一元二次方程的根的判别式.docx
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一元二次方程的根的判别式
一元二次方程的根的判别式学习指导
一、基本知识点：
1.根的判别式：
对于任何一个一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）可以用配方法将其变形为:
（x+
）2=
因为a≠0，所以4a2＞0，这样一元二次方程ax2+bx+c=0的根的情况可由b2－4ac来判定。
我们把b2－4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0的根的判别式，用希腊字母⊿来表示，即⊿=b2－4ac。
一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），
当⊿=b2－4ac＞0时，有两个不相等的实数根；
当⊿=b2－4ac=0时，有两个相等的实数根；
当⊿=b2－4ac＜0时，没有实数根。
上述性质反过来也成立。
2.判别式的应用
（1）不解方程，判断方程的根的情况；
（2）根据方程的根情况确定方程的待定系数的取值范围；
（3）证明方程的根的性质；
（4）运用于解综合题。
二、重点与难点
一元二次方程的根的判别式的性质是初中数学中的一个重要内容，在高中数学中也有重要应用。
正确理解判别式的性质，熟练灵活地运用它，是本节的重点，同时也是难点。
三、例题解析
例1不解方程，判断下列方程根的情况
（1）2x2－5x+10=0
（2）16x2－8
x+3=0
（3）（
－
）x2－
x+
=0
（4）x2－2kx+4（k－1）=0（k为常数）
（5）2x2－（4m－1）x+（m－1）=0（m为常数）
（6）4x2+2nx+（n2－2n+5）=0（n为常数）
解：
（1）⊿=（－5）2－4×2×10=－55＜0
∴方程没有实数根
（2）⊿=（－8
）2－4×16×3=0
∴方程有两个相等的实数根
（3）⊿=（－
）2－4（
－
）×
=5－4
+8
＞0
∴方程有两个不相等实根
（4）⊿=（－2k）2－4×1×4（k－1）=4k2－16k+16
=4（k2－4k+4）=4（k－2）2≥0
∴方程有实数根
（5）⊿=〔－（4m－1）〕2－4×2×（m－1）
=16m2－8m+1－8m+8
=16m2－16m+9=4（2m－1）2+5＞0
∴方程有两个不相等实根
（6）⊿=（2n）2－4×4（n2－2n+5）
=4n2－16n2+32n－80
=－12n2+32n－80
=－12（n－
）2－
＜0
∴方程没有实数根
说明：
1解这类题目时，一般要先求出⊿=b2－4ac，然后对⊿=b2－4ac进行化简或变形，使⊿=b2－4ac的符号明朗化，进而说明⊿=b2－4ac的符号情况，得出结论。
对判别式进行变形的基本方法有因式分解、配方等。
②应首先将关于x的方程整理成一般形式，再求⊿=b2－4ac。
③当⊿=b2－4ac≥0时，方程有实数根，反之也成立。
例2已知关于x的方程
x2－（m－2）x+m2=0
（1）有两个不相等实根，求m的范围.
（2）有两个相等实根，求m的值，并求此时方程的根.
（3）有实根，求m的最大整数值.
解：
⊿=b2－4ac=[－（m－2）[2－4×
×m2=－4m+4
（1）⊿=－4m+4＞0时方程有两个不相等的实根，解得m＜1
∴当m＜1时方程有两个不相等实根
（2）方程有两个相等实根，
∴⊿=b2－4ac=0
∴－4m+4=0解得m=1
∴当m=1时方程有两个相等实根为
x1=x2=－
=－
=－2
（3）∵方程有实根，
∴⊿=b2－4ac≥0
∴－4m+4≥0解得m≤1，其最大整数值为1，
∴方程有实根m的最大整数值为1。
说明：
含有字母系数的一元二次方程根的情况由字母系数决定，而字母系数的取值范围由⊿的不同情况求得。
例3已知m为非负整数，且关于x的方程m（x－1）2+3x+2=2x2有两个实数根，求m的值，并求出这时方程的根。
分析，首先要把方程整理成一般形式，注意应保证二次项系数不等于零。
因为已知方程有两个实数根，所以⊿=b2－4ac≥0，由此可求出m的取值范围，再由m是非负整数来确定m的值，从而使问题得解。
解：
整理原方程，得:
（m－2）x2－（2m－3）x+（m+2）=0
∵方程有两个实数根，⊿=b2－4ac≥0
∴
解得m≤
且m≠2。
∵m是非负整数。
∴m=0或m=1。
当m=0时，原方程为2x2－3x－2=0
解这个方程得:
x1=2，x2=－
。
当m=1时，原方程为x2－x－3=0。
解这个方程，得:
x=
x1=
，x2=
。
例4证明：
当a、b、c为实数，且b=a+c时，关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0总有实数根。
分析：
要证明一元二次方程有实数根，只需证明它的判别式大于或等于零。
