数学建模 生产与存贮问题的探讨.docx
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数学建模生产与存贮问题的探讨
生产与存贮问题的探讨
摘要
在一定时期内,生产的成本费与库存费一直是厂家最关心的优化指标。
本文根据题中的条件针对如何在成本费与库存费之和最优的情况下，使总工时最小的问题，利用了多目标动态规划的方法，建立了生产与存储的优化模型。
我们知道增大生产量可以降低成本费，但如果超过市场的需求量,就会因积压增加存贮费而造成损失。
相反，如果减少生产量，虽然可以降低存贮费，但又会增加生产的成本费，同样会造成损失。
故可以找到一个生产计划使得生产的生产费与存贮费之和达到一个最小值,并且使他们所花的工时也最少。
我们根据实际生活中生产的部件的性质可以将生产模式分成两种情况：
允许有缺货的情况和不允许有缺货的情况。
在模型一中,我们假设这种部件是不允许缺货的，于是目标函数为：
在模型二中,我们假设这种部件是可以缺货的，但是我们要求上个月所缺的部件必须要在本月补回来。
如果中间某个月或者是某几个月出现缺货的现象,就会因为有损失费,面对这样的情况时,如果损失费比生产费少的话,对于这种方案公司还是可以考虑,根据这种情况我们可以得到目标函数为：
我们建立的模型一和模型二都是以动态规划为主要解题思路，在模型中我们将生产费与库存费之和赋予0.7的权重值，总耗费工时数赋予0.3的权重值，假设每件产品的单位工时费为10元，每件产品每月的存贮费为20元，每件产品每月的缺货损失费为5元，因为产品的生产量与成本费成反比，设反比系数为S，若生产量为X，则成本费为S/X元，设反比系数S为840。
我们利用Lingo软件求解，在没有缺货存在的条件下得到的最小成本费为5158元，总耗费工时数最少为382小时，一到六月的逐月分配方案为：
745434；在有缺货存在的条件下得到的最小成本费为4960元，总耗费工时数最少为363小时，一到六月的逐月分配方案为：
634338，每月的缺货量为：
021040。
最后我们对模型进行了分析，并得到模型的整体评价和推广前景。
关键词：
允许缺货不允许缺货动态规划灵敏度分析Lingo权重
一、问题重述
一个生产项目，在一定时期内，增大生产量可以降低成本费，但如果超过市场的需求量,就会因积压增加存贮费而造成损失。
相反，如果减少生产量，虽然可以降低存贮费，但又会增加生产的成本费，同样会造成损失.因此，如何正确地制定生产计划，使得在一定时期内,生产的成本费与库存费之和最小，这是厂家最关心的优化指标，这就是生产与存贮问题。
假设某车间每月底都要供应总装车间一定数量的部件。
但由于生产条件的变化，该车间每月生产单位部件所耗费的工时不同，每月的生产量除供本月需要外，剩余部分可存入仓库备用。
今已知半年内，各月份的需求量及生产该部件每单位数所需工时数如下表所示：
月份k
1
2
3
4
5
6
月需求量bk
8
5
3
2
7
4
单位用时ak
11
18
13
17
20
10
设库存容量H=9，开始时库存量为2，期终库存量为0。
要求制定一个半年逐月生产计划，使得既满足需求和库存容量的限制，又使得总耗费工时数最少。
二、问题分析
本题是典型的运筹学当中的动态规划问题。
题目中要求制定一个半年逐月生产计划，使得既满足需求和库存容量的限制，又使得总耗费工时数最少。
考虑到生产的成本费与库存费之和最小是厂家最关心的优化指标，而题目中没有给出相关数据，所以我们增设了有关成本费和库存费的条件来求得最优解。
此外，开始时库存量为2，期终库存量为0。
我们根据实际生活中部件的性质，可以分为允许缺货和不允许缺货两种情况考虑。
前一种情况是：
供货期间某个月或者是某几个月可以出现缺货,但是在它的下个月会补齐；第二种是：
每个月都不能缺货,到最后一个月,全部销售出,没有库存。
我们针对这两种情况建立允许缺货存贮模型和不允许缺货存贮模型展开不同的讨论，进而结合题目要求求出最优解。
三、符号系统
：
第k个月该产品的生产量
：
第k个月该产品的需求量
：
第k个月结束时的产品库存量，则有
：
第k个月生产产品
时的成本费用
：
第k个月结束时有库存量
所需的库存费用
：
每个月最多能生产该产品的上限数
：
每件产品每月的缺货损失费
：
每个月每件产品的单位工时
：
第k个月的工时费
四、模型建立
4.1不允许缺货的存贮模型
4.1.1模型假设
1、每件产品每月的存贮费为常数
2、每件产品单位工时的成本费为常数
3、每个月都不会出现缺货的情况,即生产能力无限大,但最大不超过15件
