【答案】 C
9．下列说法错误的是（ ）
A．如果命题“﹁p”与命题“p或q”都是真命题，那么命题q一定是真命题
B．命题“若a＝0，则ab＝0”的否命题是：
“若a≠0，则ab≠0”
C．若命题p：
存在x0∈R，x
＋2x0－3<0，则﹁p：
对任意的x∈R，x2＋2x－3≥0
D．“sinθ＝
”是“θ＝30°”的充分不必要条件
【解析】 对于D选项，由sinθ＝
，得θ＝30°＋k·360°或θ＝150°＋k·360°（k∈Z）；若θ＝30°，则sinθ＝
.所以“sinθ＝
”是“θ＝30°”的必要不充分条件．
【答案】 D
10．已知命题p：
任意x∈R，使x2－x＋
<0；命题q：
存在x∈R，使sinx＋cosx＝
，则下列判断正确的是（ ）
A．p是真命题B．q是假命题
C．﹁p是假命题D．﹁q是假命题
【解析】 ∵任意x∈R，x2－x＋
＝
≥0恒成立，
∴命题p假，﹁p真；
又sinx＋cosx＝
sin
，当sin
＝1时，sinx＋cosx＝
，
∴q真，﹁q假．
【答案】 D
11．以下判断正确的是（ ）
A．命题“负数的相反数是正数”不是全称命题
B．命题“任意x∈N，x3>x”的否定是“存在x∈N，x3>x”
C．“a＝1”是“函数f（x）＝cos2ax－sin2ax的最小正周期为π”的必要不充分条件
D．“b＝0”是“函数f（x）＝ax2＋bx＋c是偶函数”的充要条件
【解析】 ∵“负数的相反数是正数”即为任意一个负数的相反数是正数，是全称命题，∴A不正确；
又∵对全称命题“任意x∈N，x3>x”的否定为“存在x∈N，x3≤x”，∴B不正确；
又∵f（x）＝cos2ax－sin2ax＝cos2ax，
当最小正周期T＝π时，有
＝π，
∴|a|＝1
a＝1.
故“a＝1”是“函数f（x）＝cos2ax－sin2ax的最小正周期为π”的充分不必要条件．
【答案】 D
12．f（x）是R上的增函数，且f（－1）＝－4，f
（2）＝2，设P＝{x|f（x＋t）＋1＜3}，Q＝{x|f（x）＜－4}，若“x∈P”是“x∈Q”的充分不必要条件，则实数t的取值范围是（ ）
A．t≤－1B．t＞－1C．t≥3D．t＞3
【解析】 P＝{x|f（x＋t）＋1＜3}＝{x|f（x＋t）＜2}＝{x|f（x＋t）＜f
（2）}．Q＝{x|f（x）＜－4}＝{x|f（x）＜f（－1）}，因为函数f（x）是R上的增函数，所以P＝{x|x＋t＜2}＝{x|x＜2－t}，Q＝{x|x＜－1}，要使“x∈P”是“x∈Q”的充分不必要条件，则有2－t＜－1，即t＞3，选D.
【答案】 D
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确答案填在题中的横线上）
13．命题“若abc＝0，则a、b、c中至少有一个为零”的否定为：
________，否命题为：
________.
【解析】 否定形式：
若abc＝0，则a、b、c全不为零．
否命题：
若abc≠0，则a、b、c全不为零．
【答案】 若abc＝0，则a、b、c全不为零 若abc≠0，则a、b、c全不为零
14．设p、r都是q的充分条件，s是q的充分必要条件，t是s的必要条件，t是r的充分条件，那么p是t的________条件，r是t的________条件．
【解析】 由条件可以作出图示如图，
∴p是t的充分不必要条件，r是t的充分必要条件．
【答案】 充分不必要 充要
15．已知命题p：
x2＋2x－3＞0，命题q：
＞1，若“﹁q且p”为真，则x的取值范围是__________．
【解析】 因为“﹁q且p”为真，即q假p真，而q为真命题时，
＜0，即2＜x＜3，所以q假时，有x≥3或x≤2；p为真命题时，由x2＋2x－3＞0，解得x＞1或x＜－3，由
得x≥3或1＜x≤2或x＜－3，
所以x的取值范围是x≥3或1＜x≤2或x＜－3.
【答案】 （－∞，－3）∪（1,2]∪[3，＋∞）
16．给出下列命题：
①“数列{an}为等比数列”是“数列{anan＋1}为等比数列”的充分不必要条件；
②“a＝2”是“函数f（x）＝|x－a|在区间[2，＋∞）上为增函数”的充要条件；
③“m＝3”是“直线（m＋3）x＋my－2＝0与直线mx－6y＋5＝0互相垂直”的充要条件；
④设a，b，c分别是△ABC三个内角A，B，C所对的边，若a＝1，b＝
，则“A＝30°”是“B＝60°”的必要不充分条件．
其中真命题的序号是__________．
【解析】 对于①，当数列{an}为等比数列时，易知数列{anan＋1}是等比数列，但当数列{anan＋1}为等比数列时，数列{an}未必是等比数列，如数列1,3,2,6,4,12,8显然不是等比数列，而相应的数列3,6,12,24,48,96是等比数列，因此①正确；对于②，当a≤2时，函数f（x）＝|x－a|在区间[2，＋∞）上是增函数，因此②不正确；对于③，当m＝3时，相应的两条直线互相垂直，反之，这两条直线垂直时，不一定有m＝3，也可能m＝0，因此③不正确；对于④，由题意得，
＝
＝
，若B＝60°，则sinA＝
，注意到b＞a，故A＝30°，反之，当A＝30°时，有sinB＝
，由于b＞a，所以B＝60°或B＝120°，因此④正确．综上所述，真命题的序号是①④.
