高社杯全国大学生数学建模竞赛C题.docx

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高社杯全国大学生数学建模竞赛C题

2013高社杯全国大学生数学建模竞赛C题

2013高教社杯全国大学生数学建模竞赛

承诺书

我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.

我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。

我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的,如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。

我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。

如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。

我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）：

C

我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）：

所属学校（请填写完整的全名）：

参赛队员（打印并签名）：

1.

2.

3.　

指导教师或指导教师组负责人（打印并签名）：

日期：

年月日

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2013高教社杯全国大学生数学建模竞赛

编号专用页

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阅

人

评

分

备

注

全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：

全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：

古塔的变形

摘要：

本文研究的古塔的变形问题，通过对问题背景及附件资料进行深入地分析，采用数据拟合、求平均值等方法整理出具有科学性的分析数据。

通过对建筑物位移监测数据处理方法的研究,采用自回归模型对位移监测数据进行处理,根据建立的模型对具体建筑物的监测点的位移变化量进行预报。

经过计算分析,根据位移量之间变化的关系而建立的自回归预测模型具备较高的拟合及预测精度,运用三维坐标系和数学软件将古塔的模型以空间模型的形式表现出来，直观且科学，对于研究古塔的变形具有较高的科学性和说服性。

再通过三维坐标之间的回归和三维坐标与时间的回归而分析出古塔的倾斜，弯曲，扭曲等变形状况，通过数学软件的计算及列表列图的方法将结果直观体现，通过大量的计算与分析，运用几何和代数方法将古塔的变形量以数学的方式说明。

对于分析古塔变形趋势中，运用了位移差和位移残差平方公式等量及与时间的关系来说明其变形趋势。

对于问题一，通过对监测数据的分析，得出此塔为八边形的塔，并通过平均值法求出古塔各层的中心坐标，具体见表

（一）。

对于问题二，通过问题一对变形监测数据的研究和处理，我们组运用了自回归模型的方法，利用Z和X,Y之间的回归关系，我们运用数学软件计算求出a1和a2，并通过代数及其几何关系，求出每年监测出的古塔倾斜角度。

具体见图

（2）和表

（2）。

对于问题中的弯曲问题，我们用古塔的中点高度发生变化的多少来表示弯曲程度，由于弯曲程度主要是随着时间的变化而变化，所以我们用时间和变形的监测数据进行回归拟合得出△Z（表示古塔的弯曲程度），经过数学软件的大量计算，用列表的方式将每次监测所得每层的弯曲程度表示出来，具体见表（3）。

对于问题中的扭曲问题，我们用第一层作为基层，即不扭动层，其他层相对于一层扭动了多少度来说明古塔的扭曲程度。

为了这一说明，我们取每一层第一点和第五点作直线。

并将每一层的直线与第一层的直线做对比，求出两直线之间的夹角，并用此夹角来说明除第一层以外的每一层相对于第一层扭动了多少度。

以此角度大小来表现古塔扭曲程度。

具体见表（4）

对于问题三，是分析古塔的变形趋势，根据监测的变形数据和位移与时间及波动稳定性的关系，列出了一个时期对上一时期的位移差，看出古塔变形的趋势是向哪个方向，具体见图（5）。

再通过位移平方差公式，对古塔整体变形的趋势波动进行分析，并结合时间等因素推算出古塔变形趋势在增加。

具体见表（5）。

关键词：

变形数据拟合平均值自回归模型位移变化

三维坐标系数学软件几何代数方法位移差位移平方差

一、问题重述

1.1基本情况：

某古塔在我国已有上千年的历史，是我国的重点保护文物。

但由于长时间受到自重、气温、风力、地震、飓风的影响，古塔出现了各种变形，如倾斜、弯曲、扭曲等。

为保护古塔，文物部门需要适时对古塔进行观测，了解各种变形量，以制定必要的保护措施，因此管理部门委托测绘公司先后于1986年7月、1996年8月、2009年3月和2011年3月对该古塔进行了4次观测。

1.2需解决的问题:

