广东省深圳市届高三数学二模试题理科及答案.docx

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广东省深圳市届高三数学二模试题理科及答案

广东省深圳市2012届高三数学二模试题（理科）及答案

2012年深圳市高三年级第二次调研考试

数学（理科）2012.4

本试卷共6页，21小题，满分150分．考试用时120分钟．

一、选择题：

本大题共8个小题，每小题5分，共40分．

1．集合{｜}（其中i是虚数单位）中元素的个数是

A．1B．2C．4D．无穷多个

2．设随机变量，若，则c等于

A．0B．1C．2D．3

3．已知命题p：

“存在正实数a,b，使得;lg（a＋b）＝lga＋lgb”；命题q：

“空间两条直线异面的充分必要条件是它们不同在任何一个平面内”．则它们的真假是

A．p，q都是真命题B．p是真命题，q是假命题

C．p，q都是假命题D．p是假命题，q是真命题

4．在学校的一次演讲比赛中，高一、高二、高三分别有1名、2名、3名同学获奖，将这

六名同学排成一排合影，要求同年级的同学相邻，那么不同的排法共有

A．6种B．36种C．72种D．120种

5．设,,，若a，1，b成等比数列，且c，1，d成等差数列，则下列不等式

恒成立的是

6．设函数若f（x）的值域为R，则常数a的取值范围是

7．如图1，直线l和圆c，当l从0开始在平面上绕点O按逆时针方向匀速转动（转动角度不超过900）时，它扫过的圆内阴影部分的面积S是时间t的函数，这个函数的图象大致是

8．如果函数y＝｜x｜－1的图象与方程的曲线恰好有两个不同的公共点，则实数的取值范围是

二、填空题：

本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．

（一）必做题：

第9、10、11、12、13题为必做题．

9．在实数范围内，方程｜x｜＋｜x＋1｜＝1的解集是．

10．某机器零件的俯视图是直径为24mm的圆（包括圆心），主

视图和侧视图完全相同，如图2所示．则该机器零件的体积

是______mm3（结果保留）．

11．已知平面向量a，b满足条件a＋b＝（0,1），a－b＝（－1,2），则ab＝＿＿＿＿＿＿＿

12．执行图3中程序框图表示的算法，若输入m=5533，n=2012，则输出d＝＿＿＿＿＿

（注：

框图中的赋值符号“＝”也可以写成“←”或“：

＝”）

13．某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验．

根据收集到的数据（如下表），由最小二乘法求得回归方程．

现发现表中有一个数据模糊看不清，请你推断出该数据的值为．

（二）选做题：

第14、15题为选做题，考生只能从中选做一题．

14．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，已知直线把曲线

所围成的区域分成面积相等的两部分，则常数a的值是．

15．（几何证明选讲选做题）如图4，AB是圆O的直径，

弦AD和BC相交于点P，连接CD．若∠APB＝120°，

则等于．

三、解答题：

本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．

16．（本小题满分12分）

已知函数

（1）求f（x）的最大值；

（2）设△ABC中，角A、B的对边分别为a、b，若B＝2A，且，

求角C的大小．

17．（本小题满分12分）

深圳市某校中学生篮球队假期集训，集训前共有6个篮球，其中3个是新球（即没有用过的球），3个是旧球（即至少用过一次的球）．每次训练，都从中任意取出2个球，用完后放回．

（1）设第一次训练时取到的新球个数为，求的分布列和数学期望；

（2）求第二次训练时恰好取到一个新球的概率．

18．（本小题满分14分）

如图5，已知正方形ABCD在水平面上的正投影（投影线垂直于投影面）是四边形，其中A与A'重合，且BB'＜DD'＜CC'．

（1）证明AD'//平面BB'C'C，并指出四边形AB'C'D’的形状；

（2）如果四边形中AB'C'D’中，，正方形的边长为，

求平面ABCD与平面AB'C'D’所成的锐二面角的余弦值．

19．（本小题满分14分）

已知数列满足：

，且

（1）求通项公式

（2）设的前n项和为Sn，问：

是否存在正整数m、n，使得

若存在，请求出所有的符合条件的正整数对（m,n），若不存在，请说明理由．

20．（本小题满分14分）

如图6，已知动圆M过定点F（1,0）且与x轴相切，点F关于圆心M的对称点为F'，

动点F’的轨迹为C．

（1）求曲线C的方程；

（2）设是曲线C上的一个定点，过点A任意作两条倾斜角互补的直线，分别与曲线C相交于另外两点P、Q．

①证明：

直线PQ的斜率为定值；

②记曲线C位于P、Q两点之间的那一段为l．若点B在l上，且点B到直线PQ的

距离最大，求点B的坐标．

21．（本小题满分14分）

已知函数f（x）＝x－xlnx，，其中表示函数f（x）在

x＝a处的导数，a为正常数．

（1）求g（x）的单调区间；

（2）对任意的正实数，且，证明：

（3）对任意的

2012年深圳市高三年级第二次调研考试

数学（理科）参考答案及评分标准2012.4

一、选择题：

本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

题号12345678

答案CBACDADB

二、填空题：

本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．

（一）必做题：

第9、10、11、12、13题为必做题．

9．10．11．12．13．

（注：

第9题答案也可以写成，如果写成，不扣分．）

（二）选做题：

第14、15题为选做题，考生只能从中选做一题．

14．（坐标系与参数方程选做题）15．（几何证明选讲选做题）

三、解答题：

本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．

16．（本小题满分12分）

已知函数，．

（1）求的最大值；

（2）设△中，角、的对边分别为、，若且，求角的大小．

解：

（1）……………………2分

．（注：

也可以化为）…4分

所以的最大值为．…………………………………………………………6分

（注：

没有化简或化简过程不全正确，但结论正确，给4分）

（2）因为，由

（1）和正弦定理，得．………………7分

又，所以，即，………………9分

而是三角形的内角，所以，故，，………………11分

所以，，．……………………………………12分

17．（本小题满分12分）

深圳市某校中学生篮球队假期集训，集训前共有6个篮球，其中3个是新球（即没有用过的球），3个是旧球（即至少用过一次的球）．每次训练，都从中任意取出2个球，用完后放回．

