数值分析典型例题.docx

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数值分析典型例题

第一章典型例题

例3…，精确到10_3的近似值是多少？

解精确到10_3=0.001，即绝对误差限是=0.0005,故至少要保留小数点后三位才可以。

ln2:

0.693

第二章典型例题

例1用顺序消去法解线性方程组

解顺序消元

于是有同解方程组

回代得解

X3二一1,X2=1,Xl=1,原线性方程组的解为X=（1,1,—1）T

例2取初始向量乂0）=（0,0,0）T,用雅可比迭代法求解线性方程组解建立迭代格式

X1&=-2x2k）+2x3k）+1

“严=—x1k）—x3k）+3（k=1,2,3,…）

x3f=-2x1k）—2x2k）+5

第1次迭代,k=0

X0）=0,得至yX

（1）=（1,3,5）T

第2次迭代，k=1

X2）=（5,—3,—3）t

第3次迭代，k=2

乂3）=（1,1,1）T

第4次迭代，k=3

X⑷=（1,1,1）

例4证明例2的线性方程组，雅可比迭代法收敛，而高斯-赛德尔迭代法发散。

证明例2中线性方程组的系数矩阵为

j

A=1

-2〕

1

1

于是

■1

D=0

■0

01

0

1

■0

1

】2

■0

0

'0

-21

1

0

2

雅可比迭代矩阵为

j

—d」（L+U）=—0

OU。

0

1

1

I2

-2【

1

0

■0

1

'2

-2[

1

0

得到矩阵B0的特征根為,2,3=0，根据迭代基本定理4,雅可比迭代法收敛。

高斯-赛德尔迭代矩阵为

G=-（DL）'U

■1

0

01

"_0

2

-21

_1

0

0[「0

2

-21

■0

2-2[

=—

1

1

0

0

0

1

=—

-1

1

0

0

0

1

=—

0

-2

3

2

2

1一

0

0

0一

0

-2

1

'0

0

0

Ii

0

0

-2

解得特征根为：

1=0,23=2。

由迭代基本定理4知，高斯—赛德尔迭代发散

例5填空选择题：

1.用高斯列主元消去法解线性方程组

作第1次消元后的第2,3个方程分别

为。

答案:

严-0.5X3=-1.5

口-2x2+1.5x3=3.5

解答选a2i=2为主元，作行互换，第1个方程变为：

2xi+2x2+3x3=3，消元得到

是应填写的内容。

3.用高斯-赛德尔迭代法解线性方程组

的迭代格式中x2k1）=（k=0,1,2,…）

答案：

3—xF1）—x3k）

X2的值

解答：

高斯-赛德尔迭代法就是充分利用已经得到的结果，求时应该用上xi的新值。

第三章典型例题

例1已知函数y=f（x）的观察数据为

Xk

—2

0

4

5

yk

5

1

—3

1

试构造拉格朗日插值多项式Pn（x），并计算f（-1）的近似值

［只给4对数据，求得的多项式不超过3次］

解先构造基函数

所求三次多项式为

n

P3（X）八yJk（x）

k=0

=_、x（x-）（x7+（xJ（x-：

）（x7

S440

—（3^x（x+2）（x—5）+（x+2）x（x

24

35

=-xx，x1

421421

f（—1）卩3（—1）=

42

MT

例3设xjx」x：

...,xn是n+1个互异的插值节点，Ik（x）（k=n）是拉格

朗日插值基函数，证明:

nn

（1）'lk（x）三

（2）、lk（x）xm三xm（m=J：

...,n）

ky.

n

证明

（1）Pn（x）=yolo（x）+yili（x）+…+ynln（x）二'yJk（X）

当f（x）:

1时，

kf（n+）（S

1=Pn（x）Rn（X）=\_Mk（X）—Fn（X）

y.（n-）!

-

——n

由于f（no（x）Y,故有'Tk（x）"

k=0

（2）对于f（x）二xmn=0,1,2,…，n,对固定x^O?

mn）,作拉格朗日插值多项式，有

当n>mn1时，f（n+1）（x）=0,Rn（x）=0，所以

注意：

对于次数不超过n的多项式Qn（x）二anxn-a^x^..axa「，利用上结果，有

nn—nn

=a「Tk（x）x：

an_i、lk（x）xj-…a「Tk（x）Xk

k£k^.kk<

nn

=lk（x）[anXn-anJX?

J...aXka。

]=Qn（Xk）lk（x）

k=0k=0

n

上式-Qn（Xk）lk（x）正是Q（x）的拉格朗日插值多项式。

可见，Q（x）的拉格朗

k=0

日插值多项式就是它自身，即次数不超过n的多项式在n+1个互异节点处的拉格朗日插值多项式就是它自身。

例5已知数据如表的第2,3列，试用直线拟合这组数据。

解计算列入表中。

n=5。

a。

a满足的法方程组是

k

Xk

yk

Xkyk

1

1

4

1

4

2

2

4.5

4

9

3

3

6

9

18

4

4

8

16

32

5

5

8.5

25

42.5

9

15

31

55

105.

5

解得a°=2.45,a=1.25。

所求拟合直线方程为y=2.45+1.25x

例6选择填空题

1.设y=f（x）,只要xo,xi,x2是互不相同的3个值，那么满足Rxk）二yk（k=0,1,2）的f（x）的插值多项式Rx）是（就唯一性回答问

题）

答案：

唯一的

3.拉格朗日插值多项式的余项是（）,牛顿插值多项式的余项是

（A）

Rn（X）二f（X）-巳仪）二

：

（n

（n-）!

