完整版同济大学弹性力学往年试题doc.docx
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同济大学本科课程期终考试（考查）统一命题纸
A卷
2006—2007学年第一学期
课程名称：
弹性力学课号：
任课教师：
专业年级：
学号：
姓名：
考试（√）考查（）考试（查）日期：
2007年1月22日
出考卷教师签名：
朱合华、许强、王君杰、李遇春、陈尧舜、邹祖军、赖永瑾、蔡永昌
教学管理室主任签名：
．是非题
（认为该题正确，在括号中打
√；该题错误，在括号中打
×。
）（每小题
2分）
1
（1）薄板小挠度弯曲时，体力可以由薄板单位面积内的横向荷载
q来等代。
（）
（2）对于常体力平面问题，若应力函数
（x,y）满足双调和方程
2
2
0，那么由
（x,y）
确定的应力分量必然满足平衡微分方程。
（
）
（3）在求解弹性力学问题时，要谨慎选择逆解法和半逆解法，因为解的方式不同，解的结
果会有所差别。
（
）
（4）如果弹性体几何形状是轴对称时，就可以按轴对称问题进行求解。
（
）
（5）无论是对于单连通杆还是多连通杆，其截面扭矩均满足如下等式：
M2F（x,y）dxdy,其中F（x,y）为扭转应力函数。
（
）
（6）应变协调方程的几何意义是：
物体在变形前是连续的，变形后也是连续的。
（
）
（7）平面应力问题和平面应变问题的应变协调方程相同，但应力协调方程不同。
（
）
（8）对于两种介质组成的弹性体，连续性假定不能满足。
（）
（9）位移变分方程等价于以位移表示的平衡微分方程及以位移表示的静力边界条件。
（
）
（10）三个主应力方向一定是两两垂直的。
（）
2．填空题（在每题的横线上填写必要的词语，以使该题句意完整。
）（共20分，每小题2
分）
（1）
弹性力学是研究弹性体受外界因素作用而产生的
的一门学科。
（2）
平面应力问题的几何特征是：
。
（3）
平衡微分方程则表示物体
的平衡，应力边界条件表示物体
的平衡。
（4）
在通过同一点的所有微分面中，最大正应力所在的平面一定是
。
（5）
弹性力学求解过程中的逆解法和半逆解法的理论基础是：
。
（6）
应力函数x,y
ax4
bx2y2
cy4如果能作为应力函数，其
a,b,c的关系应该
是
。
（7）
轴对称的位移对应的
一定是轴对称的。
（8）
瑞利－里兹法的求解思路是：
首先选择一组带有待定系数的、
满足
的
位移分量，由位移求出应变、应力，得到弹性体的总势能，再对总势能取极值。
（9）克希霍夫的直法线假设是指：
变形前垂直于薄板中面的直线段（法线）在变形后仍保持
为直线，并垂直于变形后的中面，且。
（10）一般说来，经过简化后的平面问题的基本方程有个，但其不为零的应力、
应变和
位移分量有个。
3．分析题（共20分，每题10分）
（1）曲梁的受力情况如图1所示，请写出其应力边界条件（固定端不必写）。
e
P
a
M
θ
x
b
q
y
图1
（2）一点应力张量为
x
xy
xz
0
1
2
yx
y
yz
1
y1
zx
zy
z
2
1
0
已知在经过该点的某一平面上应力矢量为零，求y及该平面的单位法向矢量。
4．计算题（共40分）
（1）图2中楔形体两侧受均布水平压力q作用，求其应力分量（体力为零）。
提示：
设应
力函数为：
r2（AcosB）（10分）
图2
（2）如图
3所示的悬臂梁结构，在自由端作用集中力
P，不计体力，弹性模量为
E，泊松
比为μ，应力函数可取
Axy3
Bxy
Cy2
Dy3，试求应力分量。
（15分）
图3
（3）如图4所示，简支梁受均布荷载
p0和跨中集中荷载
p作用，试用瑞雷－里兹法求解
跨中挠度。
挠度函数表达式分别为：
（1）
wasinx；
（2）w
asinx
bsin3x。
比
L
L
L
较两种挠度函数计算结果间的差异。
（15分）
P
L/2
p0
图4
L
同济大学本科课程期终考试（考查）统一命题纸A卷标准答案
2006—2007学年第一学期
．是非题
（认为该题正确，在括号中打
√；该题错误，在括号中打
×。
）（每小题
2分）
1
（1）薄板小挠度弯曲时，体力可以由薄板单位面积内的横向荷载
q来等代。
（
√）
（2）对于常体力平面问题，若应力函数
（x,y）满足双调和方程
2
2
0，那么由
（x,y）
确定的应力分量必然满足平衡微分方程。
（√）
（3）在求解弹性力学问题时，要谨慎选择逆解法和半逆解法，因为解的方式不同，解的结
果会有所差别。
（×）
（4）如果弹性体几何形状是轴对称时，就可以按轴对称问题进行求解。
（×）
（5）无论是对于单连通杆还是多连通杆，其载面扭矩均满足如下等式：
M
