优化方案高中数学第二章平面向量章末优化总结新人教A版必修4.docx

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优化方案高中数学第二章平面向量章末优化总结新人教A版必修4

章末优化总结

　　）

　　　　　　　平面向量的概念与性质

理解向量、共线向量、相等向量、单位向量、向量的模、夹角等概念．突显向量“形”的特征是充分运用向量并结合数学对象的几何意义解题的重要前提．

关于平面向量a，b，c有下列三个命题：

①若b⊥c，则（a＋c）·b＝a·b；

②若a＝（1，k），b＝（－2，6），a∥b，则k＝－3；

③非零向量a和b满足|a|＝|b|＝|a－b|，则a与a＋b的夹角为60°.

其中真命题的序号为________．（写出所有真命题的序号）

[解析]　①因为b⊥c，所以b·c＝0，所以（a＋c）·b＝a·b＋c·b＝a·b；

②a∥b，且a≠0⇒b＝λa⇒＝⇒k＝－3；

③|a|＝|b|＝|a－b|⇒a，b，a－b构成等边三角形，a与a＋b的夹角应为30°.

所以真命题为①②.

[答案]　①②

　　　　　　　平面向量的线性运算

1．向量的加法、减法和数乘向量的综合运算，通常叫作向量的线性运算，主要是运用它们的运算法则、运算律，解决三点共线、两线段平行、线段相等、求点的坐标等问题．

2．理解向量的有关概念[如平行向量（共线向量）、相等与相反向量、平面向量基本定理、单位向量等]及其相应运算的几何意义，并能灵活应用基向量、平行四边形法则、三角形法则等，是求解有关向量线性运算问题的基础．

如图，在△ABC中，＝，＝，BQ与CR相交于点I，AI的延长线与边BC交于点P.

（1）用和分别表示和；

（2）如果＝＋λ＝＋μ，求实数λ和μ的值；

（3）确定点P在边BC上的位置．

[解]　

（1）由＝，可得＝＋＝－＋，又＝，所以＝＋＝－＋.

（2）将＝－＋，＝－＋，

代入＝＋λ＝＋μ，

则有＋λ＝＋μ，

即（1－λ）＋λ＝μ＋（1－μ）.

所以解得

（3）设＝m，＝n.

由

（2），知＝＋，

所以＝－＝n－＝n－＝＋

＝m＝m－m，

所以解得

所以＝，即＝2.即点P是BC上靠近点C的三等分点．

　　　　　　　平面向量的数量积

求平面向量的数量积的方法有两个：

一个是根据数量积的定义，另一个是根据坐标．定义法是a·b＝|a||b|·cosθ，其中θ为向量a，b的夹角；坐标法是a＝（x1，y1），b＝（x2，y2）时，a·b＝x1x2＋y1y2.利用数量积可以求长度，也可判断直线与直线的关系（相交的夹角以及垂直），还可以通过向量的坐标运算转化为代数问题解决．

（1）设单位向量m＝（x，y），b＝（2，－1）．若m⊥b，则|x＋2y|＝________．

（2）已知两个单位向量a，b的夹角θ为60°，c＝ta＋（1－t）b，若b·c＝0，则t＝________．

[解析]　

（1）因为单位向量m＝（x，y），

则x2＋y2＝1.①

若m⊥b，

则m·b＝0，即2x－y＝0.②

由①②解得x2＝，

所以|x|＝，|x＋2y|＝5|x|＝.

（2）法一：

因为b·c＝0，

所以b·[ta＋（1－t）b]＝0，

即ta·b＋（1－t）b2＝0.

又因为|a|＝|b|＝1，θ＝60°，

所以t＋1－t＝0，所以t＝2.

法二：

由t＋（1－t）＝1知向量a，b，c的终点A、B、C共线，在平面直角坐标系中设a＝（1，0），b＝，则c＝.

把a、b、c的坐标代入c＝ta＋（1－t）b，得t＝2.

[答案]　

（1）　

（2）2

　　　　　　　平面向量的应用

平面向量的应用主要体现在两个方面，一是在平面几何中的应用，向量的加法运算和平行，数乘向量和相似，距离、夹角和数量积之间有着密切联系，因此利用向量方法可以解决平面几何中的相关问题．二是在物理中的应用，主要是解决力、位移、速度等问题．

如图所示，G为△AOB的中线OM的中点，过点G作直线分别交OA，OB于点P，Q，设＝m，＝n，试推断＋是否为定值．

[解]　设＝a，＝b，

则＝＝

（＋）＝a＋b.