证明∵⊿=b2－4ac，又b=a+c，a≠0。
∴⊿=（a+c）2－4ac=（a－c）2。
∵（a－c）2≥0
∴⊿=b2－4ac≥0。
∴关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0总有实数根。
例5已知方程x2+2x－n+1=0没有实数根，求证:
方程x2+nx+2n－1=0必有两个不相等的实数根。
分析：
由已知方程x2+2x－n+1=0没有实数根，可得到一个关于n的关系式，再以此为基础证明方程x2+nx+2n－1=0的根的判别式⊿=b2－4ac＞0，问题即可得解。
证明：
∵方程x2+2x－n+1=0没有实数根，
∴22－4（－n+1）＜0，
即n＜0。
∵方程x2+nx+2n－1=0的判别式⊿=n2－4（2n－1）=n2－8n+4，且n＜0，
∴n2＞0，－8n＞0，
∴n2－8n+4＞0。
∴⊿=n2－4（2n－1）＞0。
∴方程x2+nx+2n－1=0必有两个不相等的实数根。
例6已知关于x的方程（m+2）x2－2（m－1）x+m+1=0有两个不相等的实数根，并且一次项系数不小于零，试求m的取值范围。
分析：
由已知条件可知m的取值范围应同时满足:
①二次项系数不等于零，②⊿=b2－4ac＞0，③一次项系数不小于零这三个条件，因而可列出不等式组求解。
解：
根据已知条件，可得:
解这个不等式组，得:
∴m＜－
且m≠－2。
例7当m是什么整数时，关于x的一元二次方程mx2－4x+4=0与x2－4mx+4m2－4m－5=0的根都是整数。
分析：
因为两个一元二次方程的根都是整数，所以两个方程都有实数根，可先求出使两个方程都有实数根的m的值，然后从中筛选出使两个方程的根都是整数的整数m的值。
解：
∵一元二次方程mx2－4x+4=0有实数根，
∴m≠0且⊿=b2－4ac=16－16m≥0
∴m≤1且m≠0①
∵方程x2－4mx+4m2－4m－5=0有实数根，
∴⊿=b2－4ac=16m2－4（4m2－4m－5）≥0。
∴m≥－
②
由①、②得－
≤m≤1，且m≠0。
∴m的整数解为－1或1。
当m=－1时，方程mx2－4x+4=0的根不是整数，不符合题意，舍去。
当m=1时，方程mx2－4x+4=0的根为x1=x2=2，
方程x2－4mx+4m2－4m－5=0的根为x3=5，x4=－1。
∴当m=1时，方程mx2－4x+4=0与方程x2－4mx+4m2－4m－5=0的根都是整数。
说明：
求方程的特殊解的问题，可先求出方程的通解，然后再根据题目对解的特殊要求筛选出特殊解。
四、自我测试
1.填空：
（1）方程（m+1）x2－mx+m=0有相等的实数根，则m的值是_____；
（2）关于x的方程2x（kx－4）－x2+6=0没有实数根，则k的最小整数值是_____；
（3）方程2x2－（2m+1）x+m=0的根的判别式的值是9，则m=_____；
（4）若关于x的一元二次方程kx2－（2k－1）x+k=0有实根，则k的取值范围是_____，若方程无实根，则k的取值范围是_____。
2.选择题（四选一）：
（1）下到方程中，有两个不相等的实数根的是（）
（A）x2+x+2=0 （B）x2－2x+1=0
（C）x2+1=0 （D）x2+x=0
（2）方程（x－1）（x－2）=k2一定（）
（A）有两个相等的实数根（B）没有实数根
（C）有两个不相等的实数根（D）以上三种情况均有可能
（3）关于x的方程2kx2+（8k+1）x=－8k有两个实根，则k的取值范围是（）
（A）k＞－
（B）k≥－
且k≠0
（C）k=－
（D）k＞－
且k≠0
3.方程（m－1）x2+16x+10=0有两个不相等实根，求m的取值范围。
4.方程kx2－10kx+15k+2=0有两个相等的实数根，求k的值及方程的根。
5.若方程（m－4）x2－2mx+2m+5=0的根的判别式的值是40，求m的值。
6.一元二次方程2x（kx－4）－x2+6=0没有实数根，求k的最小整数值。
7.已知一元二次方程x2+3x+a=0有整数根，a是非负整数，求方程的整数根。
参考答案
五、答案
1.
（1）m1=0，m2=－
；
（2）2；
（3）2,－1； （4）k≤
且k≠0，k＞
。
2.
（1）D
（2）C（3）B
3.m＜
且m≠1
4.k=
，x1=x2=5
5.⊿=〔－2m〕2－4（m－4）（2m+5）=－4m2+12m+80=40
∴m1=5，m2=－2
6.k=2
7.∵方程有整数根，
∴⊿=9－4a≥0，
∴a≤
。
∴a是非负整数，
∴a=0，1，2。
当a=0时，x2+3x=0，
∴x1=0，x2=－3。
当a=1时，x2+3x+1=0，
∴x=
，不是整数根。
当a=2时，x2+3x+2=0，
∴x1=－1，x2=－2。
∴所求的整数根为0，－1，－2，－3。
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