问题一：

根据附件1提供的4次观测数据，给出确定古塔各层中心位置的通用方法，并列表给出各次测量的古塔各层中心坐标。

问题二：

利用数学模型和所得数据分析该塔倾斜、弯曲、扭曲等变形情况。

问题三：

分析该塔的变形趋势。

二、问题分析

2.1问题一的分析：

对于问题一，通过观察所给的数据，每一层的8个观测点都位于古塔的每层的八个角落。

据此，将古塔的每一层类似看做一个正八边形，可用求正八边形的中点的方法来确定古塔每一层的中点坐标。

通过所给每层的观测数据，分别求X，Y，Z坐标的平均值，近似作为古塔各层中心坐标。

2.2问题二的分析：

对于问题二，主要是研究古塔的倾斜，弯曲，扭曲等变形量，据此分三点来分析问题二。

对于倾斜，主要是三维坐标中X，Y轴对于Z轴的倾斜角度，即是对中心轴的倾斜角度，而第一题已经对每年的监测数据进行了总结，得出每次监测各层的中心坐标，故运用X，Y与Z的自回归模型，再通过代数和几何关系，求出每年古塔X，Y轴的倾斜角度，并加以说明，具体结果见表

（2）。

对于弯曲，主要是要找出能表示弯曲程度的量，经过查找变形量具体分析的资料，知道弯曲主要是中点的高度（Z）发生了变化，列出时间和每层的中心坐标的回归拟合，并且通过数学软件计算，得出弯曲程度△Z，并列出表直观说明，易于比较。

具体结果见表（3）。

对于扭曲变量，通过matlab软件做出的古塔空间图形，及查找了扭曲问题的分析的资料，我们最终采用以第一层为基层，其他层相对于古塔扭曲的度数，主要是通过每层的两个点算出每层的斜率，再通过斜率公式算出角度，以此说明古塔每次扭曲程度的变化及大小。

