北京市101中学届高三数学理统练试题5含答案.docx
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北京市101中学届高三数学理统练试题5含答案
北京一零一中2018-2019学年度第一学期高三数学（理）统练五
一、选择题共8小题。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1.若复数为纯虚数，则实数的值为（）
A.1B.0C.D.-1
【答案】D
设
，得到：
+
∴，且
解得：
故选：
D
2.已知为等差数列，为其前n项和，若，则（）
A.17B.14C.13D.3
【答案】B
【分析】
根据等差数列的前n项和公式求出公差d，再利用通项公式求。
【详解】设等差数列的公差为d，由等差数列前n项和公式知，
，
解得，，
所以，故答案选B。
【点睛】本题考查等差数列的通式公式及前n项和公式，关键是掌握两个公式，准确进行基本量计算，属于基础题。
3.“”是“”的（）
A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】
根据充要条件的定义进行判断即可。
【详解】由得，，所以是充分条件；
由可得，所以是必要条件，
故“”是“”的充要条件。
答案选C。
【点睛】本题考查充分必要条件的定义，不等式的性质，属于基础题。
4.将函数的图像向右平移个单位得到函数的图像，则a的值可以为（）
A.B.C.D.
【答案】C
【分析】
因为结果得到函数已知，可以逆向思考，反向得到函数的图像，确定相等关系。
【详解】由题意知，，
其图像向左平移a个单位得到函数，
而函数，所以有
，取得。
答案选C。
【点睛】由函数的图像经过变换得到的图像，在具体问题中，可先平移后伸缩变换，也可以先伸缩后平移变换，但要注意水平方向上的伸缩和平移变换都是针对x值而言，故先伸缩后平移时要把x前面的系数变为1。
当前后两个函数名称不同的，可先运用诱导公式，化为同名函数，再进行图像平移。
5.某中学语文老师从《红楼梦》、《平凡的世界》、《红岩》、《老人与海》4本不同的名著中选出3本，分给三个同学去读，其中《红楼梦》为必读，则不同的分配方法共有（）
A.6种B.12种C.18种D.24种
【答案】C
【分析】
可以分两步进行：
（1）先从《平凡的世界》、《红岩》、《老人与海》三本书中选择2本，共有种选法；
（2）将选出的2本书与《红楼梦》共计3本书进行全排列，对应分给三名学学，有种排法，根据乘法原理，即可得到答案。
【详解】
（1）先从《平凡的世界》、《红岩》、《老人与海》三本书中选择2本，共有种选法；
（2）将选出的2本书与《红楼梦》共计3本书进行全排列，对应分给三名学学，有种排法，根据乘法原理，不同的分配方法有种。
答案选C。
【点睛】本题考查排列组合及简单计数问题，求解的关键是正确理解“4本不同的名著中选出3本，分给三个同学去读，其中《红楼梦》为必读”这个条件，本题属于一个中档题。
6.已知△的内角的对边分别为，若，，则△面积的最大值是
A.B.C.D.
【答案】B
由题意知，由余弦定理，，故，有，故.
故选：
B
7.如图，已知直线与曲线相切于两点，函数，则函数（）
A.有极小值，没有极大值B.有极大值，没有极小值
C.至少有两个极小值和一个极大值D.至少有一个极小值和两个极大值
【答案】C
【分析】
根据导数的几何意义，讨论直线与曲线在切点两侧的导数与的大小关系，从而得出的单调区间，结合极值的定义，即可得出结论。
【详解】
如图，由图像可知，当时，单调递增，所以有且。
对于=，
有，所以在时单调递减；
当时，单调递减，所以有且。
有，所以在时单调递增；
所以是的极小值点。
同样的方法可以得到是的极小值点，是的极大值点。
故答案选C。
【点睛】本题主要考查函数导数的几何意义，函数导数与单调性，与函数极值之间的关系，属于基础题。
8.已知非空集合A，B满足以下两个条件：
①；
②A的元素个数不是A中的元素，B的元素个数不是B中的元素，
则有序集合对（A，B）的个数为（）
A.10B.12C.14D.16
【答案】A
【分析】
根据条件：
A的元素个数不是A中的元素，B的元素个数不是B中的元素，分别讨论集合A、B中元素的个数，列举所有可能，即可得到结果。
【详解】根据条件：
A的元素个数不是A中的元素，B的元素个数不是B中的元素
1、当集合A只有一个元素时，集合B中有5个元素，且，此时仅有一种结果，；
2、当集合A有两个元素时，集合B中有4个元素，且，此时集合A中必有一个元素为4，集合B中必有一个元素为2，故有如下可能结果：
（1），；
（2），；（3），；（4），。
共计4种可能。
3、可以推测集合A中不可能有3个元素；
4、当集合A中的4个元素时，集合B中的2个元素，此情况与2情况相同，只需A、B互换即可。
共计4种可能。
5、当集合A中的5个元素时，集合B中的1个元素，此情况与1情况相同，只需A、B互换即可。
共1种可能。
综上所述，有序集合对（A，B）的个数为10。
答案选A。
【点睛】本题主要考查排列组合的应用，根据元素关系分别进行讨论是解决本题的关键。
二、填空题共6小题。
9.已知集合，则M∩N＝____________.
