三角形及平行四边形知识点复习.docx
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三角形及平行四边形知识点复习
第一章三角形的证明
1.1等腰三角形
知识点：
（1）平行线的判定公理：
①，两直线平行.
②，两直线平行.③，两直线平行.
（2）平行线的性质公理：
①两直线平行，.
②两直线平行，.③两直线平行，.
（3）全等三角形的判定公理：
（4）全等三角形的性质：
全等三角形的对应边，对应角.
（5）等腰三角形的性质：
①等边对；②等角对。
③“合一”：
（6）等边三角形：
①②
③
1.如图，已知：
∥
，AB=CD，若要使△ABE≌△CDF,仍需
添加一个条件，下列条件中，哪一个不能使△ABE≌△CDF的是（）
A.∠A=∠B;B.BF=CE;C.AE∥DF;D.AE=DF.
2.如果等腰三角形的一个内角等于500则其余两角的度数为.
3.
（1）如果等腰三角形的一条边长为3，另一边长为5，则它的周长为.
（2）等腰三角形的周长为13cm，其中一边长为3cm，则该等腰三角形的腰长为.
4.如图，在△ABC中，AB=AC,∠BAC=1200,AD=BD，AE=CE，△ADE是三角形.
5.如图，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交与点O，若AB=12，AC=18，BC=24，则△ABC的周长为（）A.30B.36C.39D.42
6.判断：
（1）Rt△中，直角边是斜边的一半.（）
（2）有一个角是600的三角形是等边△.（）
7.在Rt△ABC中，∠ACB=900，∠A=300，CD⊥AB，BD=1，则AB=.
8.在△ABC中，AB=AC,∠BAC=1200,D是BC的中点，DE⊥AC,则AE:
EC=.
9.如图，在Rt△ABC中，∠C=900,沿B点的一条直线BE折叠△ABC，使点C恰好落在AB的中点D处，则∠A=.
9题
中考真题：
10.已知：
如图，△ABC中，BC⊥AC，DE⊥AC，点D是AB的中点，∠A=300，DE=1.8，则AB=.
11.如图，△ABC中，AB=AC,且BD=BC=AD，则∠A=.
12.如图，已知D、E在△ABC的边BC上,AB=AC,AD=AE,求证:
BD=CE
12题
13.在△ABC中，AD是角平分线,DE⊥AB,DF⊥AC，试猜想EF与AD之间有什么关系?
并证明。
14.已知：
如图，△ABC中，AD是高，CE是中线，DC=BE,DG⊥CE,G是垂足，求证：
（1）G是CE中点.
（2）∠B=2∠BCE.
15.如图，△ABC中，D.E分别是AC.AB上的点，BD与CE相交于点O，给出
下列四个条件
∠EBO=∠DCO；
∠BEO=∠CDO；
BE=CD;
OB=OC,
上述四个条件中，哪两个条件可判定是等腰三角形，请你写出一种情形，
并加以证明.
1.2直角三角形
知识点：
1.勾股定理：
_____________________________;
2.勾股定理的逆定理：
3.互逆命题：
一个命的条件和结论分别是另一个命题的__________和__________.
练习1.下列长度的三条线段能构成直角三角形的是（）
①8，15，17②4，5，6③7，5.4，8.5④24，25，7⑤5，8，10
A：
①②④B：
②④⑤C：
①③⑤D：
①③④
2.以下命题的逆命题属于假命题的是（）
A.两底角相等的三角形是等腰三角形.B.全等三角形的对应角相等.
C.两直线平行，内错角相等.D.直角三角形两锐角互余.
3.命题：
等腰三角形两腰上的高相等的逆命题是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.
4.若一个直角两直角边之比为3：
4，斜边长20CM，则两直角边为.
5.已知直角三角形两直角边长分别为6和8，则斜边长为_______，斜边上的高为_______.
6.台风过后，某小学旗杆在B处断裂，旗杆顶A落在离旗杆底部C点8M处，已知旗杆原长16M，则旗杆在距底部米处断裂.
7.小明将长2.5M的梯子斜靠在竖直的墙上，这时梯子底端B到墙
根C的距离是0.7M，如果梯子的顶端垂直下滑0.4M，那么梯子的底
端B将向外移动米.
8.如图已知∠ACB=∠BDA=90°，要使△ACB≌△BDA，还需要一个条件：
9.下列各选项中的两个直角三角形不一定全等的是（）
A.两条直角边对应相等的两个直角三角形.B.两个锐角对应相等的两个直角三角形.
