初中数学竞赛专题选讲 函数的图象含答案.docx

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初中数学竞赛专题选讲函数的图象含答案

初中数学竞赛专题选讲（初三.17）

函数的图象

一、内容提要

1.函数的图象定义：

在直角坐标系中，以自变量x为横坐标和以它的函数y的对应值为纵坐标的点的集合，叫做函数y=f（x）的图象.

例如一次函数y=kx+b（k,b是常数，k≠0）的图象是一条直线l.

1l上的任一点p0（x0,y0）的坐标，适合等式y=kx+b,即y0=kx0+b；

2若y1=kx1+b，则点p1（x1,y1）在直线l上.

2.方程的图象：

我们把y=kx+b看作是关于x,　y的二元

一次方程kx－y+b=0,　那么直线l就是以这个方程的解为坐标

的点的集合，我们把这条直线叫做二元一次方程的图象.

二元一次方程ax+by+c=0（a,b,c是常数，a≠0,b≠0）叫做直线方程.

　一般地，在直角坐标系中，如果某曲线是以某二元方程的解为坐标的点的集合，那么这曲线就叫做这个方程的图象.　例如：

二元二次方程y=ax2+bx+c（a≠0）（即二次函数）的图象是抛物线；

二元分式方程y=（k≠0）（即反比例函数）的图象是双曲线.

3.函数的图象能直观地反映自变量x与函数y的对应规律.　例如：

1由图象的最高，最低点可看函数的最大，最小值；

2由图象的上升，下降反映函数y是随x的增大而增大（或减小）；

3函数y=f（x）的图象在横轴的上方，下方或轴上，分别表示y>0,y<0,y=0.图象所对应的横坐标就是不等式f（x）>0,f（x）<0的解集和方程f（x）=0的解.

4两个函数图象的交点坐标，就是这两个图象所表示的两个方程（即函数解析式）的公共解.等等

4.画函数图象一般是：

①应先确定自变量的取值范围.　要使代数式有意义，并使代数式所表示的实际问题有意义，还要注意是否连续，是否有界.

②一般用描点法，但对一次函数（二元一次方程）的图象，因它是直线（包括射线、线段），所以可采用两点法.线段一定要画出端点（包括临界点）.

③对含有绝对值符号（或其他特殊符号）的解析式，应按定义对自变量分区讨论，写成几个解析式.

二、例题

例1.　右图是二次函数y=ax2+bx+c　（a≠0），

试决定a,　b,　c及b2－4ac的符号.

解：

∵抛物线开口向下，　　　∴a<0.

∵对称轴在原点右边，∴x=－>0且a<0,∴b>0.

∵抛物线与纵轴的交点在正半轴上，　　∴截距c>0.

∵抛物线与横轴有两个交点，　　　∴b2－4ac>0.

例2.已知：

抛物线f：

y=－（x－2）2+5.　

试写出把f向左平行移动2个单位后，所得的曲线f1的方程；以及f关于x轴对称的曲线f2的方程.　画出f1和f2的略图，并求：

（1）x的值什么范围，曲线f1和f2都是下降的；

（2）x的值在什么范围，曲线f1和f2围成一个封闭图形；

（3）求在f1和f2围成封闭图形上，平行于y轴的线段的长度的最大值.

解：

f1　：

y=－x2+5　（由顶点横坐标变化确定的），

f2：

y=（x－2）2－5（由开口方向相反确定的）.

（1）当x≥0时，f1下降，

当x≤2时，f2下降，

∴当0≤x≤2时，曲线f1和f2都是下降的.

（2）求两曲线的交点横坐标，

即解方程组

x2－2x－3=0.

∴x=－1；或x=3.

　　∴当－1≤x≤3时，曲线f1和f2围成一个封闭图形.

（3）封闭图形上，平行于y轴的线段的长度，

就是对应于同一个横坐标，两曲线上的点

的纵坐标的差.