具体见表（4）

2.3问题三的分析：

对于该塔的变形趋势，经过第一题和第二题，已将古塔的变形位置的中心和变形量进行了具体分析。

本题要分析变形趋势，具体是从古塔各中心点在各个时期的位移变化量，通过列位移残差公式，得出该塔的变形趋势。

见图（5）。

再通过整体的位移残差平方公式，得到古塔每层在某个时期的变形趋势波动，具体见表（5）。

三、问题假设

1．假设该塔为正八边形的塔

2．假设该塔的底层不扭曲变形

3．假设监测该塔时后两次改变了监测位置

4．假设地质的变动对古塔无影响

四、建立模型及求解

（一）符号说明：

1∠A

为古塔与X轴构成的角度

2∠A

为古塔与Y轴构成的角度

3Z为中点的高度

4△Z来表示古塔的弯曲程度

5Bi为表示两直线的夹角

6△X为X轴的位置偏移量

7△Y为Y轴的位置偏移量

8△Z1为Z轴的位置偏移量

9△S2为古塔整体的位置偏移平方差

10i为古塔层数

11t为从1886年开始所经过的时间

（二）模型建立及求解

3.1对问题1的求解

根据数据中给出的各层各个点坐标的值，可把古塔的每一层类似的看成一个正八边形。

根据数学逻辑和模型，正八边形的中心坐标可用平均值法求出，故塔的中心坐标为（

）。

附件一是每次测量出的古塔的各层的各个点的坐标，通过平均值法整理数据，得出以下结果：

表

（一）

i

1986

1996

2009

2011

1

X

566.8377

566.665

566.7268

566.727

Y

522.7105

522.7102

522.7015

522.7014

Z

1.787375

1.783

1.7645

1.76325

2

X

566.7196

566.7205

566.764

566.7642

Y

522.6684

522.6674

522.6693

522.669

Z

7.32025

7.314625

7.309

7.2905

3

X

566.7735

566.7751

566.8001

566.8004

Y

522.6273

522.6256

522.6384

522.6387

Z

12.75525

12.75075

12.73225

12.72688

4

X

566.8161

566.8183

566.8293

566.8297

Y

522.5944

522.5922

522.6132

522.6127

Z

17.07825

17.07513

17.06975

17.052

5

X

566.8621

566.8649

566.8604

566.861

Y

522.5591

522.5563

522.5866

522.586

Z

21.7205

21.716

21.70938

21.70388

6

X

566.9084

566.9118

566.9471

566.9478

Y

522.5244

522.521

522.5342

522.5335

Z

26.23513

26.2295

26.211

26.2045

7

X

566.9468

566.9506

566.9792

566.98

Y

522.5081

522.5042

522.5123

522.5115

Z

29.83688

29.83225

29.82463

29.817

8

X

566.9843

566.9884

567.0305

567.0313

Y

522.4924

522.4881

522.4797

522.4788

Z

33.35088

33.34538

33.33988

33.33663

9

X

567.0218

567.0265

567.0816

567.0825

Y

522.4764

522.4714

522.4466

522.4457

Z

36.85488

36.84825

36.84375

36.82225

10

X

567.0569

567.062

567.137

567.1381

Y

522.4624

522.4572

522.3937

522.3926

Z

40.17213

40.16763

40.16113

40.14413

11

X

567.1045

567.1102

567.1799

567.181

Y

522.423

522.4173

522.3547

522.3535

Z

44.44088

44.43538

44.43263

44.42488

12

X

567.1518

567.1578

567.2225

567.2238

Y

522.3836

522.3775

522.316

522.3147

Z

48.71188

48.70738

48.69975

48.68388

13

X

567.085

567.0912

567.2712

567.2725

Y

522.7403

522.734

522.2715

522.2701

Z

52.83429

52.83

52.81838

52.81313

塔尖

X

567.2473

567.2544

567.336

567.3375

Y

522.2438

522.2367

522.2148

522.2135

Z

55.12325

55.11975

55.091

55.087

其中的X=（x1+x2+……+x8）/8得来，Y，Z值同理。

通过matlab做出古塔的模型图片：

下图

（1）

图

（1）

3.2对问题二的求解：

对于古塔的倾斜，弯曲、扭曲等变形情况的分析，第一题通过科学分析和数学逻辑思维，用平均值法对建筑物位置的监测数据进行总结，得出各个时期各个层的中心坐标值，通过这些数据，运用过对建筑物位移监测数据处理方法的研究,采用自回归模型对位移监测数据进行处理,根据建立的模型对具体建筑物的监测点的位移变化量进行预报。

