小学数学解题思路大全式题的巧解妙算.docx
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小学数学解题思路大全式题的巧解妙算
小學數學解題思路大全:
式題的巧解妙算
1.特殊數題
(1)21-12
當被減數和減數個位和十位上的數字(零除外)交叉相等時,其差為被減數與減數十位數字的差乘以9。
因為這樣的兩位數減法,最低起點是21-12,差為9,即(2-1)×9。
減數增加1,其差也就相應地增加了一個9,故31-13=(3-1)×9=18。
減數從12—89,都可類推。
被減數和減數同時擴大(或縮小)十倍、百倍、千倍……,常數9也相應地擴大(或縮小)相同的倍數,其差不變。
如
210-120=(2-1)×90=90,
0.65-0.56=(6-5)×0.09=0.09。
(2)31×51
個位數字都是1,十位數字的和小於10的兩位數相乘,其積的前兩位是十位數字的積,後兩位是十位數字的和同1連在一起的數。
若十位數字的和滿10,進1。
如
證明:
(10a+1)(10b+1)
=100ab+10a+10b+1 =100ab+10(a+b)+1
(3)26×86
42×62
個位數字相同,十位數字和是10的兩位數相乘,十位數字的積與個位數字的和為積的前兩位數,後兩位是個位數的積。
若個位數的積是一位數,前面補0。
證明:
(10a+c)(10b+c) =100ab+10c(a+b)+cc =100(ab+c)+cc
(a+b=10)。
(4)17×19
十幾乘以十幾,任意一乘數與另一乘數的個位數之和乘以10,加個位數的積。
原式=(17+9)×10+7×9=323
證明:
(10+a)(10+b) =100+10a+10b+ab =[(10+a)+b]×10+ab。
(5)63×69
十位數字相同,個位數字不同的兩位數相乘,用一個乘數與另個乘數的個位數之和乘以十位數字,再乘以10,加個位數的積。
原式=(63+9)×6×10+3×9 =72×60+27=4347。
證明:
(10a+c)(10a+d) =100aa+10ac+10ad+cd =10a[(10a+c)+d]+cd。
(6)83×87
十位數字相同,個位數字的和為10,用十位數字加1的和乘以十位數字的積為前兩位數,後兩位是個位數的積。
如
證明:
(10a+c)(10a+d) =100aa+10a(c+d)+cd =100a(a+1)+cd(c+d=10)。
(7)38×22
十位數字的差是1,個位數字的和是10且乘數的個位數字與十位數字相同的兩位數相乘,積為被乘數的十位數與個位數的平方差。
原式=(30+8)×(30-8) =302-82=836。
(8)88×37
被乘數首尾相同,乘數首尾的和是10的兩位數相乘,乘數十位數字與1的和乘以被乘數的相同數字,是積的前兩位數,後兩位是個位數的積。
(9)36×15
乘數是15的兩位數相乘。
被乘數是偶數時,積為被乘數與其一半的和乘以10;是奇數時,積為被乘數加上它本身減去1後的一半,和的後面添個5。
=54×10=540。
55×15
(10)125×101
三位數乘以101,積為被乘數與它的百位數字的和,接寫它的後兩位數。
125+1=126。
原式=12625。
再如348×101,因為348+3=351,
原式=35148。
(11)84×49
一個數乘以49,把這個數乘以100,除以2,再減去這個數。
原式=8400÷2-84 =4200-84=4116。
(12)85×99
兩位數乘以9、99、999、…。
在被乘數的後面添上和乘數中9的個數一樣多的0、再減去被乘數。
原式=8500-85=8415
不難看出這類題的積:
最高位上的兩位數(或一位數),是被乘數與1的差;
最低位上的兩位數,是100與被乘數的差;
中間數字是9,其個數是乘數中9的個數與2的差。
證明:
設任意兩位數的個位數字為b、十位數字為a(a≠0),則
如果被乘數的個位數是1,例如
31×999
