函数的表示法2分段函数.docx

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函数的表示法2分段函数

分段函数

Q

某魔术师猜牌的表演过程是这样的，表演者手中持有六张扑克牌，不含王牌和牌号数相同的牌，让6位观众每人从他手里任摸一张，并嘱咐摸牌时看清和记住自己的牌号，牌号数是这样规定的，A为1，J为11，Q为12，K为13，其余的以牌上的数字为准，然后，表演者让他们按如下的方法进行计算，将自己的牌号乘2加3后乘5，再减去25，把计算结果告诉表演者（要求数值绝对准确），表演者便能立即准确地猜出谁拿的是什么牌，你能说出其中的道理吗？

分段函数

所谓分段函数，是指在定义域的不同部分，有不同的对应关系的函数．

[知识点拨]　分段函数是一个函数，不要把它误认为是几个函数．分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集．

预习自测

1．函数y＝|x|的图象是（　B　）

[解析]　因为y＝|x|＝

所以B选项正确．

2．y＝f（x）的图象如图所示，则函数的定义域是（　D　）

A．[－5,6）　　　　　　B．[－5,0]∪[2,6]

C．[－5,0）∪[2,6）D．[－5,0]∪[2,6）

[解析]　根据分段函数定义域的确定原则：

将每一段上函数的自变量的范围取并集，即：

[－5,0]∪[2,6）．

3．设f（x）＝

g（x）＝

则f[g（π）]的值为（　B　）

A．1　　　　　　　　　　B．0

C．－1D．π

[解析]　由题设，g（π）＝0，f（g（π））＝f（0）＝0.

4．已知函数f（x）＝

求f（f（

））的值.

[解析]　f（

）＝

×2－3＝－2，

f（－2）＝2×（－2）＋3＝－1，

∴f（f（

））＝f（－2）＝－1.

命题方向1　⇨分段函数的求值问题

典例1已知函数f（x）＝

（1）求f（－4），f（3），f[f（－2）]；

（2）若f（a）＝10，求a的值.

[思路分析]　分段函数的解析式⇒求函数值或已知函数值列方程求字母的值．

[解析]　

（1）f（－4）＝－4＋2＝－2，

f（3）＝2×3＝6，f（－2）＝－2＋2＝0，

f[f（－2）]＝f（0）＝02＝0.

（2）当a≤－1时，a＋2＝10，可得a＝8，不符合题意；

当－1

，不符合题意；

当a≥2时，2a＝10，可得a＝5，符合题意；

综上可知，a＝5.

『规律方法』　求分段函数函数值的方法

（1）先确定要求值的自变量属于哪一段区间．

（2）然后代入该段的解析式求值，直到求出值为止．

当出现f[f（x0）]的形式时，应从内到外依次求值．

〔跟踪练习1〕

已知f（x）＝

则f（5）的值是（　A　）

A．24　　　　B．21

C．18D．16

[解析]　f（5）＝f[f（10）]，f（10）＝f[f（15）]＝f（18）＝21，f（5）＝f（21）＝24.

命题方向2　⇨分段函数与不等式的应用

典例2已知函数f（x）＝

若f（a）<－3，则a的取值范是__（－∞，－3）__.

[思路分析]　

―→

―→

[解析]　当a≤－2时，f（a）＝a<－3，此时不等式的解集是（－∞，－3）；

当－2

当a≥4时，f（a）＝3a<－3，此时不等式无解．

所以a的取值范围是（－∞，－3）．

『规律方法』　解决分段函数与不等式的问题，应分段利用函数解析式求得自变量的取值范围，最后再将每段中求得的范围取并集，即可得到所求自变量的取值集合．

〔跟踪练习2〕

已知函数f（x）＝

则不等式xf（x－1）≤1的解集为（　A　）

A．[－1,1]　　　B．[－1,2]

C．（－∞，1]D．[－1，＋∞）

[解析]　当x－1<0，即x<1时，f（x－1）＝－1，

∴xf（x－1）＝－x≤1，∴x≥－1，

∴－1≤x<1.

当x－1≥0，即x≥1时，

f（x－1）＝1，∴xf（x－1）＝x≤1，

又∵x≥1，∴x＝1.

综上可知，－1≤x≤1，故选A．

命题方向3　⇨分段函数的图象及应用

典例3已知函数f（x）＝1＋

（－2

（1）用分段函数的形式表示函数f（x）；

（2）画出函数f（x）的图象；

（3）写出函数f（x）的值域．

[思路分析]　先根据绝对值的意义去掉绝对值符号，将函数转化为分段函数，再利用描点法作出函数图象．

[解析]　

（1）当0≤x≤2时，f（x）＝1＋

＝1；

当－2

＝1－x.

