从而,f′(x)=10[(x-6)2+2(x-3)(x-6)]=30(x-4)(x-6),
于是,当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表:
x
(3,4)
4
(4,6)
f′(x)
+
0
-
f(x)
单调递增
极大值42
单调递减
由上表可得,x=4时,函数f(x)取得极大值,也是最大值,9分
所以,当x=4时,函数f(x)取得最大值,且最大值等于42.
即当销售价格为4元/千克时,商场每日销售该商品所获得的利润最大.12分
[规律方法] 利用导数解决生活中优化问题的一般步骤
(1)设自变量、因变量,建立函数关系式y=f(x),并确定其定义域;
(2)求函数的导数f′(x),解方程f′(x)=0;
(3)比较函数在区间端点和f′(x)=0的点的函数值的大小,最大(小)者为最大(小)值;
(4)回归实际问题作答.
[变式训练2] 某品牌电动汽车的耗电量y与速度x之间有关系y=
x3-
x2-40x(x>0),为使耗电量最小,则速度应定为________.【导学号:
31222088】
40 [由y′=x2-39x-40=0,
得x=-1或x=40,
由于0<x<40时,y′<0;
x>40时,y′>0.
所以当x=40时,y有最小值.]
[思想与方法]
1.可导函数y=f(x)在点x0处取得极值的充要条件是f′(x0)=0,且在x0左侧与右侧f′(x)的符号不同.
2.求闭区间上可导函数的最值时,对函数的极值是极大值还是极小值可不作判断,直接与端点的函数值比较即可.
3.如果目标函数在定义区间内只有一个极值点,那么根据实际意义该极值点就是最值点.
4.若函数f(x)在定义域A上存在最大值与最小值,则:
(1)对任意x∈A,f(x)>0⇔f(x)min>0;
(2)存在x∈A,f(x)>0⇔f(x)max>0.
[易错与防范]
1.求函数单调区间与函数极值时要养成列表的习惯,可使问题直观且有条理,减少失分的可能.
2.导数为零的点不一定是极值点.对含参数的求极值问题,应注意分类讨论.
3.若函数y=f(x)在区间(a,b)内有极值,那么y=f(x)在(a,b)内绝不是单调函数,即在某区间上单调函数没有极值.
4.利用导数解决实际生活中的优化问题,要注意问题的实际意义.
课时分层训练(十五)
导数与函数的极值、最值
A组 基础达标
(建议用时:
30分钟)
一、选择题
1.下列函数中,既是奇函数又存在极值的是( )
A.y=x3 B.y=ln(-x)
C.y=xe-xD.y=x+
D [由题可知,B,C选项中的函数不是奇函数,A选项中,函数y=x3单调递增(无极值),而D选项中的函数既为奇函数又存在极值.]
2.当函数y=x·2x取极小值时,x等于( )
【导学号:
31222089】
A.
B.-
C.-ln2D.ln2
B [令y′=2x+x·2xln2=0,
∴x=-
.
经验证,-
为函数y=x·2x的极小值点.]
3.函数y=lnx-x在x∈(0,e]上的最大值为( )
A.e B.1
C.-1 D.-e
C [函数y=lnx-x的定义域为(0,+∞).
又y′=
-1=
,令y′=0得x=1,
当x∈(0,1)时,y′>0,函数单调递增;
当x∈(1,e]时,y′<0,函数单调递减.
当x=1时,函数取得最大值-1.]
4.已知函数f(x)=x3+ax2+(a+6)x+1有极大值和极小值,则实数a的取值范围是( )
【导学号:
31222090】
A.(-1,2)B.(-∞,-3)∪(6,+∞)
C.(-3,6)D.(-∞,-1)∪(2,+∞)
B [∵f′(x)=3x2+2ax+(a+6),
由已知可得f′(x)=0有两个不相等的实根,
∴Δ=4a2-4×3(a+6)>0,即a2-3a-18>0,
∴a>6或a<-3.]
5.设函数f(x)=ax2+bx+c(a,b,c∈R),若x=-1为函数f(x)ex的一个极值点,则下列图象不可能为y=f(x)图象的是( )
A B C D
D [因为[f(x)ex]′=f′(x)ex+f(x)(ex)′=[f(x)+f′(x)]ex,且x=-1为函数f(x)ex的一个极值点,所以f(-1)+f′(-1)=0.选项D中,f(-1)>0,f′(-1)>0,不满足f′(-1)+f(-1)=0.]
二、填空题
6.函数f(x)=
x3+x2-3x-4在[0,2]上的最小值是________.
【导学号:
31222091】
-
[f′(x)=x2+2x-3,令f′(x)=0得x=1(x=-3舍去),又f(0)=-4,f
(1)=-
,f
(2)=-
,故f(x)在[0,2]上的最小值是f
(1)=-
.]
7.设a∈R,若函数y=ex+ax有大于零的极值点,则实数a的取值范围是________.