4、每个月的生产量不为零
4.1.2模型建立
设
为第k个月该产品的需求量，
为第k个月该产品的生产量，
为第k个月结束时的产品库存量，则有
。
为第k个月生产产品
时的成本费用，它包括生产准备成本费
和产品成本
（其中a是单位产品成本）两项费用，即
表示第k个月结束时有库存量
所需的库存费用，
为第k个月的工时费
故第k个月的总成本费用为
，因此，不考虑缺货条件下的数学模型为
用动态规划方法来求解，把它看作一个6阶段决策问题。
令
为状态量，它表示第k个月开始开始时的库存量。
为决策变量，它表示第k个月的生产量。
状态转移方程为
最优值函数
表示从第1个月初始库存量为2到第k个月末库存量为
时的最小总费用。
因此可写出顺序递推关系式为
其中
。
这是因为一方面每个月生产的上限为
；另一方面由于保证供应，故第k-1个月的结束时的库存量
必须非负，即
所以
从边界条件出发，利用上面的递推关系式，对每个k，计算出
中的
在0至
之间的值，最后求得的
即为所求的最小总费用。
4.1.3模型求解
我们假设每件产品的单位工时费为10元，每件产品每月的存贮费为20元，因为产品的生产量与成本费成反比，设反比系数为S，若生产量为X，则成本费为S/X元，设反比系数S为840，则带入模型得到：
用Lingo软件求得的结果如下：
Localoptimalsolutionfound.
Objectivevalue:
3725.200
Extendedsolversteps:
11
Totalsolveriterations:
175
VariableValueReducedCost
X17.000000138.3000
X24.000000150.6500
X35.000000113.3800
X44.000000115.3500
X53.00000094.66662
X64.00000036.24998
RowSlackorSurplusDualPrice
13725.200-1.000000
21.0000000.000000
38.0000000.000000
40.0000000.000000
59.0000000.000000
62.0000000.000000
77.0000000.000000
84.0000000.000000
95.0000000.000000
10-0.6380800E-080.000000
119.0000000.000000
12-0.2648488E-070.000000
根据上述结果，我们计算得到的最小成本费为5158元，总耗费工时数最少为382小时。
4.2允许缺货的存贮模型
4.1.1模型假设
1、生产力大于需求量，允许缺货，但是缺货数量在下次生产时补足，每件产品每月的缺货损失费为
，每个月允许缺货件数为
，j=1,2,...,6
2、每件产品每月的存贮费为常数
3、每件产品单位工时的成本费为常数
4、每个月的生产量不为零
4.1.2模型建立
设
为第k个月该产品的需求量，
为第k个月该产品的生产量，
为第k个月结束时的产品库存量，则有
。
为第k个月生产产品
时的成本费用，
表示第k个月结束时有库存量
所需的库存费用，
为第k个月的工时费，
表示每件产品每月的缺货损失费，故第k个月的总成本费用为
。
每个月的缺货量不能超过本月的需求量，并且最后一个月应该满足其需求，即最后一个月的缺货数量为零。
由于如果这个月缺货，那么在下个月必须补齐，故每个月的存储量应为本月生产量加上本月的缺货数量在减去上个月的缺货数量。
而存储量要受库存限制并且要大于等于零。
因此，在考虑缺货条件下的数学模型为
用动态规划方法来求解，把它看作一个6阶段决策问题。
令
为状态量，它表示第k个月开始开始时的库存量。
为决策变量，它表示第k个月的生产量。
状态转移方程为
最优值函数
表示从第1个月初始库存量为2到第k个月末库存量为
时的最小总费用。
因此可写出顺序递推关系式为
其中
。
这是因为一方面每个月生产的上限为
；另一方面由于保证供应，故第k-1个月的结束时的库存量
必须非负，即
所以
从边界条件出发，利用上面的递推关系式，对每个k，计算出
中的
在0至
之间的值，最后求得的
即为所求的最小总费用。
4.1.3模型求解
我们假设每件产品的单位工时费为10元，每件产品每月的存贮费为20元，每件产品每月的缺货损失费为5元，因为产品的生产量与成本费成反比，设反比系数为S，若生产量为X，则成本费为S/X元，设反比系数S为840，则带入模型得到：
用Lingo软件求得的结果如下：
Localoptimalsolutionfound.
