一元二次方程的根的判别式.docx

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一元二次方程的根的判别式

一元二次方程的根的判别式学习指导

一、基本知识点:

1.根的判别式:

对于任何一个一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)可以用配方法将其变形为:

(x+

)2=

因为a≠0,所以4a2>0,这样一元二次方程ax2+bx+c=0的根的情况可由b2-4ac来判定。

我们把b2-4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0的根的判别式,用希腊字母⊿来表示,即⊿=b2-4ac。

一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0),

当⊿=b2-4ac>0时,有两个不相等的实数根;

当⊿=b2-4ac=0时,有两个相等的实数根;

当⊿=b2-4ac<0时,没有实数根。

上述性质反过来也成立。

2.判别式的应用

(1)不解方程,判断方程的根的情况;

(2)根据方程的根情况确定方程的待定系数的取值范围;

(3)证明方程的根的性质;

(4)运用于解综合题。

二、重点与难点

一元二次方程的根的判别式的性质是初中数学中的一个重要内容,在高中数学中也有重要应用。

正确理解判别式的性质,熟练灵活地运用它,是本节的重点,同时也是难点。

三、例题解析

例1不解方程,判断下列方程根的情况

(1)2x2-5x+10=0

(2)16x2-8

x+3=0

(3)(

)x2-

x+

=0

(4)x2-2kx+4(k-1)=0(k为常数)

(5)2x2-(4m-1)x+(m-1)=0(m为常数)

(6)4x2+2nx+(n2-2n+5)=0(n为常数)

解:

(1)⊿=(-5)2-4×2×10=-55<0

∴方程没有实数根

  

(2)⊿=(-8

)2-4×16×3=0

∴方程有两个相等的实数根

  (3)⊿=(-

)2-4(

)×

=5-4

+8

>0

∴方程有两个不相等实根

  (4)⊿=(-2k)2-4×1×4(k-1)=4k2-16k+16

 =4(k2-4k+4)=4(k-2)2≥0

∴方程有实数根

(5)⊿=〔-(4m-1)〕2-4×2×(m-1)

=16m2-8m+1-8m+8

=16m2-16m+9=4(2m-1)2+5>0

∴方程有两个不相等实根

(6)⊿=(2n)2-4×4(n2-2n+5)

=4n2-16n2+32n-80

=-12n2+32n-80

=-12(n-

)2-

<0

∴方程没有实数根

说明:

1解这类题目时,一般要先求出⊿=b2-4ac,然后对⊿=b2-4ac进行化简或变形,使⊿=b2-4ac的符号明朗化,进而说明⊿=b2-4ac的符号情况,得出结论。

对判别式进行变形的基本方法有因式分解、配方等。

②应首先将关于x的方程整理成一般形式,再求⊿=b2-4ac。

③当⊿=b2-4ac≥0时,方程有实数根,反之也成立。

例2已知关于x的方程

x2-(m-2)x+m2=0

(1)有两个不相等实根,求m的范围.

(2)有两个相等实根,求m的值,并求此时方程的根.

(3)有实根,求m的最大整数值.

解:

⊿=b2-4ac=[-(m-2)[2-4×

×m2=-4m+4

(1)⊿=-4m+4>0时方程有两个不相等的实根,解得m<1

∴当m<1时方程有两个不相等实根

(2)方程有两个相等实根,

∴⊿=b2-4ac=0

∴-4m+4=0解得m=1

∴当m=1时方程有两个相等实根为

x1=x2=-

=-

=-2

(3)∵方程有实根,

∴⊿=b2-4ac≥0

∴-4m+4≥0解得m≤1,其最大整数值为1,

∴方程有实根m的最大整数值为1。

说明:

含有字母系数的一元二次方程根的情况由字母系数决定,而字母系数的取值范围由⊿的不同情况求得。

例3已知m为非负整数,且关于x的方程m(x-1)2+3x+2=2x2有两个实数根,求m的值,并求出这时方程的根。

分析,首先要把方程整理成一般形式,注意应保证二次项系数不等于零。

因为已知方程有两个实数根,所以⊿=b2-4ac≥0,由此可求出m的取值范围,再由m是非负整数来确定m的值,从而使问题得解。

解:

整理原方程,得:

(m-2)x2-(2m-3)x+(m+2)=0

∵方程有两个实数根,⊿=b2-4ac≥0

解得m≤

且m≠2。

∵m是非负整数。

∴m=0或m=1。

当m=0时,原方程为2x2-3x-2=0

解这个方程得:

x1=2,x2=-

当m=1时,原方程为x2-x-3=0。

解这个方程,得:

x=

x1=

,x2=

例4证明:

当a、b、c为实数,且b=a+c时,关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0总有实数根。

分析:

要证明一元二次方程有实数根,只需证明它的判别式大于或等于零。

证明∵⊿=b2-4ac,又b=a+c,a≠0。

∴⊿=(a+c)2-4ac=(a-c)2。

∵(a-c)2≥0

∴⊿=b2-4ac≥0。

∴关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0总有实数根。

例5已知方程x2+2x-n+1=0没有实数根,求证:

方程x2+nx+2n-1=0必有两个不相等的实数根。

分析:

由已知方程x2+2x-n+1=0没有实数根,可得到一个关于n的关系式,再以此为基础证明方程x2+nx+2n-1=0的根的判别式⊿=b2-4ac>0,问题即可得解。

证明:

∵方程x2+2x-n+1=0没有实数根,

∴22-4(-n+1)<0,

即n<0。

∵方程x2+nx+2n-1=0的判别式⊿=n2-4(2n-1)=n2-8n+4,且n<0,

∴n2>0,-8n>0,

∴n2-8n+4>0。

∴⊿=n2-4(2n-1)>0。

∴方程x2+nx+2n-1=0必有两个不相等的实数根。

例6已知关于x的方程(m+2)x2-2(m-1)x+m+1=0有两个不相等的实数根,并且一次项系数不小于零,试求m的取值范围。

分析:

由已知条件可知m的取值范围应同时满足:

①二次项系数不等于零,②⊿=b2-4ac>0,③一次项系数不小于零这三个条件,因而可列出不等式组求解。

解:

根据已知条件,可得:

解这个不等式组,得:

∴m<-

且m≠-2。

例7当m是什么整数时,关于x的一元二次方程mx2-4x+4=0与x2-4mx+4m2-4m-5=0的根都是整数。

分析:

因为两个一元二次方程的根都是整数,所以两个方程都有实数根,可先求出使两个方程都有实数根的m的值,然后从中筛选出使两个方程的根都是整数的整数m的值。

解:

∵一元二次方程mx2-4x+4=0有实数根,

∴m≠0且⊿=b2-4ac=16-16m≥0

∴m≤1且m≠0①

 ∵方程x2-4mx+4m2-4m-5=0有实数根,

∴⊿=b2-4ac=16m2-4(4m2-4m-5)≥0。

∴m≥-

由①、②得-

≤m≤1,且m≠0。

∴m的整数解为-1或1。

当m=-1时,方程mx2-4x+4=0的根不是整数,不符合题意,舍去。

当m=1时,方程mx2-4x+4=0的根为x1=x2=2,

方程x2-4mx+4m2-4m-5=0的根为x3=5,x4=-1。

∴当m=1时,方程mx2-4x+4=0与方程x2-4mx+4m2-4m-5=0的根都是整数。

说明:

求方程的特殊解的问题,可先求出方程的通解,然后再根据题目对解的特殊要求筛选出特殊解。

四、自我测试

1.填空:

(1)方程(m+1)x2-mx+m=0有相等的实数根,则m的值是_____;

(2)关于x的方程2x(kx-4)-x2+6=0没有实数根,则k的最小整数值是_____;

(3)方程2x2-(2m+1)x+m=0的根的判别式的值是9,则m=_____;

(4)若关于x的一元二次方程kx2-(2k-1)x+k=0有实根,则k的取值范围是_____,若方程无实根,则k的取值范围是_____。

2.选择题(四选一):

(1)下到方程中,有两个不相等的实数根的是()

(A)x2+x+2=0  (B)x2-2x+1=0

(C)x2+1=0   (D)x2+x=0

(2)方程(x-1)(x-2)=k2一定()

(A)有两个相等的实数根(B)没有实数根

(C)有两个不相等的实数根(D)以上三种情况均有可能

(3)关于x的方程2kx2+(8k+1)x=-8k有两个实根,则k的取值范围是()

(A)k>-

(B)k≥-

且k≠0

(C)k=-

    (D)k>-

且k≠0

3.方程(m-1)x2+16x+10=0有两个不相等实根,求m的取值范围。

4.方程kx2-10kx+15k+2=0有两个相等的实数根,求k的值及方程的根。

5.若方程(m-4)x2-2mx+2m+5=0的根的判别式的值是40,求m的值。

6.一元二次方程2x(kx-4)-x2+6=0没有实数根,求k的最小整数值。

7.已知一元二次方程x2+3x+a=0有整数根,a是非负整数,求方程的整数根。

参考答案

 

 

 

 

 五、答案

1.

(1)m1=0,m2=-

(2)2;

(3)2,-1;      (4)k≤

且k≠0,k>

2.

(1)D

(2)C(3)B

3.m<

且m≠1

4.k=

,x1=x2=5

5.⊿=〔-2m〕2-4(m-4)(2m+5)=-4m2+12m+80=40

∴m1=5,m2=-2

6.k=2

7.∵方程有整数根,

∴⊿=9-4a≥0,

∴a≤

∴a是非负整数,

∴a=0,1,2。

当a=0时,x2+3x=0,

∴x1=0,x2=-3。

当a=1时,x2+3x+1=0,

∴x=

,不是整数根。

当a=2时,x2+3x+2=0,

∴x1=-1,x2=-2。

∴所求的整数根为0,-1,-2,-3。

 

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