高考数学一轮复习几何概型教学案.docx
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高考数学一轮复习几何概型教学案
2019-2020年高考数学一轮复习几何概型教学案
一、考点要求：
内容
要求
A
B
C
概率
几何概型
√
学习目标：
了解几何概型的特点，会进行简单的几何概型的运算，会根据古典概型与几何概型的区别与联系来判别某种概型是古典概型还是几何概型。
二、知识要点：
2．几何概率计算公式：
一般地,在几何区域D中随机地取一点,记“该点落在其内部一个区域d内”为事件A,则事件A发生的概率
，把这种概率模型称为几何概型。
三、基础回顾：
1.两根相距6m的木杆上系一根绳子，并在绳子上挂一盏灯，则灯与两端距离都大于2m的概率
为_________
2.如图，向圆内投镖，如果每次都投入圆内，那么投中正方形区域的概率为________
3.在圆心角为90°的扇形中，以圆心O为起点作射线OC，则使得∠AOC和∠BOC
都不小于30°的概率为。
4．如图所示，A是圆上固定的一点，在圆上其他位置任取一点A'，连结AA'，
它是一条弦，则它的长度小于或等于半径长度的概率为________
四、例题探究：
例1：
如图，单位正方形ABCD，在正方形内（包括边界）任取一点M，求：
（1）△AMB面积大于等于1/4的概率；
（2）求AM长度不小于1的概率。
例2：
在等腰直角三角形中，在斜边上任取一点，求的概率。
变式：
在等腰直角三角形中，过直角顶点在内部任作一条射线，与线段交于点，求的概率。
例3：
已知三个正数.
（1）若是从中任取的三个数，且，
求能构成三角形三边长的概率；
（2）若是从中任取的三个数，且，
求能构成三角形三边长的概率.
★★★例4：
（会面问题）甲、乙二人约定在12点到5点之间在某地会面，先到者等一个小时后即离去,设二人在这段时间内的各时刻到达是等可能的，且二人互不影响。
求二人能会面的概率。
五、课堂小结：
六、感悟反思：
1.向面积为S的△ABC内任投一点P，则△PBC的面积小于S/2的概率是_____
2．A是圆上固定的一点，在圆上其他位置任取一点A'，连结AA'，它是一条弦，则它的长度小于或等于半径长度的概率为________
3．在区间[-1，1]上随机取一个数x，的值介于0到之间的概率为
4.已知右图所示的矩形其长为12，宽为5，在矩形内随机微下1000颗黄豆，数得落在阴影部分的黄豆数为550颗，则可以估计出阴影部分的面积约为________
七、千思百练：
1．如图为一半径为2的扇形（其中扇形中心角为90°），在其内部随机撒一粒豆子，
则它落在阴影部分的概率为________
2．在圆心角为90°的扇形中，以圆心O为起点作射线OC，则使得∠AOC和∠BOC
都不小于30°的概率为。
3．广告法对插播广告时间有规定，某人对某台的电视节目作了长期的统计后得出结论，他任意时间打开电视机看该台节目，看不到广告的概率为约9/10，那么该台每小时约有________分钟广告。
4．向面积为S的△ABC内任投一点P，则△PBC的面积小于S/2的概率是_____
5．在区间上任意取两个实数，则二次函数在区间为增函数的概率为
6．已知地铁列车每10分钟一班，在车站停1分钟，则乘客到达站台立即乘上车的概率为
7．设有一个正方形网格，其中每个最小正方形的边长都等于6cm。
现用直径等于2cm的硬币投掷到此网格上，则硬币落下后与格线有公共点的概率为
8．已知右图所示的矩形其长为12，宽为5，在矩形内随机微下1000颗黄豆，数得落在阴影部分的黄豆数为550颗，则可以估计出阴影部分的面积约为________
9．设x是[-4，4]上的一个随机数，则使x满足x2+x-2<0的概率是
10．在1万平方千米的海域中有40平方千米的大陆架储藏着石油，假设在海域中任意
一点钻探，钻到油层面的概率是________
11．在半径为1的圆内一条直径上任取一点，过这个点作垂直于直径的弦，则弦长超过圆内接的等边三角形边长的概率是
12．在区间[-1，1]上随机取一个数x，的值介于0到之间的概率为
13．点A为周长等于3的圆周上的一个定点，若在该圆周上随机取一点B，则劣弧AB的长度小于1的概率为。
14．分别在区间[1,6]和[2,4]内任取一实数，依次记为m和n，则的概率为
15．设不等式组
所表示的区域为,现在区域中任意丢进一个粒子,则
该粒子落在直线上方的概率为_______.