经过计算分析,对古塔的变形情况进行说明。

3.2.1关于古塔的倾斜问题，我们建立了空间直角坐标（如上图1）对此进行了讨论，发现古塔与X轴构成的角度为∠A

与Y轴构成的角为∠A

。

因此建立了

i,t与

i,t、

i,t的自回归模型如下式

且∠A

=arctana1，∠A

=arctana2。

i,t=a0+a1*

i,t+a2*

i,t

从问题一中所求得的平均值可得出下图2：

1986

（1）

1996（11）

X

Y

Z

X

Y

Z

566.8377

522.7105

1.787375

566.665

522.7102

1.783

566.7196

522.6684

7.32025

566.7205

522.6674

7.314625

566.7735

522.6273

12.75525

566.7751

522.6256

12.75075

566.8161

522.5944

17.07825

566.8183

522.5922

17.07513

566.8621

522.5591

21.7205

566.8649

522.5563

21.716

566.9084

522.5244

26.23513

566.9118

522.521

26.2295

566.9468

522.5081

29.83688

566.9506

522.5042

29.83225

566.9843

522.4924

33.35088

566.9884

522.4881

33.34538

567.0218

522.4764

36.85488

567.0265

522.4714

36.84825

567.0569

522.4624

40.17213

567.062

522.4572

40.16763

567.1045

522.423

44.44088

567.1102

522.4173

44.43538

567.1518

522.3836

48.71188

567.1578

522.3775

48.70738

567.085

522.7403

52.83429

567.0912

522.734

52.83

567.2473

522.2438

55.12325

567.2544

522.2367

55.11975

a2

a1

a0

a2

a1

a0

13.15844

112.1343

-70421.4

32.12952

115.3736

-82169.8

2009（24）（11

2011（26）

X

Y

Z

X

Z

Y

566.7268

522.7015

1.7645

566.727

522.7014

1.76325

566.764

522.6693

7.309

566.7642

522.669

7.2905

566.8001

522.6384

12.73225

566.8004

522.6387

12.72688

566.8293

522.6132

17.06975

566.8297

522.6127

17.052

566.8604

522.5866

21.70938

566.861

522.586

21.70388

566.9471

522.5342

26.211

566.9478

522.5335

26.2045

566.9792

522.5123

29.82463

566.98

522.5115

29.817

567.0305

522.4797

33.33988

567.0313

522.4788

33.33663

567.0816

522.4466

36.84375

567.0825

522.4457

36.82225

567.137

522.3937

40.16113

567.1381

522.3926

40.14413

567.1799

522.3547

44.43263

567.181

522.3535

44.42488

567.2225

522.316

48.69975

567.2238

522.3147

48.68388

567.2712

522.2715

52.81838

567.2725

522.2701

52.81313

567.336

522.2148

55.091

567.3375

522.2135

55.087

a2

a1

a0

a2

a1

a0

10.62587

92.54033

-57992.7

9.617655

91.59094

-56927.7

图2

因此，在所观测的4年里古塔对于X轴和Y轴的倾斜角度如下表

（2）

1986

（1）

1996（11）

2009（24）

2011（26）

89.48905

89.5034

89.381

89.37446

85.65405

89.999

84.6236

84.064

表

（2）

由分析和计算得出每次监测时对中心轴的倾斜角度都有变大的趋势，古塔的变形不容小觑。

3.2.2弯曲

关于古塔的弯曲，我们考虑到古塔弯曲后，中点的高度会发生改变，即Z发生了变化，故我们用△Z来表示古塔的弯曲程度，即

△

=

-Z

=

+

*t

具体计算值如下表（3）

1986

（1）

1996（11）

层数

Z

△

Z

△

1

1.787375

1.788956

0.001581

1.783

1.779195

-0.0038

2

7.32025

7.32203

0.00178

7.314625

7.312763

-0.00186

3

12.75525

12.75789

0.00264

12.75075

12.74644

-0.00431

4

17.07825

17.0805

0.00225

17.07513

17.07242

-0.00271

5

21.7205

21.72117

0.00067

21.716

21.71515

-0.00085

6

26.23513

26.23764

0.00251

26.2295

26.2255

-0.004

7

29.83688

29.83794

0.00106

29.83225

29.83087

-0.00138

8

33.35088

33.35086

-2E-05

33.34538

33.34557

0.00019

9

36.85488

36.85659

0.00171

36.84825

36.84672

-0.00153

10

40.17213

40.17415

0.00202

40.16763

40.16526

-0.00237

11

44.44088

44.44093

5E-05

44.43538

44.43577

0.00039

12

48.71188

48.71395

0.00207

48.70738

48.70483

-0.00255

13

52.83429

52.83582

0.00153

52.83

52.82763

-0.00237

14

55.12325

55.12768

0.00443

55.11975

55.11221

-0.00754

2009（24）

2011（26）

层数

Z

△

Z

△

1

1.7645

1.765721

0.001221

1.76325

1.763648

0.000398

2

7.309

7.300718

-0.00828

7.2905

7.298864

0.008364

3

12.73225

12.73154

-0.00071

12.72688

12.72925

0.00237

4

17.06975

17.06191

-0.00784

17.052

17.0603

0.0083

5

21.70938

21.70732

-0.00206

21.70388

21.70612

0.00224

6

26.211

26.20971

-0.00129

26.2045

26.20729

0.00279

7

29.82463

29.82168

-0.00295

29.817

29.82027

0.00327

8

33.33988

33.3387

-0.00118

33.33663

33.33764

0.00101

9

36.84375

36.8339

-0.00985

36.82225

36.83193

0.00968

10

40.16113

40.1537

-0.00743

40.14413

40.15192

0.00779

11

44.43263

44.42905

-0.00358

44.42488

44.42802

0.00314

12

48.69975

48.69297

-0.00678

48.68388

48.69114

0.00726

13

52.81838

52.81699

-0.00139

52.81313

52.81535

0.00222

14

55.091

55.0921

0.0011

55.087

55.089

0.002

表（3）

表中表示的是古塔每次每层的中心点的变化及弯曲程度，对于1986和1996及2009和2011的比较，前者（即1986和1996）弯曲程度明显加大，这不仅由于时间长达十年的关系，还有各个方面的影响，比如倾斜，风化，地壳运动等对变形位移数据的影响，肯定的是古塔的