（1）设第一次训练时取到的新球个数为，求的分布列和数学期望；

（2）求第二次训练时恰好取到一个新球的概率．

解：

（1）的所有可能取值为0，1，2．………………………………………1分

设“第一次训练时取到个新球（即）”为事件（0，1，2）．因为集训前共有6个篮球，其中3个是新球，3个是旧球，所以

，………………………………………3分

，………………………………………5分

．………………………………………7分

所以的分布列为（注：

不列表，不扣分）

012

的数学期望为．……………………………………8分

（2）设“从6个球中任意取出2个球，恰好取到一个新球”为事件．

则“第二次训练时恰好取到一个新球”就是事件．

而事件、、互斥，

所以，．

由条件概率公式，得

，…………………………………9分

，…………………………………10分

．…………………………………11分

所以，第二次训练时恰好取到一个新球的概率为

．…………………………………12分

18．（本小题满分14分）

如图5，已知正方形在水平面上的正投影（投影线垂直于投影面）是四边形，其中与重合，且．

（1）证明平面，并指出四边形的形状；

（2）如果四边形中，，，正方形的边长为，

求平面与平面所成的锐二面角的余弦值．

证明：

（1）依题意，平面，

平面，

平面，

所以．……………2分

（法1）在上取点，使得，

连结，，如图5－1．

因为，且，

所以是平行四边形，，且．

又是正方形，，且，

所以，且，故是平行四边形，………………………………4分

从而，又平面，平面，

所以平面．………………………………………………………………6分

四边形是平行四边形（注：

只需指出四边形的形状，不必证明）．……7分

（法2）因为，平面，平面，

所以平面．

因为是正方形，所以，又平面，平面，

所以平面．………………………………………………………………4分

而平面，平面，，

所以平面平面，又平面，所以平面．…………6分

四边形是平行四边形（注：

只需指出四边形的形状，不必证明）．……7分

解：

（2）依题意，在Rt△中，，

在Rt△中，，

所以．

（注：

或）………………………………………8分

连结，，如图5－2，

在Rt△中，．

所以，故．……10分

（法1）延长，相交于点，

则，而，所以．

连结，则是平面与平面

的交线．

在平面内作，垂足为，

连结．

因为平面，平面，所以．

从而平面，．

所以是平面与平面所成的一个锐二面角．…………………………12分

在Rt△中，，

在Rt△中，．

所以，

即平面与平面所成的锐二面角的余弦值为．……………………14分

（法2）以为原点，为轴，为轴，为轴，

建立空间直角坐标系（如图5－3），

则平面的一个法向量．

设平面的一个法向量为，

因为，，，

所以，，

而，，

所以且，

即，

取，则，，所以平面的一个法向量为．

（注：

法向量不唯一，可以是与共线的任一非零向量）……………………12分

．

所以平面与平面所成的锐二面角的余弦值为．…………………14分

（法3）由题意，正方形在水平面上的正投影是四边形，

所以平面与平面所成的锐二面角的余弦值．…………………12分

而，，所以，

所以平面与平面所成的锐二面角的余弦值为．…………………14分

19．（本小题满分14分）

已知数列满足：

，，且，．

（1）求通项公式；

（2）设的前项和为，问：

是否存在正整数、，使得？

若存在，请求出所有的符合条件的正整数对，若不存在，请说明理由．

解：

（1）当是奇数时，；当是偶数时，．

所以，当是奇数时，；当是偶数时，．……………………2分

又，，所以，，，…，，…是首项为1，公差为2的等差数列；

，，，…，，…是首项为2，公比为3的等比数列．……………………4分

所以，．………………………………………………6分

（2）由

（1），得

，

．………………………8分

所以，若存在正整数、，使得，则

．………………9分

显然，当时，；

当时，由，整理得．

显然，当时，；

当时，，

所以是符合条件的一个解．……………………………11分

当时，

．…………………………12分

当时，由，整理得，

所以是符合条件的另一个解．

综上所述，所有的符合条件的正整数对，有且仅有和两对．……14分

（注：

如果仅写出符合条件的正整数对和，而没有叙述理由，每得到一组正确的解，给2分，共4分）

20．（本小题满分14分）

如图6，已知动圆过定点且与轴相切，点关于圆心的对称点为，动点的轨迹为．

（1）求曲线的方程；

（2）设是曲线上的一个定点，过点任意作两条倾斜角互补的直线，分别与曲线相交于另外两点、．

①证明：

直线的斜率为定值；

②记曲线位于、两点之间的那一段为．若点在上，且点到直线的距离最大，求点的坐标．

解：

（1）（法1）设，因为点在圆上，

且点关于圆心的对称点为，

所以，…………1分

且圆的直径为．…………2分

由题意，动圆与轴相切，

所以，两边平方整理得：

，

所以曲线的方程为．………………………………………………5分

（法2）因为动圆过定点且与轴相切，所以动圆在轴上方，