Objectivevalue:
3580.900
Extendedsolversteps:
9
Totalsolveriterations:
228
VariableValueReducedCost
X16.000000116.4667
X23.000000122.0666
X34.000000100.1500
X43.00000086.76662
X53.00000094.66662
X68.00000063.81250
Q10.0000000.000000
Q22.00000017.50000
Q31.00000017.50000
Q40.0000000.000000
Q54.00000017.50000
Q60.0000000.000000
RowSlackorSurplusDualPrice
13580.900-1.000000
20.00000017.50000
39.0000000.000000
40.0000000.000000
59.0000000.000000
60.0000000.000000
79.0000000.000000
80.0000000.000000
99.0000000.000000
100.0000000.000000
119.0000000.000000
120.0000000.000000
130.0000000.000000
148.0000000.000000
152.0000000.000000
163.0000000.000000
171.0000000.000000
182.0000000.000000
190.00000017.50000
202.0000000.000000
214.0000000.000000
223.0000000.000000
230.0000000.000000
根据上述结果，我们计算得到的最小成本费为4960元，总耗费工时数最少为363小时。
五、模型分析
因为模型求解中的每件产品的单位工时费10元，每件产品每月的存贮费20元，每件产品每月的缺货损失费5元，生产量与成本费的反比系数S等于840，都是我们根据以往生活经验假设出来的，数据不具有客观性。
为了对我们假设的数据进行检验，我们用Lingo软件对我们求得的结果进行灵敏度分析。
模型一的灵敏度分析结果：
Rangesinwhichthebasisisunchanged:
ObjectiveCoefficientRanges
CurrentAllowableAllowable
VariableCoefficientIncreaseDecrease
X1NONLINEAR0.00.0
X2NONLINEAR0.00.0
X3NONLINEAR0.00.0
X4NONLINEAR0.00.0
X5NONLINEAR0.00.0
X6NONLINEAR74.68506INFINITY
RighthandSideRanges
RowCurrentAllowableAllowable
RHSIncreaseDecrease
2-6.0000000.00.0
315.00000INFINITY7.514864
4-11.000000.00.0
520.00000INFINITY9.000000
6-14.00000INFINITY1.758773
723.00000INFINITY7.241227
8-16.00000INFINITY3.538191
925.00000INFINITY5.461809
10-23.000000.00.0
1132.00000INFINITY9.000000
1227.000000.00.0
模型二的灵敏度分析结果：
Rangesinwhichthebasisisunchanged:
ObjectiveCoefficientRanges
CurrentAllowableAllowable
VariableCoefficientIncreaseDecrease
X1NONLINEAR52.50000-35.00000
X2NONLINEAR0.00.0
X3NONLINEAR0.00.0
X4NONLINEAR0.00.0
X5NONLINEAR0.00.0
X6NONLINEAR0.00.0
Q117.50000INFINITY52.50000
Q217.500000.00.0
Q317.500000.00.0
Q417.50000INFINITY35.00000
Q517.500000.00.0
RighthandSideRanges
RowCurrentAllowableAllowable
RHSIncreaseDecrease
2-6.0000000.00.0
315.00000INFINITY9.000000
4-11.000002.0565432.943457
520.00000INFINITY9.000000
6-14.000000.94998402.050016
723.00000INFINITY9.000000
8-16.000000.00.0
925.00000INFINITY9.000000
10-23.000004.2565782.743422
1132.00000INFINITY9.000000
1227.000000.00.0
130.00.02.050016
148.000000INFINITY8.000000
150.0INFINITY2.056543
