光学与力学之间的类比.docx

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光学与力学之间的类比

光学与力学之间的类比

郭杰

物理与电子信息学院物理学专业05级指导教师：

宋婷婷

摘要：

力学的发展史可以简单地概括为：

力——经典力学——量子力学。

光学的发展史也可以简单的概括为：

光——几何光学——波动光学。

同时力学与光学，是两门古老而又极具生命力的科学，两者在许多方面即存在形式上的对应关系，又有着物理学的内在联系。

力学与光学对应关系的研究，对整个物理学的发展有着重要的意义。

光学与力学的基本概念、物理规律和过渡关系中都存在着对应关系。

光学与力学对应关系的研究，对整个物理学的发展有着重要的意义，在二十世纪初，迈克尔孙实验的记过，使爱因斯坦据此提出了相对论，更新了人们的时空观念。

德不罗意把光的波粒二象性推广到所有的物质粒子，得出物质波的概念，为量子力学的创立奠定了坚实的基础。

量子力学的创始人薛定谔就根据几何光学和波动光学的关系进行类比，创立了量子力学的一种形式——波动力学。

这些可以说是近代物理学史上，利用光学与力学的对应关系取得的最杰出的成果。

同样地，如果我们在学习中找出力学与光学的对应关系，将有助于我们学习物理的兴趣，培养我们思考习惯和类比思维的能力。

在光学与力学类比的研究中，前人的研究注重单一方面的研究，并取得可喜的成绩。

而本文将从多个方面采用对比的方式论述光学与力学间的一些对应的关系。

关键词：

力学；光学；类比

TheanalogybetweenOpticsandmechanics

Guojie

InstituteofPhysicsandElectronicInformationGrade05Instructor:

SongTingTing

Abstract:

Historyofthedevelopmentofmechanicscanbesimplysummarizedasfollows:

Power-classicalmechanics-quantummechanics.Andhistoryofthedevelopmentofopticscanalsobesimplysummarizedasfollows:

Light-GeometricalOptics-WaveOptics.Atthesametime,mechanicsandoptics,aretwoscienceofgreathistoryandvitality,bothofwhichexistinmanyrespectstherelationshipofform,butalsointrinsicallylinkedwithphysics.Correlationbetweenmechanicalandopticalresearch,castsgreatsignificancetothedevelopmentoftheentirephysics.Thebasicconcepts,physicallawsandtransitionalrelationsofpoticsandmechanicsareconnectingwitheachotherItismeaningfultotheentirephysicsbycorrelationstudyingofopticalandmechanicalatthebeginningofthetwentiethcentury,thedemeritsofMichelsonexperiment,gavebasidtoEinstein`stheorcs,updatedtheconceptofpeople'stimeandspace.DeBrogkieextendegwave-particledualityoflighttoallthematerialparticles,derivingtheconceptofmatterwaveslaidasolidfoundationwhichforthecreationofquantummechanics.ThefounderofSchrodingerquantummechanicsanalogyonthebasisofgeometricalopticsandwaveoptics,createdaformofquantummechanics-wavedynamics.Thesecanbesaidthatinthehistoryofmodernphysics,inuseofthecorrespondingrelationgofopticsandmechanicsthemostoutstandingresults.Similarly,thecorrespondingrelationshipsbetweenmechanicsandopticsifwefindinourstudyofwillhelpustoimprovethephysicalinterest,andnurtureourhabitsandcapacityofanaloguethinking.Analogyinopticsandmechanicsstudying,Thepreviousresearchfocusedonasinglestudy,andachieved.Howeverthisarticlewillcontrastthewayuseofopticsandmechanicsdiscussingsomeofthecorrespondinginter-relationshipinvariousaspeets.

Keyword：

mechanics；optics；analogy

1绪论

力学的发展史可以简单地概括为：

力——经典力学——量子力学。

从公元前四世纪古罗马时代，亚里士多德和阿基米德分别在动力学和流体静力学方面取得了许多的成果，到十六、十七世纪，经过斯台文、伽利略、笛卡尔等一大批物理学家的不断努力，最后由牛顿概括总结出了牛顿力学体系，即经典力学趋于完善。

二十世纪初爱因斯坦创立了狭义相对论，使人们在时空观念上发生了根本性转变，在这个时期，由德不罗意提出了物质波的理论，据此分别由薛定谔和海森堡创立了波动力学和矩阵力学，即量子力学体系。

