平面向量知识点+练习.docx
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平面向量知识点+练习
平面向量
平而向量知识点总结归纳
向1■:
貶有大小、又有方向的皐，数量：
只有大小，没有方向的量.有向线威的三灵素；起点*方向、长夏”零向量.土长度为0的向量.
单位向量：
七岌等于1个单位的向量.
平行向星（共發向量h方向村同或相反的非零向星*零向量与任一向量平行*相等向量;底度相零且方向相同的向量*
2、向量址法运算：
1；三角形法飓的特点：
苜.宅用连.
（?
评厅四边珈法則的特也共牴点.
（3）三角形不尊式，阿-|5||<|a+S|<|a|+|fr
⑷运篦性质’①交换律士5+b=b+3；②结合律’
q—b=AO—AB二BC
⑸坐标运算：
设方=（两』J,b=（x；Jy:
）,则万+&二（西+阳,片+力）*
3、向量减法运算：
⑴三角形法则的特点’共起点，连终点，方向指向被减向量.
⑵坐标运算：
设方=（%』）『b=（x;jy2）贝']5-^=（^-x2,ji-y2）*
设A、B两点的坐标分别为（x1：
vj,（忑，必），则AB=（x1-r,5>1-v2）.
4、向量数乘运算：
⑴实数2与向量&的积是一个向量的运算叫做向量的数乘，记作2刁.
1|衍=|刀问；
2当&>0时，2方的方向与刁的方向用同；当时，巫的方向与刁的方向相反；当几・0时，25=0.
（2）运算律：
①几（0）=（弘）刁；②（几4〃）&=衍4“刁；③兄（N十5）■衍十筋.⑶坐标运算：
设&二（x,y）,则AaA（x,y）=（Ar,Ay）.
5、向量共线定理：
向量5（5^6）与厶共线，当且仅当有唯一一个实数a,使5=彼・
设方=（»必），^=（x25y2）,其中b*0,则当旦仅当工』2-“'1=°时，向量万、5何疝）共线.
•W
6、平面向量基本定理，如果&、云是同一平面内的两个不共线向量.那么对于这一平面内的任意向童d,有且只有一对实数力、心，使&=凡石+人&・（不共线的向量石、云作为这一平面内所有向量的一组基底）
7、分点坐标公式：
设点P是线段P：
P；上的一点，P】、P2的坐标分别是（五』），（埶,北），当丽=莎时，•点P的坐标是「吐匹.吐鱼）.
I1+21+2丿
&平面向量的数量积：
Wa-b=a\bcos0（3=6.5工6.0：
S0S18O）零向量与任一向量的数量积为0・⑵性质：
设刁和5都是非零向量，贝!
J①N丄b^>ab~0・②当〃与5同向时，a-b~\a\\b\；当尬与5反向时，刁必一同冋；55-a2-|a2或同=妬万・③R问S问b・
（3）运算律：
①航:
②（彷）=兄@•可=乳（力）：
®（a4-S）.c=a.e+^.c・⑷坐标运算：
设两个非零向董a=（x},y\）f了=（花,必），则ab=x）x?
^y\y2-
若a=（x9y）r则\a[=x2+y2,或\a\=+y2,
设7=（丙」1）,b—[x2ly^f则方丄S+”乃二0’
设乳F薛是非零向量，3=GvyJ,i=（A3,y=）x0是方与/的夹角，贝『
—同卩「內血页丁
.选择题（共10小题）
，则|r+2l・|=（）
设向量S丨・，满足|1|=|1・|=1,r?
■=
A.
3.
设D为△ABC所在平面内一点，|-：
贝U（）
4.
A.
已知点A（0，1），B（3,2），向量M=（-4，-3），则向量歐=（
2+卩的值为（）
（-7，-4）B.（7,4）C.（-1,4）D.（1,4）
A.丄B.C.D.1
234
7.设方=（1,2）,b=（1,1）,亡=®+kb,若b丄c,则实数k的值等于（）
A.-”B.-丄C.丄D.二
8•设四边形ABCD为平行四边形，|叫=6,|「i|=4,若点M、N满足F-f'1',
■r/',则丁和i"=（）
A.20B.15C.9D.6
9.设D为AABC所在平面内一点，，若『=入「（疋R）,则
入=）
A.2B.3C.-2D.-3
10.设D,E,F分别为△ABC的三边BC,CAAB的中点，贝■■+'=（）
二.填空题（共10小题）
11.已知向量-=（2,1）,-■=（1,-2）,若myn=（9,-8）（m,n€R）,
贝Um-n的值为.
12.已知向量匚丄―，「二|=3,贝UL?
•二.
13.如图,在平行四边形ABCD中,已知AB=8,AD=5,''=31,「？
1「=2,
则。
？
小的值是.
丄£严
14.已知两个单位向量已，b的夹角为60°c=恰+（1-t）b.若习?
e=0,
则t=.
15.设向量二⑴E⑵3〉，若向量几赢与向量c=（-4,-了）共线，
则入二.
16.已知向量二I夹角为45°且|1|=1,|2^-b|=V10,则国I=.
17.已知3=（-3,4）,若|b|=1,b丄3，则b=.
18.设x,y€R,向量口=（x,2）,耐=（1,y）,匚=（2,-6）,且已丄2
//匚，贝U|&+b|=.
19.与向量'I.:
平行的单位向量为
20
.如图，△ABC中，AC=3,BC=4/C=90°,D是BC的中点，贝的
三.解答题（共10小题）
7T
x€（0,—）.
（1）若|丄||,求tanx的值;
（2）若|与||的夹角为
求x的值.
22.已知向量a=（Sin（a-^-）,3）,b=（1,4cosa,a€（0,n）.
tana的值;
（2）若「I//I，,求a的值.
23.已知向量J=（2cosx,1）,向量l'=（cosx,.「；sin2x）,设函数f（x）=r
■,x€R
（I）求函数f（x）的最小正周期；
（U）当x€[—,—]时，求函数f（x）的值域.
24•锐角三角形的三内角A,B,C所对边的长分别为a,b,c,设向量i=（2c,
b-a）,n=（2a+2b,c-a）,若比//n.
（1）求角B的大小；
（2）求sinA+sinC的取值范围.
25.在平面直角坐标系xoy中，已知点A（1,4）,B（-2,3）,C（2,-1）.
（I）求5「及、'；
（U）设实数t满足（「-十1'）!
'■,求t的值.
26•设两个非零向量匚与h不共线.
（1）
D三点共线;
若ABf+B,BC=2合+8b,CD=3（#-b）.求证：
A,B,
（2）试确定实数k,使和-;+k〔共线.
27•已知向量雨=（2,1）,BC=（-1,k）,CD=（3,4）.
（I）若（4,6）,求k的值;
（U）若A,C,D三点共线，求k的值.
且A为锐角.
（4,1）
28.已知向量nr=（sinA,cosA）,n=（庶，—1）,it?
门=1,
（1）求角A的大小；
（2）求函数f（x）=cos2x+4cosAsinx（x€R）的值域.
29.已知向量H=（sinx,十），b=（cosx,—1）,
（I）当I：
i//^时，求tan2x的值；
（U）求函数f（x）=（宀+■）?
■在［——,0］上的值域.
30.已知平面内三个向量：
y（3,2）,：
'=（—1,2）,'
（1）若（目+kc）/（2%-巧，求实数k的值；
（U）设d=（x,y）,且满足（刃+b）丄（/-匚），|d-冏|，求d.
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