【答案】 ①④
三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（本小题满分10分）下列命题为原命题，分别写出它们的逆命题、否命题和逆否命题，并判断它们的真假．
（1）若x2－5x－14＝0，则x＝7或x＝－2；
（2）a，b，c，d∈R，若a＝c，b＝d，则ab＝cd.
【解】
（1）逆命题：
若x＝7或x＝－2，则x2－5x－14＝0.是真命题．
否命题：
若x2－5x－14≠0，则x≠7且x≠－2.是真命题．
逆否命题：
若x≠7且x≠－2，则x2－5x－14≠0.是真命题．
（2）逆命题：
a，b，c，d∈R，若ab＝cd，则a＝c，b＝d，是假命题；
否命题：
a，b，c，d∈R，若a≠c或b≠d，则ab≠cd，是假命题；
逆否命题：
a，b，c，d∈R，若ab≠cd，则a≠c或b≠d，是真命题．
18．（本小题满分12分）写出下列命题的“﹁p”命题，并判断它们的真假．
（1）p：
任意x，x2＋4x＋4≥0.
（2）p：
存在x0，x
－4＝0.
【解】
（1）﹁p：
存在x0，x
＋4x0＋4<0是假命题．
（2）﹁p：
任意x，x2－4≠0是假命题．
19．（本小题满分12分）求证：
“a＋2b＝0”是“直线ax＋2y＋3＝0和直线x＋by＋2＝0互相垂直”的充要条件．
【证明】 充分性：
当b＝0时，如果a＋2b＝0，那么a＝0，此时直线ax＋2y＋3＝0平行于x轴，直线x＋by＋2＝0平行于y轴，它们互相垂直；当b≠0时，直线ax＋2y＋3＝0的斜率k1＝－
，直线x＋by＋2＝0的斜率k2＝－
，如果a＋2b＝0，那么k1k2＝
×
＝－1，两直线互相垂直．
必要性：
如果两条直线互相垂直且斜率都存在，那么k1k2＝
×
＝－1，所以a＋2b＝0；
若两直线中有直线的斜率不存在，且互相垂直，则b＝0，且a＝0.所以，a＋2b＝0.
综上所述，“a＋2b＝0”是“直线ax＋2y＋3＝0和直线x＋by＋2＝0互相垂直”的充要条件．
20．（本小题满分12分）设p：
关于x的不等式ax>1（a>0且a≠1）的解集为{x|x<0}，q：
函数y＝lg（ax2－x＋a）的定义域为R.如果p和q有且仅有一个真命题，求a的取值范围．
【解】 当p真时，0当q真时，
即a>
，
所以p假时，a>1，q假时，a≤
.
又p和q有且仅有一个真命题．
当p真q假时，0，当p假q真时，a>1.
综上所述得，a∈
∪（1，＋∞）．
21．（本小题满分12分）已知p：
－2≤1－
≤2，q：
x2－2x＋1－m2≤0（m>0），若﹁p是﹁q的必要不充分条件，求实数m的取值范围.
【解】 由x2－2x＋1－m2≤0（m>0），
得1－m≤x≤1＋m.
∴﹁q：
A＝{x|x<1－m或x>1＋m，m>0}．
由－2≤1－
≤2，
得－2≤x≤10.
∴﹁p：
B＝{x|x<－2或x>10}．
∵﹁p是﹁q的必要不充分条件，
且m>0，∴AB.
∴
或
解得m≥9，
∴m的取值范围是[9，＋∞）．
22．（本小题满分12分）已知函数f（x）＝x2，g（x）＝
－m.
（1）x∈[－1,3]，求f（x）的值域．
（2）若对任意x∈[0,2]，g（x）≥1成立，求实数m的取值范围．
（3）若对任意x1∈[0,2]，存在x2∈[－1,3]，使得g（x1）≤f（x2）成立，求实数m的取值范围．
【解】
（1）当x∈[－1,3]时，函数f（x）＝x2∈[0,9]，所以f（x）的值域为[0,9]．
（2）对任意x∈[0,2]，g（x）≥1成立，
等价于g（x）在[0,2]上的最小值大于或等于1.
而g（x）在[0,2]上单调递减，
所以
－m≥1，即m≤－
.
（3）对任意x1∈[0,2]，存在x2∈[－1,3]，使得g（x1）≤f（x2）成立，等价于g（x）在[0,2]上的最大值小于或等于f（x）在[－1,3]上的最大值9，由1－m≤9，所以m≥－8.
升级会员 