在999前面添30為30999,再減去30,結果為30969。
71×9999=709999-70=709929。
這是因為任何一個末位為1的兩位自然數都可表示為(10a+1)的形式,由9組成的自然數可表示為(10n-1)的形式,其積為
(10a+1)(10n-1)=10n+1a+(10n-1)-10a。
(13)1÷19
這是一道頗為繁複的計算題。
原式=0.0526321。
根據「如果被除數不變,除數擴大(或縮小)若干倍,商反而縮小(或擴大)相同倍」和「商不變」性質,可很方便算出結果。
原式轉化為0.1÷1.9,把1.9看作2,計算程式:
(1)先用0.1÷2=0.05。
(2)把商向右移動一位,寫到被除數裏,繼續除
如此除到循環為止。
仔細分析這個算式:
加號前面的0.05是0.1÷2的商,後面的0.05×0.1÷1.9中0.05×0.1=0.005,就是把商向右移動一位寫到被除數裏,除以1.9。
這樣我們又可把除數看作2繼續除,依此類推。
除數末位是9,都可用此法計算。
例如1÷29,用0.1÷3計算。
1÷399,用0.1÷40計算。
2.估算
數學素養與能力(含估算能力)的強弱,直接影響到人們的生活節奏和工作、學習、科研效率。
已經引起世界有關專家、學者的重視,是個亟待研究的課題。
美國數學督導委員會,提出的12種面向全體學生的基本數學能力中,第6種能力即估算:
「學生應會通過心算或使用各種估算技巧快速進行近似計算。
當解題或購物中需要計算時,估算可以用於考查合理性。
檢驗預測或作出決定……」
(1)最高位估算
只計算式中幾個運算數字的最高位的結果,估算整個算式的值大概在什麼範圍。
例1
1137+5044-3169
最高位之和1+5-3=3,結果在3000左右。
如果因為忽視小數點而算成560,依據「一個不等於零的數乘以真分數,積必小於被乘數」估算,錯誤立即暴露。
例3
51.9×1.51
整體思考。
因為
51.9≈50, 而50×1.51≈50×1.5=75, 又51.9>50,1.51>1.5,
所以51.9×1.51>75。
另外9×1=9, 所以原式結果大致是75多一點,三位小數的末位數字是9。
例4
3279÷79
把3279和79,看作3200和80。
準確商接近40,若相差較大,則是錯的。
(2)最低位估算
例如,6403+232+1578
3+2+8=13,原式和的末位必是3。
(3)規律估算
和大於每一個加數;
兩個真分數(或純小數)的和小於2;
一個真分數與一個帶分數(或一個純小數與一個帶小數)的和大於這個帶分數(或帶小數),且小於這個帶分數(或帶小數)的整數部分與2的和;
兩個帶分數(或帶小數)的和總是大於兩個帶分數(或帶小數)整數部分的和,且小於這兩個整數部分的和加上2;
奇數±奇數=偶數,偶數±偶數=偶數,奇數±偶數=奇數;
差總是小於被減數;
整數與帶分數(或帶小數)的差小於整數與帶分數(或帶小數)的整數部分的差;帶分數(或帶小數),與整數的差大於帶分數(或帶小數)的整數部分與整數的差。
帶分數(或帶小數)與真分數(或純小數)的差小於這個帶分數(或帶小數),且大於帶分數(或帶小數)減去1的差;
帶分數與帶分數(或帶小數與帶小數)的差小於被減數與減數的整數部分的差,且大於這個差減去1;
如果兩個因數都小於1,則積小於任意一個因數;
若兩個因數都大於1,則積大於任意一個因數;
帶分數與帶分數(或帶小數與帶小數)的積大於兩個因數的整數部分的積,且小於這兩個整數部分分別加1後相乘的積;
例如,
A<AB<B。
奇數×偶數=偶數,偶數×偶數=偶數;
若除數<1,則商>被除數;
若除數>1,則商<被除數;
若被除數>除數,則商>1;
若被除數<除數,則商<1。
(4)位數估算
整數減去小數,差的小數位數等於減數的小數位數;例如,320-0.68,差為兩位小數。
最高位的乘積滿十的兩個整數相乘的積的位數,等於這兩個數的位數和;
例如,451×7103
最高位的積4×7=28,滿10,結果是3+4=7(位數)。