在区间–1≤x≤3内，

设f1上的点P1（x,y1）,　f2上的点P2（x,y2），

求y1－y2的最大值，可用配方法：

y1－y2　＝　（－x2+5）－[（x－2）2－5]

＝－2x2+4x+6　

＝－2（x－1）2+8.

　　　　∵－2<0，　　　　∴y1－y2有最大值.

当x=1时，y1－y2的值最大是8.

即线段长度的最大值是8.

例3.　画函数y=的图象.

解：

自变量x的取值范围是全体实数，下面分区讨论：

当x<－1时，　　　y=－（x+1）－（x－2）=－2x+1；

当－1≤x<2时，　　y=x+1－（x－2）=3；

当x≥2时，　　　y=x+1+x－2=2x－1.

　　　　　　即y==

x

…

－2

－1

2

3

…

y=－2x+1（x<－1）

…

5

3

y=3（－1≤x<2）

3

3

y=2x－1（x≥2）

3

5

…

　　∴　画函数y=的图象如下图：

例4.画方程[x]2+[y]2=1的图象，[m]表示不超过m的最大整数.

解：

∵[x]2≥0，　且　　[y]2=1－[x]2≥0，　　

∴[x]2≤1.

　∴0≤[x]2≤1.

∵[m]表示不超过m的最大整数，

∴当[x]2=0[x]=00≤x≤1.

当[x]2=1[x]=

自变量x的取值范围是：

－1≤x<2.

x

－1≤x<0

0≤x<1

1≤x<2

[x]

－1

0

1

[x]2

1

0

1

[y]2=1－[x]2

0

1

0

[y]

0

－1

1

0

y

0≤y<1

－1≤y<0

1≤y<2

0≤y<1

如图阴影部分的四个正方形，

就是所求方程的图象.

只包括各正方形左、下边界，

不包括各正方形右、上边界.

例5.　直线y=x+m与双曲线y=在第一象限相交点A，SRt△AOB=3.

1求m的值；

②设直线与x轴交于点C，求点C的坐标；　

③求S△ABC.

解：

①设A坐标为　（x,　x+m）.

∵S△AOB=OB×BA.

∴

整理得　

∴m=6

②∵直线与x轴交于点C.

把y=0代入y=x+6得x=－6,

∴点C的坐标是（－6，0）

③∵直线y=x+m与双曲线y=在第一象限相交点A，

解方程组　　　得

即点A的坐标是　（－3+，3+）.

∴BC==3+

∴S△ABC=（3+）（3+）=12+3.

例6.选择题（只有一个正大确的答案）.

①函数y=kx+k与y=在同一坐标系中的图象的大体位置是　（）

②函数y=1－的图象是（　）

解：

①常数k是同一个值，.双曲线y=　在一、三象限，k>0,　那么y=kx+k中，

当k>0时，直线上升且在y轴上的截距为正.　所以应选　（D）；

　　　②注意到y=1－中，当x=0和x=1时y有最大值1，故选　（A）.

三、练习

1.填空：

1横坐标为－2的点的集合，记作直线＿＿＿＿＿，纵轴记作直线＿＿＿＿＿＿，

横轴记作直线＿＿＿，横坐标与纵坐标互为相反数的点的集合是直线＿＿＿＿＿＿，

经过一、三象限，平分两坐标轴夹角的直线记作方程＿＿＿＿＿＿＿.

②点P（x,　y）关于横轴的对称点P1的坐标是（　　　　），点P关于原点的对称

点P2的坐标是（　　　　）.

③　f：

y=3（x－2）2+5,关于横轴对称的抛物线f1记作＿＿＿＿＿＿＿

f关于原点对称的抛物线f2记作＿＿＿＿＿＿＿.

4A（1，3）关于直线y=x的对称点A，的坐标是（　　　）.

点B（－2，3）关于直线y=－x的对称点B，的坐标是（　　　　）.