C.斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形.
D.有一个锐角及这个锐角的对边对应相等的两个直角三角形全等.
10.下列命题中，假命题是（）
A．三内角度数比为1：
3：
4的三角形是Rt
.B．三内角度数比为1：
3：
2的三角形是Rt
.
C．三边长比为
的三角形是Rt
.D．三边长比为
的三角形是Rt
.
11.命题：
若A＞B，则A2＞B2的逆命题是__________________________.
中考真题：
12.如图，点O是矩形ABCD的中心，E是AB上的点，沿CE折叠后，点B恰好与点O重合，若BC=3，则折痕CE的长为（ ）
13.用四个全等的直角三角形拼成了一个如图所示的图形，其中
a表示较短，直角三角形，b表示较长的直角边，c表示斜边，你能用这个
图形证明勾股定理吗？
1.3线段的垂直平分线
知识点：
1.线段的垂直平分线：
__________________________.
2.线段的垂直平分线的性质：
线段的垂直平分线上的点到这条线段的
3.定理：
三角形三条边的垂直平分线相交于，这一点到三个顶点的距离.
练习：
1.已知：
线段AB及一点P，PA=PB，则点P在上.
2.已知：
如图，∠BAC=1200,AB=AC,AC的垂直平分线交BC于D则∠ADC=.
第4题
第6题
第7题
3.△ABC中，∠A=500，AB=AC，AB的垂直平分线交AC于D则∠DBC的度数.
4.△ABC中，DE.FG分别是边AB.AC垂直平分线，则∠B∠BAE，∠C∠GAF，
若∠BAC=1260，则∠EAG=.
5.如图，△ABC中，AB=AC=17，BC=16，DE垂直平分AB，则△BCD的周长是.
6.在三角形内部，有一点P到三角形三个顶点的距离相等，则点P一定是（）
A.三角形三条角平分线的交点；B.三角形三条垂直平分线的交点；
C.三角形三条中线的交点；D.三角形三条高的交点.
7.等腰Rt△ABC中，AB=AC，BC=a,其斜边上的中线与一腰的垂直平分线交于点O，则点O到三角形三个顶点的距离是.
8.用尺规作出右图已知线段AB的垂直平分线CD：
9.已知线段a.b，求作以a为底，以b为高的等腰三角形.
10.有特大城市A及两个小城市B.C，这三个城市共建一个污水处理厂，使得该厂到B.C两城市的距离相等，且使A市到厂的管线最短，试确定污水处理厂的位置.
中考真题：
11已知：
如图，DE是△ABC的AB边的垂直平分线，分别交AB.BC于D.E，AE平分∠BAC，若∠B=300，求∠C
12．（2013•铜仁地区）如图，△ABC和△ADE都是等腰三角形，且∠BAC=90°，∠DAE=90°，B，C，D在同一条直线上．求证：
BD=CE．
13.如图在△ABC中，AD是∠BAC平分线,AD的垂直平分线分别交AB、BC延长线于F、E
求证：
（1）∠EAD=∠EDA;
（2）DF∥AC；★（3）∠EAC=∠B
14.
（1）如图，在△ABC中，∠A=400,O是AB.AC的垂直平分线的交点，求∠OCB的度数；
（2）如果将
（1）中的的∠A度数改为700，其余的条件不变，再求∠OCB的度数；
（3）如果将
（1）中的的∠A度数改为锐角a，其余的条件不变，再求∠OCB的度数.你发现了什么规律？
请证明；
（4）如果将
（1）中的的∠A度数改为钝角a，其余的条件不变，是否还存在同样的规律？
你又发现了什么？
1.4角平分线
知识点：
1.角平分线的性质：
2.定理：
三角形的三条角平分线交于点，并且这一点到三条边的距离.
3.引申：
三角形的三条角平分线交于一点，若设这一点到其中一边的距离为m，三边长分别为a.b.c，则三角形的面积S=.
练习1.已知：
△ABC中，BP.CP分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，且交于P,若P到边AB的距离为3cm，△ABC的周长为18cm，则△ABC的面积为.
2.到三角形三边距离相等的点是（）
A.三条中线的交点；B.三条高的交点；C.三条角平分线的交点；D.不能确定
3.到一个角的两边距离相等的点在.
4.△ABC中，∠C=900,∠A的平分线交BC于D，BC=21cm，BD:
DC=4:
3，则D到AB的
距离为.
5.Rt△ABC中，AB=AC，BD平分∠ABC，DE⊥BC
于E，AB=8cm，则DE+DC=cm.