所以＝－＝a＋b－ma

＝a＋b.

＝－＝n－m＝nb－ma.

因为与共线，所以＝λ（λ∈R），

即a＋b＝λ（nb－ma）．

所以

消去λ得－m＝－⇒－1＝－.

所以＋＝4为定值．

质量m＝2.0kg的木块在平行于斜面向上的拉力F＝10N的作用下，沿斜面角θ＝30°的光滑斜面向上滑行|s|＝2.0m的距离，如图所示（g取9.8m/s2）．

（1）分别求物体所受各力在这一过程中对物体做的功；

（2）在这一过程中，物体所受各力对物体做的功的代数和是多少；

（3）求物体所受合外力对物体所做的功，并指出它与物体所受各个力对物体做功的代数和之间有什么关系．

[解]　

（1）木块受三个力的作用，重力G，拉力F和支持力FN，如题图所示，拉力F与位移s方向相同，所以拉力对木块所做的功为

WF＝F·s＝|F||s|cos0°＝20（J）．

支持力对木块所做的功为W＝FN·s＝0.

重力G对物体所做的功为

WG＝G·s＝|G||s|cos（90°＋θ）＝－19.6（J）．

（2）物体所受各力对物体做功的代数和为

W＝WF＋W＋WG＝0.4（J）．

（3）物体所受合外力的大小为|F合|＝|F|－|G|sin30°＝0.2（N）．

所以，物体所受合外力对物体所做的功为W＝F合·s＝0.4（J）．

所以，物体所受合外力对物体所做的功，与物体所受各力对物体做功的代数和相等．

1．O为平面上的一个定点，A、B、C是该平面上不共线的三点，若（－）·（＋－2）＝0，则△ABC是（　　）

A．以AB为底边的等腰三角形

B．以BC为底边的等腰三角形

C．以AB为斜边的直角三角形

D．以BC为斜边的直角三角形

解析：

选B.由题意知（－）·（＋－2）＝·（＋）＝0，如图所示，

其中＋＝2（点D为线段BC的中点），所以AD⊥BC，即AD是BC的中垂线，所以AB＝AC，即△ABC为等腰三角形．故选B.

2．已知e为单位向量，|a|＝4，a与e的夹角为π，则a在e方向上的投影为________．

解析：

根据定义知a在e方向上的投影为|a|cos＝－2.

答案：

－2

3．已知向量a＝（6，2），b＝，直线l过点A（3，－1）且与向量a＋2b垂直，则直线l的方程为________．

解析：

设B（x，y）为l上任意一点，则＝（x－3，y＋1），又a＋2b＝（6，2）＋2＝（－2，3），由题意得·（a＋2b）＝0，所以（x－3，y＋1）·（－2，3）＝－2（x－3）＋3（y＋1）＝0，即2x－3y－9＝0.

答案：

2x－3y－9＝0

4．设向量a，b满足|a|＝|b|＝1，且|2a－b|＝.

（1）求|2a－3b|的值；

（2）求3a－b与a－2b的夹角．

解：

（1）因为|2a－b|2＝4a2－4a·b＋b2

＝4－4a·b＋1＝5，

所以a·b＝0.

因为|2a－3b|2＝4a2＋9b2＝4＋9＝13，

所以|2a－3b|＝.

（2）设3a－b与a－2b的夹角为θ，

则cosθ＝＝＝＝，

又因为θ∈[0，π]，所以θ＝为所求．

5．如图，平行四边形ABCD中，＝a，＝b，H、M分别是AD、DC的中点，BC上一点F使BF＝BC.

（1）以a、b为基底表示向量与；

（2）若|a|＝3，|b|＝4，a与b的夹角为120°，求·.

解：

（1）由已知得＝＋＝a＋b.

＝＋＋＝b＋a＋（－b）＝a－b.

（2）由已知得a·b＝|a||b|cos120°＝3×4×（－）

＝－6，

从而·＝（a＋b）·（a－b）＝|a|2＋a·b－|b|2＝×32＋×（－6）－×42＝－.