16．已知集合
，在集合任取一个元素，则事件“”的概率是
17．⑴在长度为的线段上任意作一点，求的概率；
⑵若将长度为的线段截成三段，则三段长能围成一个三角形的概率有多大.
18．设不等式组
表示的区域为A，不等式组
表示的区域为B．
（1）在区域A中任取一点（x,y），求点（x,y）∈B的概率；
（2）若x,y分别表示甲、乙两人各掷一次骰子所得的点数,求点（x,y）在区域B中的概率.
2019-2020年高考数学一轮复习几何证明选讲1相似三角形的判定及有关性质课时提升作业理选修
1.如图所示,在▱ABCD中,点E为CD上一点,DE∶CE=2∶3,连接AE,BE,BD,且AE,BD交于点F,求S△DEF∶S△EBF∶S△ABF.
【解析】因为AB∥CD,所以△EDF∽△ABF,
所以==,
所以==,
又△DEF,△BEF分别以DF,BF为底时等高,
所以===.
故S△DEF∶S△EBF∶S△ABF=4∶10∶25.
2.（xx·郑州模拟）如图正方形ABCD的边长为4,点E,F分别为DC,BC的中点.
（1）求证:
△ADE≌△ABF.
（2）求△AEF的面积.
【解析】
（1）因为四边形ABCD为正方形,
所以AD=AB,∠D=∠B=90°,DC=CB.
因为点E,F为DC,BC的中点,
所以DE=DC,BF=BC,
所以DE=BF.
因为在△ADE和△ABF中,
所以△ADE≌△ABF（SAS）.
（2）由题知△ABF,△ADE,△CEF均为直角三角形,
且AB=AD=4,DE=BF=×4=2,CE=CF=×4=2,
所以S△AEF=S正方形ABCD-S△ADE-S△ABF-S△CEF
=4×4-×4×2-×4×2-×2×2=6.
【加固训练】如图,在四边形ABCD中,点E是AB上一点,EC∥AD,DE∥BC,若S△BEC=1,S△ADE=3,求S△CDE的值.
【解析】因为EC∥AD,
所以S△DCE∶S△ADE=EC∶AD,
因为DE∥BC,
所以S△BCE∶S△CDE=BC∶ED,
又因为∠ECB=∠DEC=∠ADE,∠BEC=∠EAD,
所以△BEC∽△EAD,
所以EC∶AD=BC∶ED.
所以S△DCE∶S△ADE=S△BCE∶S△CDE,于是S△CDE=.
3.（xx·大同模拟）如图,在△ABC中,AB⊥AC,点D为BC的中点,DE⊥BC交AC于点F,交BA的延长线于点E.
求证:
AD2=DE·DF.
【证明】因为AB⊥AC,点D为BC的中点,
所以AD=BC=DC,
所以∠2=∠C.
因为AB⊥AC,DE⊥BC,
所以∠C+∠B=90°,∠E+∠B=90°.
所以∠C=∠E,所以∠2=∠E.
又因为∠1=∠1,所以△DAE∽△DFA.
所以=,即AD2=DE·DF.
【加固训练】如图,在△ABC中,AB⊥AC,AD⊥BC,E为AC的中点,ED延长线交AB延长线于点F.
求证:
AB·AF=AC·DF.
【证明】因为AB⊥AC,AD⊥BC,
所以△ABD∽△CAD,
所以=,∠1=∠C.
因为E是AC的中点,
所以DE=AC=EC,所以∠C=∠2.
因为∠2=∠3,所以∠1=∠3.
又因为∠F=∠F,所以△FBD∽△FDA,
所以=,所以=,
即AB·AF=AC·DF.
4.（xx·唐山模拟）如图,在△ABC中,D是AC的中点,E是线段BC延长线上一点,过点A作BE的平行线与线段ED的延长线交于点F,连接AE,CF.
（1）求证:
AF=CE.
（2）若AC=EF,试判断四边形AFCE是什么样的四边形,并证明你的结论.
【解析】
（1）在△ADF和△CDE中,
因为AF∥BE,所以∠FAD=∠ECD.
又因为D是AC的中点,所以AD=CD.
因为∠ADF=∠CDE,
所以△ADF≌△CDE,所以AF=CE.
（2）若AC=EF,则四边形AFCE是矩形.
由
（1）知AFCE,
所以四边形AFCE是平行四边形.
又因为AC=EF,所以四边形AFCE是矩形.
【加固训练】如图,在△ABC中,点D是AC的中点,点E是BC延长线上一点,过A作AH∥BE.连接ED并延长交AB于点F,交AH于点H.如果AB=4AF,EH=8,求DF的长.