6.△ABC中，∠ABC和∠BCA的平分线交于O，则∠BAO和∠CAO的大小关系为.
7.Rt△ABC中，∠C=900，BD平分∠ABC，CD=n，AB=m，则△ABD的面积是.
8.△ABC中，AC=BC,∠C=900,AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于E.
（1）已知：
CD=4cm,求AC长；
（2）求证：
AB=AC+CD
9.已知：
OP是∠MON内的一条射线，AC⊥OM，AD⊥ON，BE⊥OM，BF⊥ON，垂足分别为C、D、E、F，且AC=AD求证：
BE=BF
中考真题：
10.三条公路围成了一个三角形区域，今要在这个三角形区域内
建一果品批发市场到这三条公路的距离相等，试找出批发市场的位置.
第六章平行四边形
【知识点精析】
一、平行四边形的定义及性质
知识点1平行四边形的概念：
两组对边分别平行的四边形是平行四边形
知识点2平行四边形的性质（边，角，对角线，对称性）
（1）边的性质：
平行四边形的对边相等
平行四边形的对边平行
（2）角的性质：
平行四边形的对角相等
（3）对角线的性质：
平行四边形的对角线互相平分
（4）平行四边形是中心对称图形
二、平行四边形的判定:
知识点1平行四边形的判定
（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形（定义）
（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形
（3）对角线互相平分的四边形是平行四边形
（4）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
（注意：
必须是同一组对边平行且相等，也就是一组对边平行，另一组对边相等时，不一定是平行四边形。
有两条边相等，并且另外两条边相等的四边形不一定是平行四边形）
知识点2两条平行线间的距离的定义
若两条直线互相平行，则其中一条直线上任意两点到另一条直线的距离相等，这个距离称为平行线之间的距离，实际上平行线间的距离处处相等
三、三角形的中位线
1、三角形中位线的定义：
连接三角线两边中点的线段叫做三角形的中位线
2、三角形中位线定理：
三角形的中位线平行于三角线的第三边，且等于第三边的一半
（要区别三角形中位线和中线不要搞混淆了，说的是中位线与第三边的位置关系，中位线与第三边的数量关系）
四、多边形的内角与外角和
知识点一、多边形及正多边形
1、多边形：
在平面内，由若干条不在同一条直线上的线段首尾顺次相连组成的封闭图形叫做多边形
2、多边形的分类：
多边形按组成它的线段的条数分为三边形（三角形）、四边形、五边形……由n条线段组成的多边形叫做n边形
3、多边形的对角线：
连接多边形不相邻的两个顶点的线段叫做多边形的对角线
4、正多边形：
在平面内，内角都相等、边也都相等的多边形叫做正多边形
知识点二、多边形的内角和与外角和
1、多边形的内角和：
n变形的内角和等于（n-2）*180°（n≥3）
2、多边形的外角和：
多边形的外角和等于360°
3.多边形的对角线有：
【巩固训练】
一、平行四边形的概念及性质
1.（2012浙江杭州3分）已知平行四边形ABCD中，∠B=4∠A，则∠C=【】
A．18° B．36° C．72° D．144°
2.（2012四川自贡3分）如图，在平行四边形ABCD中，AD=5，AB=3，AE平分∠BAD交BC边于点E，则线段BE，EC的长度分别为【】
A．2和3B．3和2C．4和1D．1和4
3.（2012山东泰安3分）如图，在平行四边形ABCD中，过点C的直线CE⊥AB，垂足为E，若∠EAD=53°，则∠BCE的度数为【】
A．53° B．37° C．47° D．123°
4.（2012广西南宁3分）如图，在平行四边形ABCD中，AB=3cm，BC=5cm，对角线AC，BD相交于点O，则OA的取值范围是【】
A．2cm＜OA＜5cm B．2cm＜OA＜8cm
C．1cm＜OA＜4cm D．3cm＜OA＜8cm
5.（2012湖南永州3分）如图，平行四边形ABCD的对角线相交于点O，且AB≠AD，过O作OE⊥BD交BC于点E．若△CDE的周长为10，则平行四边形ABCD的周长为．
6.（2012山东烟台3分）
ABCD中，已知点A（﹣1，0），B（2，0），D（0，1）．则点C的坐标为．
7、（2010青海西宁）在□ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，如果AC=14，BD=8，AB=
，那么
的取值范围是.
8、（2010辽宁铁岭）.如右图所示，平行四边形ABCD的周长是18cm，对角线AC、BD相交于点O,若△AOD与△AOB的周长差是5cm，则边AB的长是________cm.