　　[学生用书单独成册]）

（时间：

100分钟，分数：

120分）

一、选择题（本大题共有10小题，每小题4分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．下列说法正确的是（　　）

A．共线向量的方向相同

B．零向量是0

C．长度相等的向量叫做相等向量

D．共线向量是在一条直线上的向量

解析：

选B.对A，共线向量的方向相同或相反，错误；对B，零向量是0，正确；对C，方向相同且长度相等的向量叫做相等向量，错误；对D，共线向量所在直线可能平行，也可能重合，错误．故选B.

2．已知A、B、D三点共线，存在点C，满足＝＋λ，则λ＝（　　）

A.B．

C．－D．－

解析：

选C.因为A，B，D三点共线，所以存在实数t，使＝t，则－＝t（－），即＝＋t（－）＝（1－t）＋t，所以即λ＝－.

3．已知向量a＝（1，2），b＝（1，0），c＝（3，4）．若λ为实数，（a＋λb）∥c，则λ＝（　　）

A.B．

C．1D．2

解析：

选B.a＋λb＝（1＋λ，2），由（a＋λb）∥c得（1＋λ）×4－3×2＝0，所以λ＝.

4．已知点O，N在△ABC所在平面内，且||＝||＝||，＋＋＝0，则点O，N依次是△ABC的（　　）

A．重心，外心B．重心，内心

C．外心，重心D．外心，内心

解析：

选C.由||＝||＝||知，O为△ABC的外心；由＋＋＝0，得＝＋，取BC边的中点D，则＝＋＝2，知A、N、D三点共线，且AN＝2ND，故点N是△ABC的重心．

5．已知向量a＝（cosθ，sinθ），其中θ∈，b＝（0，－1），则a与b的夹角等于（　　）

A．θ－B．＋θ

C.－θD．θ

解析：

选C.设a与b的夹角为α，a·b＝cosθ·0＋sinθ·（－1）＝－sinθ，|a|＝1，|b|＝1，所以cosα＝＝－sinθ＝cos（－θ），因为θ∈，α∈[0，π]，

y＝cosx在[0，π]上是递减的，所以α＝－θ，故选C.

6．已知等边三角形ABC的边长为1，＝a，＝b，＝c，则a·b－b·c－c·a等于（　　）

A．－B．

C．－D．

解析：

选D.由平面向量的数量积的定义知，

a·b－b·c－c·a＝|a||b|cos（π－C）－|b||c|cos（π－A）－|c||a|cos（π－B）

＝cos（π－C）－cos（π－A）－cos（π－B）＝－cosC＋cosA＋cosB＝cos60°＝.故选D.

7．已知平面向量a，b，|a|＝1，|b|＝，且|2a＋b|＝，则向量a与向量a＋b的夹角为（　　）

A.B．

C.D．π

解析：

选B.因为|2a＋b|2＝4|a|2＋4a·b＋|b|2＝7，|a|＝1，|b|＝，

所以4＋4a·b＋3＝7，a·b＝0，所以a⊥b.如图所示，a与a＋b的夹角为∠COA，因为tan∠COA＝＝，

所以∠COA＝，即a与a＋b的夹角为.

8．在△ABC中，∠BAC＝60°，AB＝2，AC＝1，E，F为边BC的三等分点，则·＝（　　）

A.B．

C.D．

解析：

选A.依题意，不妨设＝，＝2，则有－＝（－），

即＝＋；

－＝2（－），即＝＋.

所以·＝（＋）·（＋）

＝（2＋）·（＋2）

＝（22＋22＋5·）

＝（2×22＋2×12＋5×2×1×cos60°）＝，故选A.

9．已知非零向量a，b，c满足a＋b＋c＝0，向量a，b的夹角为60°，且|b|＝|a|＝1，则向量a与c的夹角为（　　）

A．60°B．30°

C．120°D．150°

解析：

选D.因为a＋b＋c＝0，所以c＝－（a＋b），

所以|c|2＝（a＋b）2＝a2＋b2＋2a·b＝2＋2cos60°＝3，所以|c|＝.

又c·a＝－（a＋b）·a＝－a2－a·b＝－1－cos60°＝－，

设向量c与a的夹角为θ，则cosθ＝＝＝－，

因为0°≤θ≤180°，所以θ＝150°.

10．在△ABC中，AC＝6，BC＝7，cosA＝，O