所以f（x）＝

（2）函数f（x）的图象如图所示．

（3）由

（2）知，f（x）在（－2,2]上的值域为[1,3）．

『规律方法』　1．由分段函数的图象确定函数解析式的步骤

（1）定类型：

根据自变量在不同范围内图象的特点，先确定函数的类型．

（2）设函数式：

设出函数的解析式．

（3）列方程（组）：

根据图象中的已知点，列出方程或方程组，求出该段内的解析．

（4）下结论：

最后用“{”表示出各段解析式，注意自变量的取值范围．

2．作分段函数图象的注意点

作分段函数的图象时，定义域分界点处的函数取值情况决定着图象在分界点处的断开或连接，特别注意端点处是实心点还是空心点．

〔跟踪练习3〕

已知函数f（x）＝

（1）画出函数的图象；

（2）若f（x）＝1，求x的值．

[解析]　

（1）函数图象如图所示．

（2）由f（x）＝1和函数图象综合判断可知，当x∈（－∞，1）时，得f（x）＝－2x＋1＝1，解得x＝0；

当x∈[1，＋∞）时，得f（x）＝x2－2x＝1，解得x＝1＋

或x＝1－

（舍去）．

综上可知x的值为0或1＋

分段函数概念的理解错误.　

典例4求函数f（x）＝

的定义域.

[错解]　∵x≥0时，f（x）＝x2－1，x<0时，f（x）＝x，

∴当x≥0时，f（x）的定义域为[0，＋∞），

当x<0时，f（x）的定义域为（－∞，0）．

[错因分析]　错解的原因是对分段函数概念不理解，认为分段函数f（x）＝

是两个函数．

[正解]　函数f（x）的定义域为（－∞，0）∪[0，＋∞），即（－∞，＋∞），∴函数f（x）的定义域为（－∞，＋∞）．

建模应用能力

数学建模是对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题、用数学知识与方法构建模型解决问题的过程．

主要包括：

在实际情境中从数学的视角发现问题、提出问题，分析问题、构建模型，求解结论，验证结果并改进模型，最终解决实际问题.

数学模型构建了数学与外部世界的桥梁，是数学应用的重要形式．数学建模是应用数学解决实际问题的基本手段，也是推动数学发展的动力.

在数学建模核心素养的形成过程中，积累用数学解决实际问题的经验．

学生能够在实际情境中发现和提出问题；能够针对问题建立数学模型；能够运用数学知识求解模型，并尝试基于现实背景验证模型和完善模型；能够提升应用能力，增强创新意识．

典例5如图，在边长为4的正方形ABCD的边上有一点P，沿折线BCDA由点B（起点）向点A（终点）运动，设点P运动的路程为x，△APB的面积为y.

（1）求y关于x的函数关系式y＝f（x）；

（2）画出y＝f（x）的图象；

（3）若△APB的面积不小于2，求x的取值范围．

[思路分析]　

（1）点P位置不同△ABP的形状一样吗？

（2）注意该函数的定义域．

[解析]　

（1）y＝

.

（2）y＝f（x）的图象如图所示．

（3）即f（x）≥2，当0≤x≤4时，2x≥2，∴x≥1，当8

∴x≤11，∴x的取值范围是1≤x≤11.

[点评]　（3）可以作直线y＝2与函数y＝f（x）的图象交于点A（1,2），B（11,2），要使y≥2，应有1≤x≤11.

『规律方法』　利用分段函数求解实际应用题的策略

（1）首要条件：

把文字语言转换为数学语言．

（2）解题关键：

建立恰当的分段函数模型．

（3）思想方法：

解题过程中运用分类讨论的思想方法．

1．已知函数已知f

（1）＝0，且对任意n∈N*，都有f（n＋1）＝f（n）＋3，则f（3）＝（　C　）

A．0　　　　　　　B．3

C．6D．9

[解析]　f（3）＝f

（2）＋3＝f

（1）＋6＝6.

2．在下列的四个图象中，是函数f（x）＝

的图象的是（　C　）

3．函数f（x）＝

，若f（x）＝3，则x的值为（　D　）

A．1　　　　　　　B．1或

C．

D．

4．已知函数f（x）＝

，且f（x0）＝3，则实数x0＝__－3或1__.