9.（2013湖南益阳，6，4分）如图2，在平行四边形ABCD中，下列结论中错误的是（）
A．∠1=∠2B．∠BAD=∠BCDC．AB=CDD．AC⊥BD
10．（2013黑龙江省哈尔滨市，7）如图7，在
ABCD中，AD=2AB，CE平分∠BCD交AD边于点E，且AE=3，则AB的长为（）．
（A）4（B）3（C）
（D）2
11、（2012四川巴中3分）不能判定一个四边形是平行四边形的条件是【】
A.两组对边分别平行B.一组对边平行，另一组对边相等
C.一组对边平行且相等D.两组对边分别相等
12（2012四川广元3分）若以A（-0.5，0），B（2，0），C（0，1）三点为顶点要画平行四边形，则第四个顶点不可能在【】
A.第一象限B.第二象限
C.第三象限D.第四象限
13．（2013湖北荆门，7，3分）四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，给出下列四个条件：
①AD∥BC②AD＝BC③OA＝OC④OB＝OD
从中任选两个条件，能使四边形ABCD为平行四边形的选法有（）
A．3种B．4种C．5种D．6种
14、（2013四川泸州，6，2分）四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是（ ）
A．AB//DC，AD//BCB．AB＝DC，AD＝BC
C．AO＝CO，BO＝DOD．AB//DC，AD＝BC
15.（2012广东佛山3分）依次连接任意四边形各边的中点，得到一个特殊图形（可认为是一般四边形的性质），则这个图形一定是【】
A．平行四边形B．矩形C．菱形D．梯形
16（2012湖南怀化3分）如图，在
ABCD中，AD=8，点E、F分别是BD、CD的中点，则EF=.
17．（2013江苏扬州，6，3分）一个多边形的每个内角均为108°，则这个多边形是（）．
A．七边形B．六边形C．五边形D．四边形
18（2013广东湛江，5，4分）已知一个多边形的内角和是540°，则这个多边形是（）
A．四边形B．五边形C．六边形D．七边形
19、（2013四川雅安，2，3分）五边形的内角和为（ ）
A．720° B．540° C．360° D．180°
20．（2013·，8，3分）如图，五边形ABCDE中，AB∥CD，∠1、∠2、∠3分别是∠BAE、∠AED、∠EDC的外角，则∠1＋∠2＋∠3等于（ ）
A．90°B．180°C．210°D．270°
20（2013•宁波3分）一个多边形的每个外角都等于72°，则这个多边形的边数为（ ）
A．
5
B．
6
C．
7
D．
8
21（2013湖南郴州，11，3分）已知一个多边形的内角和是1080°，这个多边形的边数是．
22．（2013湖南娄底，16，4分）一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形的边数为．
23（2013湖南长沙，8，3分）下列多边形中，内角和与外角和相等的是（）
A.四边形B.五边形C.六边形D.八边形
24、（2013·，22，6分）如图，E，F是四边形ABCD的对角线AC上两点，AF＝CE，DF＝BE，DF∥BE．
求证：
（1）△AFD≌△CEB；
（2）四边形ABCD是平行四边形．
25、（2013湖南郴州，23，8分）如图，已知BE∥DF，∠ADF=∠CBE，AF=CE，求证：
四边形DEBF是平行四边形．
26、（2012湖北孝感8分）我们把依次连接任意四边形各边中点得到的四边形叫做中点四边形．
如图，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，依次连接各边中点得到中点四边形EFGH．
（1）这个中点四边形EFGH的形状是；
（2）证明你的结论．
27、（2010江苏宿迁）如图，在□ABCD中，点E、F是对角线AC上两点，且AE=CF．
求证：
∠EBF=∠FD
31、已知平行四边形ABCD的周长为36cm，过D作AB，BC边上的高DE、DF，且
cm，
，求平行四边形ABCD的面积．
33、（2011•）如图，已知D是△ABC的边AB上一点，CE∥AB，DE交AC于点O，且OA=OC，猜想线段CD与线段AE的大小关系和位置关系，并加以证明．
34、（2011•）如图，在四边形ABCD中，AB=CD，BF=DE，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E，F．
（1）求证：
△ABE≌△CDF；
（2）若AC与BD交于点O，求证：
AO=CO．
35、（2010湖南株洲）．（本题满分6分）如图，已知平行四边形
，
是
的角平分线，交
于点
．
（1）求证：
；
（2）若
，
，求
的度数．
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