165.000000INFINITY2.943457
170.0INFINITY0.9499840
183.000000INFINITY2.050016
190.00.02.000000
202.000000INFINITY2.000000
210.0INFINITY4.256578
227.000000INFINITY2.743422
六、模型推广
本文中的存贮模型在现实生活中的应用范围很广。
如工厂要定期订购各种原料，存在仓库里供生产之用；商店要成批购进各种商品，放在货柜中以备零售；水库在雨季蓄水，用于旱季的灌溉和航运等等。
存贮模型通常采用动态规划或多目标规划的思想来解决问题。
我们可以将这种建模方法推广到固定资金分配问题、最短路线问题、排序问题、设备更新问题等，具有很好的适用性和一般性。
七、结论
考虑允许缺货和不允许缺货两种情况，我们建立的模型一和模型二都是以动态规划为主要解题思路，在模型中我们将生产费与库存费之和赋予0.7的权重值，总耗费工时数赋予0.3的权重值，假设每件产品的单位工时费为10元，每件产品每月的存贮费为20元，每件产品每月的缺货损失费为5元，因为产品的生产量与成本费成反比，设反比系数为S，若生产量为X，则成本费为S/X元，设反比系数S为840。
在没有缺货存在的条件下得到的最小成本费为5158元，总耗费工时数最少为382小时；在有缺货存在的条件下得到的最小成本费为3990元，总耗费工时数最少为199小时。
两种模型得到的分配结果见下表：
表一：
不允许缺货条件下的生产计划
月份
1
2
3
4
5
6
生产量
7
4
5
4
3
4
表二：
允许缺货条件下的生产计划
月份
1
2
3
4
5
6
生产量
6
3
4
3
3
8
缺货量
0
2
1
0
4
0
八、模型评价
本文中针对允许缺货和不允许缺货两种情况分别建立了动态规划模型。
在模型中，我们找出了生产与存贮问题的递推公式，我们将生产费、库存费和总耗费工时数赋予权重值，利用Lingo软件很快地求出它们的最小值。
这种赋予加权值建立多目标函数的想法可以让我们的结果更客观，更全面，更符合厂家的利益。
但是由于本题中没有给出具体的相关数据，我们采用的许多数据是自己假设的，这会导致模型结果存在误差和一定的局限性。
九、参考文献
[1]周华任《运筹学解题指导》.清华大学出版社，第三版
[2]刁在筠,刘桂真,宿洁,马建华《运筹学》M高等教育出版社,第三版
[3]郑煜，温广玉《数学模型》.东北林业大学出版社
[4]姜启源,叶俊,谢金星《数学模型》M高等教育出版社,第三版
[5]胡波，李明检，廖海兵《生产与存贮模型》
十、附录
10.1不存在缺货的存贮模型Lingo程序代码
model:
min=0.3*（11*x1+18*x2+13*x3+17*x4+20*x5+10*x6）+0.7*（110*x1+180*x2+130*x3+170*x4+200*x5+100*x6+20*（x1-6）+20*（x1+x2-11）+20*（x1+x2+x3-14）+20*（x1+x2+x3+x4-16）+20*（x1+x2+x3+x4+x5-23）+840/x1+840/x2+840/x3+840/x4+840/x5+840/x6）;
6<=x1;x1<=15;
11<=x1+x2;x1+x2<=20;
14<=x1+x2+x3;x1+x2+x3<=23;
16<=x1+x2+x3+x4;x1+x2+x3+x4<=25;
23<=x1+x2+x3+x4+x5;x1+x2+x3+x4+x5<=32;
x1+x2+x3+x4+x5+x6=27;
@GIN（x1）;
@GIN（x2）;
@GIN（x3）;
@GIN（x4）;
@GIN（x5）;
@GIN（x6）;
end
10.2存在缺货的存贮模型Lingo程序代码
model:
min=0.3*（11*x1+18*x2+13*x3+17*x4+20*x5+10*x6）+0.7*（110*x1+180*x2+130*x3+170*x4+200*x5+100*x6+20*（x1+q1-6）+20*（x2+q2+x1-11）+20*（x1+x2+x3+q3-14）+20*（x1+x2+x3+x4+q4-16）+20*（x1+x2+x3+x4+x5+q5-23）+840/x1+840/x2+840/x3+840/x4+840/x5+840/x6+5*（q1+q2+q3+q4+q5））;
6<=x1+q1;x1+q1<=15;
11<=x1+x2+q2;x1+x2+q2<=20;
14<=x1+x2+x3+q3;x1+x2+x3+q3<=23;
16<=x1+x2+x3+x4+q4;x1+x2+x3+x4+q4<=25;
23<=x1+x2+x3+x4+x5+q5;x1+x2+x3+x4+x5+q5<=32;
x1+x2+x3+x4+x5+x6=27;
0<=q1;q1<=8;
0<=q2;q2<=5;
0<=q3;q3<=3;
0<=q4;q4<=2;
0<=q5;q5<=7;
q6=0;
@GIN（x1）;
@GIN（q1）;
@GIN（x2）;
@GIN（q2）;
@GIN（x3）;
@GIN（q3）;
@GIN（x4）;
@GIN（q4）;
@GIN（x5）;
@gIN（q5）;
@GIN（x6）;
@GIN（q6）;
end
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