2F（x,y）dxdy,其中F（x,y）为扭转应力函数。
（×）
（6）应变协调方程的几何意义是：
物体在变形前是连续的，变形后也是连续的。
（√）
（7）平面应力问题和平面应变问题的应变协调方程相同，但应力协调方程不同。
（√）
（8）对于两种介质组成的弹性体，连续性假定不能满足。
（
×）
（9）位移变分方程等价于以位移表示的平衡微分方程及以位移表示的静力边界条件。
（√）
（10）三个主应力方向一定是两两垂直的。
（
×）
2．填空题（在每题的横线上填写必要的词语，以使该题句意完整。
）（共20分，每小题2
分）
（1）
弹性力学是研究弹性体受外界因素作用而产生的
应力、应变和位移
的一门学科。
（2）
平面应力问题的几何特征是：
物体在一个方向的尺寸远小于另两个方向的尺寸
。
（3）
平衡微分方程则表示物体
内部的平衡，应力边界条件表示物体
边界的平衡。
（4）
在通过同一点的所有微分面中，最大正应力所在的平面一定是
主平面。
（5）
弹性力学求解过程中的逆解法和半逆解法的理论基础是：
解的唯一性定律
。
（6）
应力函数x,yax4
bx2y2
cy4如果能作为应力函数，其
a,b,c的关系应该是
3ab3c0。
（7）轴对称的位移对应的几何形状和受力一定是轴对称的。
（8）瑞利－里兹法的求解思路是：
首先选择一组带有待定系数的、满足位移边界条件或几何可能的位移分量，由位移求出应变、应力，得到弹性体的总势能，再对总势能取极值。
（9）克希霍夫的直法线假设是指：
变形前垂直于薄板中面的直线段（法线）在变形后仍保持
为直线，并垂直于变形后的中面，且长度不变。
（10）一般说来，经过简化后的平面问题的基本方程有8个，但其不为零的应力、应变和位移
分量有9个。
3．分析题（共20分，每题10分）
（1）
主要边界：
rr
a0,
rra0,
rrb0,rrb
次要边界：
b
0dr
Psin
a
b
0dr
Pcos
a
r
b
0rdr
Pesin
M
a
q
（2）一点的应力张量与该点的任意斜面上各应力分量的关系为：
Xxlxymxzn
Yyxlymyzn
Zzxlzymzn
及l2
m2
n2
1
故有
m
2n
0
l
ym
n0
2l
m
0
及l2
m2
n2
1
解得：
m2n,ln,2（y1）n0
Qn2
1
0,
6
y
1
由此得：
1
1
1
y
1,vle1me2ne3
6e1
6e2
6e3
4．计算题（共40分）
（1）解：
极坐标下的应力分量为：
1
1
2
Acos2B
r
r22
rr
2
r2
2（AcosB）
r
1
（）Asin
rr
应力边界条件为：
qcos
rmqsin
将应力分量代入边界条件，可解得：
1
Aq,Bqcos
2
所以应力分量解答为：
rq（coscos）
q（cos2cos）
rqsin
（2）解：
由题可知，体力X=0，Y=0，且为弹性力学平面应力问题。
1）、本题所设应力函数满足双调和方程：
2
2
0
（a）
2）、应力分量为：
2
x
y
2
Xx
6Axy2C
6Dy
2
y
x
2
Yy
0
2
B3Ay2
xy
xy
3）、用应力边界条件求待定常数A、B、C、D：
应力边界条件，在上、下表面y2a处，必须精确满足：
（y）y2a0,（xy）y2a0
则有：
（b）
（c）
B
12Aa2
0
（d）
X=0的左边界为次要边界，利用圣维南原理则有：
2a
x）x0dy
Psin
X方向力的等效：
（
；
2a
对0点的力矩等效：
2a
（
x）x0ydy
Pasin；
2a
2a
xy）x0dy
Y方向力的等效：
（
Pcos
。
2a
将式（b）代入上式得：
8Ca
Psin
32Da3
Pasin
（e）
4Ba
16Aa3
Pcos
联立式（d）和式（e），解得：
P
3P
P
P
A
32a3cos,
B
8a
cos
C
8a
sin,D
32a2sin；
（4）、应力分量为：
x
3P
3xycos
Psin（1
3
y）,
y0,xy
3P
cos
（
1
2y2
1）
16a
4a
4a
8a
4a
（3）解：
1）挠度函数取为：
（1）
v
asin
x
L
梁的总势能为
EIL
2
L
L
EI4
L
d2v
dx
p（x）vdx
a
2
2
（
dx
2）
Pv（
）
3
2p0aPa
0
0
2
4L
对总势能求驻值
0
EI4
a
2p0L
P
a
2L3
得
a
4p0L4
2PL3
5EI
4EI
回代即得梁的挠度函数
v
2L3（2P0L
P）
sin
x
5EI
L
令x
l
2，则有跨中挠度
L
）
a
4p0L4
2PL3
v（
5EI
4EI
2
2）挠度函数取为：
v
x
bsin
3x
asin
L
L
梁的总势能为