[解析]　当x0≥0时，f（x0）＝2x0＋1＝3，

∴x0＝1；

当x0<0时，f（x0）＝|x0|＝3，

∴x0＝±3，

又∵x0<0，

∴x0＝－3.

一、选择题

1．设f（x）＝

，则f[f（－1）]＝（　A　）

A．3　　　B．1　　　

C．0　　　D．－1

[解析]　∵x<0时，f（x）＝1，

∴f（－1）＝1，∴f[f（－1）]＝f

（1），

又∵x≥0时，f（x）＝x＋2，

∴f

（1）＝1＋2＝3.

2．设函数f（x）＝

，则f[

]的值为（　A　）

A．

B．－

C．

D．18

[解析]　∵x>1时，f（x）＝x2＋x－2，

∴f

（2）＝22＋2－2＝4，

∴

＝

∴f[

]＝f（

），

又∵x≤1时，f（x）＝1－x2，

∴f（

）＝1－（

）2＝1－

＝

，

故选A．

3．某市出租车起步价为5元（起步价内行驶里程为3km），以后每1km价为1.8元（不足1km按1km计价），则乘坐出租车的费用y（元）与行驶的里程x（km）之间的函数图象大致为下列图中的（　B　）

[解析]　由已知得y＝

.故选B．

4．设x∈R，定义符号函数sgnx＝

，则（　D　）

A．|x|＝x|sgnx|B．|x|＝xsgn|x|

C．|x|＝|x|sgnxD．|x|＝xsgnx

[解析]　当x>0时，|x|＝x，sgnx＝1，则|x|＝xsgnx；

当x<0时，|x|＝－x，sgnx＝－1，则|x|＝xsgnx；当x＝0时，|x|＝x＝0，sgnx＝0，则|x|＝xsgnx，故选D．

5．若函数f（x）＝

φ（x）＝

则当x＜0时，f[φ（x）]（　B　）

A．－xB．－x2

C．xD．x2

[解析]　x＜0时，φ（x）＝－x2＜0，∴f（φ（x））＝－x2.

6．某学生离家去学校，由于怕迟到，所以一开始就跑步，等跑累了再走余下的路程．在图中，纵轴表示离学校的距离，横轴表示出发后的时间，则四个图形中较符合该学生走法的是（　D　）

[解析]　∵纵轴表示离学校的距离，横轴表示出发后的时间，∴当t＝0时，纵坐标表示家到学校的距离，不能为零，故排除A，C；又由于一开始是跑步，后来是走完余下的路，∴刚开始图象下降的较快，后来下降的较慢，故选D．

二、填空题

7．已知函数f（x）＝

若f（f（x））＝2，则x的取值范围是__{2}∪[－1,1]__.

[解析]　设f（x）＝t，∴f（t）＝2，当t∈[－1,1]时，满足f（t）＝2，此时－1≤f（x）≤1，无解，当t＝2时，满足f（t）＝2，此时f（x）＝2即－1≤x≤1或x＝2.

8．已知f（x）＝

则不等式xf（x）＋x≤2的解集是__{x|x≤1}__.

[解析]　当x≥0时，f（x）＝1，由xf（x）＋x≤2，知x≤1，∴0≤x≤1；

当x＜0时，f（x）＝0，∴x＜0.

综上，不等式的解集为{x|x≤1}．

三、解答题

9．若方程x2－4|x|＋5＝m有4个互不相等的实数根，求m的取值范围.

[解析]　令f（x）＝

作其图象，如图所示

由图可知1

10．如图所示，已知底角为45°的等腰梯形ABCD，底边BC长为7cm，腰长为2

cm，当垂直于底边BC（垂足为F）的直线l从左向右移动（与梯形ABCD有公共点）时，直线l把梯形分成两部分，令BF＝x，试写出左侧部分的面积y关于x的函数解析式.

[解析]　如图所示，过点A，D分别作AG⊥BC，DH⊥BC，垂足分别是G，H.

因为四边形ABCD是等腰梯形，

底角为45°，AB＝2

cm，

所以BG＝AG＝DH＝HC＝2cm.

又BC＝7cm，所以AD＝GH＝3cm.

当点F在BG上时，即x∈（0,2]时，y＝

x2；

当点F在GH上时，即x∈（2,5]时，

y＝

×2×2＋2（x－2）＝2x－2；

当点F在HC上时，即x∈（5,7]时，

y＝S五边形ABFED＝S梯形ABCD－SRt△CEF＝

（7＋3）×2－

（7－x）2＝－

（x－7）2＋10.

综上，y＝