''n<（x）

（B）f（x,Xo,Xi,X2,…，Xn）（x—Xl）（x—X2）--（x—Xn_1）（x—Xn）

（C）

Rn（X）二f（X）-巳（刈二

fW）（）

（n-）!

（D）f（X,Xo,Xi,X2,…，Xn）（x—Xo）（x—Xi）（X—X2）--（X—Xn-i）（x—Xn）

答案：

（A）,（D）。

见教材有关公式

第四章典型例题

例1试确定求积公式「f（x）dx：

f（

丄）•f（丄）的代数精度。

V3V3

［依定义，对xk（k=0,1,2,3,…），找公式精确成立的k数值］

解当f（x）取1,x,x2,…时，计算求积公式何时精确成立。

（1）取f（x）=1,有

左边=[f（x）dx二】dx二:

右边=f

（一）f

（一）=11=..

」JV3y/3

（2）取f（x）=x,有

左边=：

f（x）dx二工dx=〔,右边=f（

-1-1

f（——）二一——二匚

（3）取f（x）=x2,有

左边=右边=f（_Jf（

（4）取f（x）=x3,有

左边=[f（x）dx二xNx」,右边=f（rL）•f（-）•（丄）'=[.JJV3V3心V3

（5）取f（x）=x4,有

11t1

左边二.f（x）dx=xdx-

—1—14

右边=f（

1

73

）f（.J（

当k：

3求积公式精确成立，而x4公式不成立，可见该求积公式具有3

次代数。

例5试确定求积公式hf（x）dx：

•』［f（0）f（h）］ah2［f（0）-f（h）］中的参数a,02

并证明该求积公式具有三次代数精度。

解公式中只有一个待定参数a。

当f（x）=1,x时，有

h

jd^-[i1]0,即h=h

hhn八h2h2

xldx[0h]ah2（1-1）,-0222

不能确定a,再令f（x）=x2,代入求积公式，得到

h33

2ah3

32

hhh2

.求积公式为f（x）dx：

h[f（O）f（h）]丄[f（O）—f（h）]

10212

将f（x）=x3代入上求积公式，有

3h2h22h3

x2dx[0h2]ah2（20—2h）,即=

023

1

得a=—

12

可见，该求积公式至少具有三次代数精度。

再将f（x）=x4代入上公式中,

所以该求积公式具有三次代数精度。

例6选择填空题

1.牛顿-科茨求积公式与高斯型求积公式的关键不同点是。

解答：

牛顿-科茨求积公式的节点和求积系数确定后，再估计其精度；高斯型求积公式是由精度确定其节点和求积系数。

第五章典型例题

例1证明方程1-x—sinx=0在区间［0,1］内有一个根，使用二分法求误

差不超过0.5x10—4的根要迭代多少次？

证明令f（x）=1—x—sinx

vf（0）=1>0,f

（1）=—sin1<0

二f（x）=1—x—sinx=0在［0,1］有根。

又

f：

（x）=1—cosx>0（x：

［0,1］）,故f（x）=0在区间［0,1］内有唯一实根。

给定误差限0.5x10—4,有

只要取n=14。

例2用迭代法求方程x5—4x—2=0的最小正根。

计算过程保留4位小数。

［分析］容易判断［1，2］是方程的有根区间。

若建立迭代格式x=&^,即®（x）=汪三qr（x）=士：

迂（1,3），此时迭代发散。

444

建立迭代格式x=5/4x+2,®（x）=^4x+2,A（x）=,4=/（1兰x兰2），此时迭

5#（4x+2）45

代收敛。

解建立迭代格式

p"（x）=—c《（im））,取初始值x°=i（可任取1，2之间的值）

5*4x+2）45

x八x「「="1.4310x、-：

"x「二'.31.5051

x；八x〕=“」］〔；*1.5165x：

-：

「二'.：

：

｛*；1.5182

x、=:

x：

二=?

=1.5185

取x1.5185

例3试建立计算?

a的牛顿迭代格式，并求［二.-的近似值，要求迭代误差不超过10—5

［分析］首先建立迭代格式。

确定取几位小数，求到两个近似解之差的绝对值不超过10—5。

解令x=-：

a,f（x）=x—a=〔•，求x的值。

牛顿迭代格式为

迭代误差不超过10—5，计算结果应保留小数点后6位。

当x=7或8时，x3=343或512，f（）f（P而f（）f（0,取x°=8,有

XX「旦二一二.■?

7.478078

X--；3s<-

XX」..7.439956

X..-^i；-

x—.7.439760

.：

-乂.：

：

.：

m'

x干.—「：

.

—「；7.439760

于是，取X7.439760

例4用弦截法求方程

2—1=0,在x=1.5附近的根。

计算中保留5

位小数点。

［分析］先确定有根区间。

再代公式。

解f（x）=X3—X2—1,f

（1）=—1,f

（2）=3，有根区间取［1,2］

取xi=1,迭代公式为

X「7「f（Xn）f（Xf（xJXn-X」（n=1,2,…）

1jS1*当？

一1

"―二―C）“37662

\「二一」「二一二J.j"48881

（「y二）1.46348

1.：

二人-..--.

.c一［八弋］-］（-._，一、_-.”仁46553

取X1.46553,f（1.46553）：

—0.000145

例4选择填空题

1.设函数f（x）在区间［a,b］上连续，若满足

，则

方程f（x）=0在区间［a,b］一定有实根

答案：

f（a）f（b）<0

4.牛顿切线法是用曲线f（x）上的与x轴的交点的横坐标逐

步逼近f（x）=0的解；而弦截法是用曲线f（x）上的与x轴

的交点的横坐标逐步逼近f（x）=0的解。

答案：

点的切线；两点的连线

解答：

见它们的公式推导.