在整除的情況下,被除數的前幾位不夠除,商的位數等於被除數的位數減去除數的位數;
例如,147342÷27
14不夠27除,商是4-2=2(位數)。
被除數的前幾位夠除,商的位數等於被除數的位數與除數位數的差加上1。
例如,30226÷238
302夠238除,商是5-3+1=3(位數)。
(5)取整估算
把接近整數或整十、整百、……的數,看作整數,或整十、整百…的數估算。
如1.98+0.97≈2+1,和定小於3。
12×8.5≈10×10,積接近100。
3.並項式
應用交換律、結合律,把能湊整的數先並起來或去括號。
例1
3.34+12.96+6.66
=12.96+(3.34+6.66)
=12.96+10=22.96 =3-3=0
例3
15.74-(8.52+3.74) =15.74-3.74-8.52 =12-8.52=3.48
例4
1600÷(400÷7) =1600÷400×7 =4×7 =28
4.提取式
根據乘法分配律,可逆聯想。
=(3.25+6.75)×0.4=10×0.4 =4
5.合乘式
=87.5×10×1=875
=8-7=1
6.擴縮式
例11.6×16+0.4×36
=0.4×(64+36) =0.4×100=40
例216×45
7.分解式
例如,14×72+42×76 =14×3×24+42×76 =42×(24+76) =42×100=4200
8.約分式
=3×7×2=42
例2169÷4÷7×28÷13
=1988
例71988198********8÷198********91989被除數與除數,分別除
9.拆分式
10.拆積式
例如,32×1.25×25 =8×1.25×(4×25) =10×100=1000
11.換和式
例10.1257×8 =(0.125+0.0007)×8 =1+0.0056=1.0056
例48.37-5.68 =(8.37+0.32)-(5.68+0.32) =8.69-6=2.69
12.換差式
13.換乘式
例1123+234+345+456+567+678 =(123+678)×3 =801×3=2403
例2(6.72+6.72+6.72+6.72)×25 =6.72×(4×25)=672
例345000÷8÷125 =45000÷(8×125) =45000÷1000=45
例49.728÷3.2÷25 =9.728÷(0.8×4×25) =9.728÷80
=0.9728÷8=0.1216
例533333×33333 =11111×99999 =11111×(100000-1)
=1111100000-11111 =1111088889
綜合應用,例如
=1000+7=1007
=(11.75+1.25-4.15-0.85)×125.25(轉) =[(11.75+1.25)-(4.15+0.85)]×125.25(合)
=8×125.25 =8×(125+0.25)(拆) =8×125+8×0.25=1002
14.換除式
例如,5600÷(25×7) =5600÷7÷25 =800÷25=32
15.直接除
17.以乘代加
例17+4+5+2+3+6 =9×3=27
如果兩個分數的分子相同,且等於分母之和(或差),那麽這兩個分數的和(或差)等於它們的積。
18.以乘代減
知,兩個分數的分子都是1,分母是連續自然數,其差等於其積。
可見,各分數的分子都是1。
第一個減數的分母等於被減數的分母加1。
第二個減數的分母等於被減數的分母與第一個減數的分母的積加1,第n個減數的分母等於被減數的分母與第一、二、……第n-1個減數的分母的連乘積加上1。
(n爲不小於2的自然數)其差等於其積
19.以加代乘
一個整數與一個整數部分和分子都是1,分母比整數(另個乘數)小1
20.以除代乘
例如,25×123678448 =123678448×(100÷4) =12367844800÷4
=3091961200
21.以減代除
=1986-662=1324
3510÷15
=(3510-1170)÷10=234