(-∞,-1) [∵y=ex+ax,∴y′=ex+a.
∵函数y=ex+ax有大于零的极值点,
则方程y′=ex+a=0有大于零的解,
∵x>0时,-ex<-1,∴a=-ex<-1.]
8.某商场从生产厂家以每件20元购进一批商品,若该商品零售价为p元,销量Q(单位:
件)与零售价p(单位:
元)有如下关系:
Q=8300-170p-p2,则该商品零售价定为________元时利润最大,利润的最大值为________元.
30 23000 [设该商品的利润为y元,由题意知,
y=Q(p-20)=-p3-150p2+11700p-166000,
则y′=-3p2-300p+11700,
令y′=0得p=30或p=-130(舍),
当p∈(0,30)时,y′>0,当p∈(30,+∞)时,y′<0,
因此当p=30时,y有最大值,ymax=23000.]
三、解答题
9.已知函数f(x)=-x3+ax2+b(a,b∈R).
(1)要使f(x)在(0,2)上单调递增,试求a的取值范围;
(2)当a<0时,若函数满足y极大=1,y极小=-3,试求y=f(x)的解析式.
[解]
(1)f′(x)=-3x2+2ax.
依题意f′(x)≥0在(0,2)上恒成立,
即2ax≥3x2.∵x>0,∴2a≥3x,∴2a≥6,∴a≥3,
即a的取值范围是[3,+∞).5分
(2)∵f′(x)=-3x2+2ax=x(-3x+2a).
∵a<0,当x∈
时,f′(x)≤0,f(x)递减.
当x∈
时,f′(x)>0,f(x)递增.
当x∈[0,+∞)时,f′(x)≤0,f(x)递减.8分
∴
⇒
∴f(x)=-x3-3x2+1.12分
10.据环保部门测定,某处的污染指数与附近污染源的强度成正比,与到污染源距离的平方成反比,比例常数为k(k>0).现已知相距18km的A,B两家化工厂(污染源)的污染强度分别为a,b,它们连线上任意一点C处的污染指数y等于两化工厂对该处的污染指数之和.设AC=x(km).
(1)试将y表示为x的函数;
(2)若a=1,且x=6时,y取得最小值,试求b的值.
[解]
(1)设点C受A污染源污染程度为
,点C受B污染源污染程度为
,其中k为比例系数,且k>0,从而点C处受污染程度y=
+
.5分
(2)因为a=1,所以y=
+
,
y′=k
,8分
令y′=0,得x=
,
又此时x=6,解得b=8,经验证符合题意,
所以,污染源B的污染强度b的值为8.12分
B组 能力提升
(建议用时:
15分钟)
1.(2017·石家庄一模)若函数f(x)=x3+ax2+bx(a,b∈R)的图象与x轴相切于一点A(m,0)(m≠0),且f(x)的极大值为
,则m的值为( )
【导学号:
31222092】
A.-
B.-
C.
D.
D [由题意可得f(m)=m3+am2+bm=0,m≠0,则m2+am+b=0 ①,且f′(m)=3m2+2am+b=0 ②,①-②化简得m=-
,f′(x)=3x2+2ax+b的两根为-
和-
,则b=
,f
=
,解得a=-3,m=
,故选D.]
2.(2016·北京高考改编)设函数f(x)=
则f(x)的最大值为________.
2 [当x>0时,f(x)=-2x<0;当x≤0时,f′(x)=3x2-3=3(x-1)(x+1),当x<-1时,f′(x)>0,f(x)是增函数,当-1<x<0时,f′(x)<0,f(x)是减函数,∴f(x)≤f(-1)=2,∴f(x)的最大值为2.]
3.已知函数f(x)=ax3+bx+c在点x=2处取得极值c-16.
(1)求a,b的值;
(2)若f(x)有极大值28,求f(x)在[-3,3]上的最小值.
[解]
(1)因为f(x)=ax3+bx+c,
故f′(x)=3ax2+b.2分
由于f(x)在点x=2处取得极值c-16,
故有
即
化简得
解得
5分
(2)由
(1)知f(x)=x3-12x+c,
f′(x)=3x2-12=3(x-2)(x+2),
令f′(x)=0,得x1=-2,x2=2.
当x∈(-∞,-2)时,f′(x)>0,
故f(x)在(-∞,-2)上为增函数;7分
当x∈(-2,2)时,f′(x)<0,
故f(x)在(-2,2)上为减函数;8分
当x∈(2,+∞)时,f′(x)>0,
故f(x)在(2,+∞)上为增函数.
由此可知f(x)在x=-2处取得极大值,
f(-2)=16+c,
f(x)在x=2处取得极小值f
(2)=c-16.
由题设条件知16+c=28,解得c=12.10分
此时f(-3)=9+c=21,f(3)=-9+c=3,
f
(2)=-16+c=-4,
因此f(x)在[-3,3]上的最小值为f
(2)=-4.12分