2.根据图象位置判断指定的常数的符号

1直线y=kx+b经过二、一、四象限，则k,b的符号是＿＿＿＿＿＿

2抛物线y=ax2+bx+c的位置，如图所示，试确定下列代数式的符号　

a__,－______,b______,c_______,

b2－4ac______,

______

_____

3.选择题（只有一个正确的答案）

（1）下图

（1）是一次函数px+qy+r=0的图象，下列条件正确的是（　　　）.

（A）p=q,　r=0.　　（B）p=－q,　r=0.　　（C）p=q,　r=1.　　（D）p=－q,r=1.

（2）下图

（2）是二次函数y=ax2+bx+c的图象，如下答案哪个正确？

（　　　）

（A）a+b+c=0.　　（B）a+b+c<0.　　（C）a+b+c>0.　　（D）a+b+c值不定.

（1）

（3）二次函数y=a（x+m）2+n中，a>0,m>0,n>0它的图象（　　）

（4）两个一次函数y=mx+ny=nx+m且mn<0,那么它们在同一坐标系内的图象大致为（　　　）

（D）

（5）在同一坐标系内，y=ax+b与y=ax2+b的图象大体位置是（　　　）

（6）已知函数y+ax+b和y=ax2+bx+c那么它们的图象是（　　）

4.　画下列函数的图象

①y=；　②y=；　③y=（）2；　④　y=－.

5.　有m部同样的机器，同时开始工作，需要m小时完成某项任务.设由x部机器完成某一任务，求所需的时间y（小时）与机器台数x（x为小于m的整数）的函数关系，并画出当m=5时函数的图象.

6.　画如下方程、函数的图象.①；②y=x2－2|x|－3.

7.　这是一张追及图看图回答：

　①　谁追及谁？

　　　　　　　　　　　　　②　谁早出发，早几小时？

　　　　　　　　　　　　　③　甲、乙在这段路程速度各多少？

　　　　　　　　　　　　　④　追的人从出发到追上，用了几小时？

走多少路程？

　　　　　　　　　　　　　⑤　分别列出甲、乙两人的路程y甲，y乙和时间x的函数关系的解析式.

8.　如图，抛物线L1：

y=ax2+2bx+c和抛物线L2：

y=（a+1）x2+2（b+2）x+c+3的位置如图所示.①.判断哪条抛物线经过A、B、C三点，说明理由；

②.求出点B和点C的横坐标；

③.若AB＝BC，OC＝OD，求a,　b,　c的值.

9.　坐标平面上，纵坐标与横坐标都是整数的格点（整点），试在二次函数y=

的图象上找出满足y的所有整点（x,y）,并说明理由.

参考答案

1.　①x=－2,　x=0,　y=0,　y=－x,　y=x；　　②（x,y）,（－x,－y）；　　　　　　　　　　　③y=－3（x－2）2－5,　　y=－3（x+2）2－5　　　④（3，1），（－3，2）　　　　　　　

2.　　①k<0,　b>0.　　②正，负，正，负，负，正，负.

3.　①（A），　②（B），　③（B），　④（C），　⑤（D），　⑥（C）　　　　　　　　　　　

4.　　①∵x≠0，∴图象不以过原点；②　y≥0；③x≥0；④　y≤0.

5.　y=（x是正整数x≤m=5）.

6.　（如图）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

7.　①乙追及甲；　②甲先1小时；　③时速甲4、乙5千米；　　　　　　　　　　　　　　④乙用4小时追上甲先走的4千米　　⑤y甲=4x,y乙=5x　　　　　　　　　　　

8.　①∵由图象a,a+1异号，∴L2过A，B，C三点.　　②－3，－1.　③－，0，.

9.　（2，2），（4，3），（7，6），（9，9），（－3，3），（－6，6）.　　

由x2－x+18≤10.

当x≥0时，x2－x+18≤10x,x2－11x+18≤0,（x－2）（x－9）≤0，

2≤x≤9,　这时，有4个整数点：

（2，2），（4，3），（7，6），（9，9）；

当x<0时，x