光学也是古希腊发展得较早的一门科学，欧几米德研究了光的反射，提出了反射定律。

同理学一样，在古希腊以后很长一段时间里，光学并没有什么重大的进展。

到十六、十七世纪，科学家主要集中研究了光的直线传播、反射和折射现象，直至恵涅尔发现了折射定律，几何光学臻于完善。

在十九世纪初，托马斯·杨的双缝干涉实验，确立了波动光学的基础，而后由麦克斯韦提出了光的电磁理论，从而使人们认识到了光学具有波粒二象性。

因此跟力学的发证类似，光学的发展史也可以简单的概括为：

光——几何光学——波动光学。

力学与光学，是两门古老而又极具生命力的科学，两者在许多方面即存在形式上的对应关系，又有着物理学的内在联系。

力学与光学对应关系的研究，对整个物理学的发展有着重要的意义。

对于这两门科学，国内外科研工作人员单一方面的研究，比如光学和力学中基本概念的对应关系，斯涅耳定律与势能突变面处的粒子行为，虽然在各个方面都取得了可喜的成就，为后人的研究铺垫了黄金般的道路，但终究没有人能从多方面的科学立场分析研究。

鉴于现在研究方面狭窄、不全面，本文将从多方面论述光学与力学间的一些对应关系。

如力学和光学中基本概念物理规律和过渡关系中的对应，原理性类比。

在上诉提到的两方面中我又分别从多方面进行研究分析。

最终从全方面对光学与力学进行类比。

2光学与力学间的类比

2.1力学和光学中基本概念物理规律和过渡关系中的对应

2.1.1基本概念的对应关系

光学与力学的基本概念存在着对应关系，其物理量的具体对应如表1.1所示。

从表1.1中可以看出，力学与光学的最基本的对应就是力学中的时间t与光学中的长度z对应。

从这个基本的物理量的对应可导出其他物理量的对应。

表1.1光学与力学中物理基本概念的对应[16]

光学

力学

x、y

、…

x、y、z

、…

L（x、y、x、y、z）

L（、、）

方向余弦

波包

质点

光线

轨迹

群速

速度

点光源的光强

引力

折射率

势能

频率

能量

标量波函数ψ

几率波函数ψ

光学哈密顿量

哈密顿量

传播系数β

角速度ω

2.1.2物理理规律的对应关系

不仅力学和光学中的物理两存在着对应关系，而且力学和光学中的物理规律也存在着对应关系，如表1.2所示。

从这些物理规律的对应，能够帮助我们理解和掌握物理规律。

光学

力学

布给公式（Bonger）恒量

角动量守恒恒量

广义动力守恒

动量守恒

费马原理

哈密顿最小作用原理

拉格朗日方程

拉格朗日方程

光学哈密顿正则方程

哈密顿正则方程

光学哈——雅方程

哈——雅方程

光学薛定谔方程

非相对论薛定谔方程

布莱恩——戈登方程

相对论波动方程

能量本征值方程

能量本征值方程

测不准关系

测不准关系

表1.2光学与力学中物理规律的对应[16]

2.1.3过渡关系的对应

在力学与光学体系的内部，理论的发展层次之间的过渡关系，也具有某种对应关系。

在力学体系中，当德不布罗意波的波长λ→0时，波动力学与经典力学相符合。

而由经典力学导播动力学的过渡，只要将经典力学的能量和动量用算符来代替，即

，

（1）

代入能量与动量的关系试

（2）

就得得到薛定谔方程

（3）

由此实现了由经典力学到波动力学的过渡。

在光学体系中，由波动光学在λ→0的情况下，可导出几何光学。

而由几何光学也可以得到波动光学，只要把几何光学的方向余弦用

、（4）

代替，并采用光学哈密顿薛定谔方程

（5）

可写出类似的光学薛定谔方程形式

（6）

由此实现了由经典光学到波动光学的过渡。

上述关系可用图1.1表示。

2.2原理性的类比

为了解决光在连续变化的非均匀介质中从一点传播到另一点所遵循的普遍规律，1679年费马（Fermat）将此规律表述为：

光线从一点P传播到另一点Q的实际路线上，光程取极值（可以使极小值、极大值、定值）即

（7）

或

（8）

式（7）、（8）即为几何光学中著名的费马原理的两种基本形式，式中Δ为全变微

分算符，n为媒质的折射率，L为几分路径，ds为路径积分元，u为光波速度。

由费马原理能推出几何光学的全部定律[7]。

为把力学包含在一个极值化的原理中，莫陪丢（Maupertuis）于1744年，首先提出，拉格朗日（Lagrange）于1760年严格论证并加以推广的适用于保守系统的力学原理——最小作用原理，表述为：

对理想、完整的保守系统，通过相同起终位置的一切运动，其可能实现的运动是在其附近考虑到的相同能量的各种路径中，使拉格朗日作用量取极值的运动，即

（9）

式（9）中T为系统动能，dt为时间元，、为粒子从P点到Q点的时刻。

最小作用原理是力学和各种场论的基本原理。

曾被雅克比（Jacobi）称作“分析力学之母”长长被奉为物理学的最高原理。

由费马确定的光传播规律和由最小作用原理确立的粒子运动，两者类比如下：

2.2.1原理形式的类比

对于单粒子保守系统，设粒子质量为m，速度为v，势能为U