EIL
2
L
L
d2v
dx
p（x）vdx
）
2
（
dx
2）
Pv（
0
0
2
EI
4
a2
81b2
2p0
La
3b
Pa
b
3
4L
对总势能求驻值
EI
4
2p0L
a
2L3
a
P
0
EI
4
81b
2p0L
P0
b
2L3
3
得
a
4p0L4
2PL3
5EI
4EI
b
4p0L4
2PL3
243
5EI81
4EI
回代并令xL2，即得梁的跨中挠度
L
968p0L4
164PL3
v（）
ab
5EI
814EI
2
243
两种挠度函数假定下相差为b。
完毕
同济大学本科课程期终考试（考查）统一命题纸B卷
2006—2007学年第一学期
课程名称：
弹性力学课号：
任课教师：
专业年级：
学号：
姓名：
考试（√）考查（）考试（查）日期：
2007年1月22日
出考卷教师签名：
朱合华、许强、王君杰、李遇春、陈尧舜、邹祖军、赖永瑾、蔡永昌
教学管理室主任签名：
1、图1中楔形体顶端受水平集中力P作用，求其应力分量（体力为零）。
提示：
设应力函
数为：
r（AcosBsin）（20分）
图1
2、如图2所示的悬臂梁结构，在自由端有一个微小的垂直位移，不计体力，弹性模量为
E，泊松比为μ，应力函数可取Axy3Bxy，试求应力分量。
（20分）
图2
3、图3所示悬臂梁，截面抗弯刚度EI，梁长L，竖向弹簧刚度k；悬臂端受集中荷载F作用。
试用瑞雷－李兹法求解悬臂端挠度和固定端弯矩。
提示：
梁的挠度函数可选为：
vB11cos
x
（20分）
2l
F
EI
k
L
图3
4、图4所示材料密度为ρ的三角形截面坝体，一侧受静水压力，水的密度为ρ1，另一侧自由。
设坝中应力状态为平面应力状态：
xaxby,ycxdy,xyexfy
请利用平衡方程和边界条件确定常数
a,b,c,d,e和f。
（20分）
x
β
ρ1gy
ρ
y
图4
5、如图5所示的半无限平面，证明应力
q
r
A
1Bsin2
x
2
r
A
1Bsin2
2
y
r
Asin2
为本问题的解答。
（20分）图5
同济大学本科课程期终考试（考查）统一命题纸B卷标准答案
2006—2007学年第一学期
1、解：
极坐标下的应力分量为：
1
1
2
r
rr
r2
2
2
2
r
（BcosAsin）
r2
0
r
1
（）0
两斜面应力边界条件为：
r
0
自动满足
0
由隔离体平衡条件：
X0:
rrdcos0
Y0:
rrdsinP0
将应力分量代入上面二式，可解得：
所以应力分量解答为：
r
A
P
B0
2
sin2
2Psin
0,r
0
r（2
sin2）
2、解：
由题可知，体力X=0，Y=0，（v）
1）、本题所设应力函数满足双调和方程：
2）、应力分量为：
x0且为平面应力问题。
y0
22
0（a）
2
x
2
Xx
6Axy
y
2
y
2
Yy
0
（b）
x
2
xy
B3Ay2
xy
3）、由物理方程得应变分量为：
x
1（
x
y）
6Axy
E
E
1
x）
6
xy
y
（
y
A
E
E
xy
2（1
）
xy
2（1
）B
6
（1）Ay2
E
E
E
4）、由几何方程得出位移分量为：
u
x
6
Axy
x
E
v
y
6A
xy
y
E
u
v
xy
2（1
）B
6
（1）Ay2
y
x
E
E
由式（d）的前两式积分得：
u3Ax2yf1（y）
E
v3Axy2f2（x）
E
将上式（e）代入式（d）的第三式，整理得：
f2（x）
3Ax2
f1
（y）
3
（2）Ay2
2
（1）B
E
E
E
欲使上式恒等地成立，只能令
f2
（x）
3
Ax2
a
E
f1
（y）
3（2
）Ay2
b
E
其中，常数a，b满足
ab
2
（1）B
E
解式（g）得：
f2（x）
1Ax3
ax
C2
E
f1（y）
（2
）Ay3
byC1
E
（c）
（d）
（e）
（f）
（g）
（h）
（i）
则位移分量为：
u
3Ax2y
（2
）Ay3
byC1
E
E
v
3Axy2
1Ax3
axC2
E
E
5）、由应力边界条件和位移边界条件求待定常数
A、B、C1、C2和a、b：
应力边界条件，在上、下表面
h
y
处，必须精确满足：
2
（
y）
h
0,
（xy）
h
0
y
y
2
2
则有：
B
3Ah2
0
4
位移边界条件，
（v）x0
，（u）xL
0，（v）x
L
0，（v）xL
0则有：
y0
y0
y
0
x
y0
C2
C10
1AL3
aL
0
E
3
AL2
a
0
E
联立解式（l）、式（h）和式（m）得：
（j）
（k）
（l）
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