【解析】因为AH∥BE,所以=.
因为AB=4AF,所以=.
因为HE=8,所以HF=2.
因为AH∥BE,所以=.
因为D是AC的中点,所以=1.
因为HE=HD+DE=8,所以HD=4,
所以DF=HD-HF=4-2=2.
5.已知,如图,在矩形ABCD中,点G为BC延长线上一点,连接DG,过点B作BH⊥DG于点H,且GH=DH,点E,F分别在AB,BC上,且EF∥DG.
（1）若AD=3,CG=2,求DG的长.
（2）若GF=AD+BF,求证:
EF=DG.
【解析】
（1）在△BHG与△DCG中,
因为∠BGH=∠DGC,BH⊥DG,DC⊥BG,
所以△BHG∽△DCG,
所以=,
因为AD=3,CG=2,所以BG=5,
因为GH=DH,即=,
所以DG=2,即DG的长为2.
（2）因为GF=AD+BF,
所以FC+GC=BF+FC+BF,即GC=2BF,
因为EF∥DG,
所以∠BFE=∠CGD,
所以Rt△BEF∽Rt△CDG,
所以EF∶DG=BF∶GC=1∶2,所以EF=DG.
【加固训练】如图,在正方形ABCD中,点E为AB的中点,BF⊥CE于点F,求
S△BFC∶S正方形ABCD的值.
【解析】设正方形ABCD的边长为2a,
因为E是AB的中点,所以BE=a,
所以CE==a,
因为BF⊥CE,所以∠EBC=∠BFC=90°,
因为∠ECB=∠BCF,
所以△BCF∽△ECB.
因为BC∶EC=2∶.
所以S△BFC∶S△EBC=4∶5.
因为S正方形ABCD=4S△EBC,
所以S△BFC∶S正方形ABCD=1∶5.
6.如图,点C,D在线段AB上,且△PCD是等边三角形.
（1）当AC,CD,DB满足怎样的关系时,△ACP∽△PDB.
（2）当△PDB∽△ACP时,试求∠APB的度数.
【解析】
（1）当CD2=AC·DB时,△ACP∽△PDB,
因为△PCD是等边三角形,
所以∠PCD=∠PDC=60°,
所以∠ACP=∠PDB=120°,
若CD2=AC·DB,
由PC=PD=CD可得PC·PD=AC·DB,
即=,
则根据相似三角形的判定定理得△ACP∽△PDB.
（2）当△ACP∽△PDB时,∠APC=∠PBD.
因为∠PDB=120°,所以∠DPB+∠DBP=60°,
所以∠APC+∠BPD=60°,
所以∠APB=∠CPD+∠APC+∠BPD=120°,
即∠APB的度数为120°.
【加固训练】1.如图所示,在平行四边形ABCD中,点E是CD的延长线上一点,DE=CD,BE与AD交于点F.
（1）求证:
△ABF∽△CEB.
（2）若△DEF的面积为2,求平行四边形ABCD的面积.
【解析】
（1）因为四边形ABCD是平行四边形,
所以∠BAF=∠BCD,
因为AB∥CD,所以∠ABF=∠CEB,
所以△ABF∽△CEB.
（2）因为四边形ABCD是平行四边形,
所以AD∥BC,AB∥CD,
所以△DEF∽△CEB,△DEF∽△ABF.
所以=,=.
又DE=CD=AB,
所以CE=DE+CD=DE+2DE=3DE.
所以==,==.
因为S△DEF=2,所以S△CEB=18,S△ABF=8.
所以平行四边形ABCD的面积S=S△ABF+S△CEB-S△DEF=8+18-2=24.
2.如图,在梯形ABCD中,点E,F分别在AB,CD上,EF∥AD,假设EF做上下平行移动.
（1）若=,求证:
3EF=BC+2AD.
（2）若=,试判断EF与BC,AD之间的关系,并说明理由.
（3）请你探究一般结论,即若=,那么你可以得到什么结论?
【解析】过点A作AH∥CD分别交EF,BC于点G,H.
（1）因为=,
所以=,
又EG∥BH,所以==,
即3EG=BH.
又EG+GF=EG+AD=EF,
从而EF=（BC-HC）+AD,
所以EF=BC+AD,
即3EF=BC+2AD.
（2）EF与BC,AD的关系式为5EF=2BC+3AD,理由和
（1）类似.
（3）因为=,
所以=.
又EG∥BH,所以=,
即EG=BH.
所以EF=EG+GF=EG+AD
=（BC-AD）+AD,
所以EF=BC+AD,
即（m+n）EF=mBC+nAD.
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