，即p=0.4，现对这种害虫用壹种新药进行治疗试验，每次抽样10头作为壹组治疗。
试问如新药无疗效，则在10头中死3头、2头、1头，以及全部愈好的概率为多少？
按上述二项分布概率函数式计算：
7头愈好，3头死去概率：
P（3）=（0.40）3（0.60）7=0.21499
8头愈好，2头死去概率：
P
（2）=（0.40）2（0.60）8=0.12093
9头愈好，1头死去概率：
P
（1）=（0.40）1（0.60）9=0.04031
10头全部愈好的概率：
P（0）=（0.40）0（0.60）10=0.00605
若问10头中不超过2头死去的概率为多少？
则应该应用累积函数，即
=P（0）+P
（1）+P
（2）=0.00605+0.04031+0.12093=0.16729
若计算不超过壹头死去的概率则
=P（0）+P
（1）=0.00605+0.04031=0.04636
这壹试验结果说明在100次试验中由于偶然原因（即不加新药治疗）只会出现4.6次，即这壹事件（10头中仅死1头及少于1头的事件）的概率在20次中约只有壹次。
三、二项式分布的形状和参数
受害株数（y）
图4.3棉株受盲椿害的概率函数f（y）图
（p=0.5，n=5株）
上述棉株受害概率如p=1/2，则未受害概率q=（1-p）=1/2，这时受害株的概率分布将表现为p=q的形式。
如图4.1壹样，可绘于图4.3以作比较。
从图4.1和4.3可见出，如p=q，二项式分布呈对称形状，如p≠q，则表现偏斜形状。
但从理论和实践检验，当n很大时即使p≠q，它也接近对称形状。
所以这壹理论分布是由n和p俩个参数决定的。
凡描述壹个总体分布，平均数和方差（或标准差）俩个参数是重要的。
例如抽取5株中受害株数的多少（y）作为统计指标的话，从总体中能够抽取的所有样本均有壹个y，这样所有的y构成了壹个新总体，该总体也属于二项式总体，其平均数、方差和标准差如下式
，，（4·4）
该总体的概率计算方法同于前述的二项式总体，只是由于统计指标的变化，使平均数和标准差有所不同。
例如，上述棉田受害率调查结果，n=5，p=0.35，所以可求得总体参数为：
=5×0.35=1.75株，=株。
之上平均数和标准差系指从二项总体抽出n个个体的样本总和数（个数）分布的平均数和标准差。
如果n适当大，例如，大于30，p值又不过于小，例如不靠近0值，且且np及nq均不少于5时，那么，这个二项式分布将趋近于下面即将介绍的正态分布，具有参数=np和。
四、多项式分布
若总体内包含几种特性或分类标志，能够将总体中的个体分为几类，例如在给某壹人群使用壹种新药，可能有的疗效好，有的没有疗效，而另有疗效为副作用的，象这种将变数资料分为3类或多类的总体称为多项总体，研究其随机变量的概率分布可使用多项式分布（multinomialdistribution）。
设总体中共包含有k项事件，它们的概率分别为p1、p2、p3、…、pk，显然p1+p2+p3+…+pk=1。
若从这种总体随机抽取n个个体，那么可能得到这k项的个数分别为y1、y2、y3、…、yk，显然y1+y2+y3+…+yk=n。
那么得到这样壹个事件的概率应该是什么呢？
根据数学推导，这样壹个事件的概率理论上应为：
（4·5）
这是多项式展开式中任意项（k项）的概率函数，这壹概率分布称为多项式分布。
如果是3项式的概率分布，那么
[例4.3]某药对病人有效的概率为1/2，对病人无效的概率为1/3，有副作用的概率为1/6，若随机抽取2个使用该药的病人，那么我们的结果可能包括这样几种事件：
2个病人有副作用；壹个无效、壹个有副作用；俩个无效；壹个有效、壹个有副作用；壹个有效、壹个无效；俩个均有效。
这几种事件的概率分别为多少呢？
能够使用上述的概率分布公式来计算，如表4.3。
表4.3多项式分布的概率计算
变量
（y1、y2、y3）
概率及其计算
P（y1、y2、y3）
（0，0，2）
（0，1，1）
（0，2，0）
（1，0，1）
（1，1，0）
（2，0，0）
五、泊松分布—二项分布的壹种极限分布
应用上述（4·2）二项分布时，往往遇到壹个概率p或q是很小的值，例如小于0.1，另壹方面n又相当大，这样之上二项分布必将为另壹种分布所接近，或者为壹种极限分布。
这壹种分布称泊松概率分布，简称泊松分布（Poissondistribution）。
如将np=m，则接近分布如下式：
，y=0，1，2，…，∞（4·6）
e=2.71828…为自然对数的底数。
凡在观察次数n（n相当大）中，某壹事件出现的平均次数m（m是壹个定值）很小，那么，这壹事件出现的次数将符合泊松分布。
这壹分布在生物学研究中是经常遇到的，例如，昆虫和植物种类在壹定面积的分布，病菌侵害作物的分布以及原子衰变的规律等随机变数。
泊松分布的平均数、方差和标准差如下式：
，，（4·7）
图4.4不同m值的泊松分布
这壹分布包括壹个参数m，由m的大小决定其分布形状如图4.4。
当m值小时分布呈很偏斜形状，m增大后则逐渐对称，趋近于以下即将介绍的正态分布。
[例
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