【答案】
【分析】
分别化简集合M与集合N，取二者交集即可。
【详解】化简集合M和N得，，或，
所以=。
【点睛】本题考查集合的化简与集合的交集运算，属于基础题。
10.在等比数列中，，且，则的值为____________.
【答案】5
【分析】
设等比数列的公比为q，结合条件建立关于q的方程，求出和即可。
【详解】设等比数列的公比为q，则有
解得或，
所以或
故=5。
【点睛】本题考查等比数列的通项公式及基本量的计算，属于基础题，较简单。
11.能够说明“恒成立”是假命题的一个x的值为____________.
【答案】0
【分析】
不等式恒成立等价于恒成立，因此可构造函数，求其最值，从而找到命题不成立的具体值。
【详解】设函数，则有
，
当时，有，单调递减；
当时，有，单调递增；
故为最小值点，有。
因此，当时，命题不能成立。
故能够说明“恒成立”是假命题的一个x的值为0
【点睛】说明一个命题为假命题，只需举出一个反例即可，怎样找到符合条件的反例是关键。
在处理时常要假设命题为真，进行推理，找出命题必备条件。
12.已知向量a，b的夹角为60°，，则＝____________.
【答案】
【分析】
运用公式，将模的运算化为向量数量积计算，再开方即可。
【详解】因为
=
=
=12
=。
【点睛】平方法是计算向量模的常用方法，它是运用公式，将模的运算化为向量数量积计算，再开方。
学生较易在最后求出之后忘记开方，要特别注意。
13.在边长为1的等边三角形ABC中，点D、E分别是边AB，BC的中点，连接DE并延长到点F，使得DE＝2EF.设，则____________；＝____________.
【答案】
（1）.
（2）.
【分析】
首先以E为原点，BC为x轴，EA为y轴，建立坐标系，分别表示出相关各点坐标及相关向量的坐标，将问题中的向量运算转化为坐标运算。
【详解】首先以E为原点，BC为x轴，EA为y轴，建立坐标系，则，，，，；，，，。
设，，则，
由得，=2，可得，，
所以。
因为，
所以，
解得，
所以。
＝=。
【点睛】坐标法是解决平面向量问题的常用方法。
其过程如下：
（1）结合图形，适当建立坐标系；
（2）确定相关点的坐标；（3）计算（表示）相关向量的坐标；（4）结合问题条件建立方程或进行坐标运算。
14.已知
（1）若有两个零点，则a的取值范围是____________，
（2）当时，则满足的x的取值范围是____________.
【答案】
（1）.
（2）.
【分析】
（1）讨论，，三种情况，结合零点的定义，解方程即可得到所求；
（2）若，讨论，，若，，结合分段函数解+析式，以及函数的单调性和不等式的解法，即可得到所求。
【详解】
（1）若，则
由，解得，符合题意。
若，解得符合题意，但方能使方程有两个零点；
若，解得，符合题意。
可得
综上可得，a的范围是；
（2）若，则，
有，得为增，
，
即有，显然不符合题意。
所以有。
若，
即为，解得。
若，
即有，
整理得；
令，
由于且，可得
即在为增，最小值为
而在时，递增，且值为负，不符合题意。
综上可得a的取值范围是。
【点睛】本题考查分段函数的运用：
求零点和解不等式，考查分类讨论思想方法，以及导数的运用：
判断单调性，考查化简整理运算能力，属于中档题。
三、解答题共4小题。
解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。
15.已知函数的图像与x轴的相铃两个交点的距离为.
（1）求的值；
（2）设函数，求在区间上的最大值和最小值.
【答案】
（1）；
（2）在区间上的最大值为1，最小值为。
【分析】
（1）根据题意可得函数周期有关系式，即要求的值；
（2）根据二倍角公式和两角和差的正弦公式，可得，再根据正弦函数的图像和性质即可求出最值。
【详解】
（1）根据函数的图像与x轴的相铃两个交点的距离为，可得函数的周期满足关系式，所以
故=2。
（2）
=
=
=
=
因为，所以
所以
所以在区间上的最大值为1，最小值为。
【点睛】本题主要考查三角函数的恒等变换，三角函数的周期性和求法，正弦函数的单调性，属于中档题。
16.如图所示，在△ABC中，D是BC边上的一点，且AB＝14，BD＝6，，.
（1）求；
（2）求AD的长和△ABC的面积.
【答案】
（1）=；
（2），=。
【分析】
（1）利用三角形的内角和定理与三角恒等变换，即可求得的正弦值；
（2）由余弦定理和正弦定理求得AD、CD的值，再求的面积。
【详解】
（1）中，因为，，
所以有
==
又因为，
所以
所以=。
（2）在中，由余弦定理可得，
整理得
得或（舍）
在中，由正弦定理得，
所以
=。
【点睛】本题主要考查了利用正弦定理、余弦定理和三角形的面积公式求解三角形的问题，对于解三角形问题，通常用运用正弦定理进行边角之间转化，用余弦定量借助三边关系求角或建立方程寻找边的关系，注间有时还会运用三角恒等变换及三角函数进行求值，是高考的热点问题。
17.设数列的前n项和为，且，在正项等比数列中，.
（1）求和的通项公式；
（2）设，求数列的前n项和.
【答案】
（1），；
（2）数列的前n项和=
【分析】
（1）根据数列的通项与前n项和的关系可求数列的通项，根据可求数列公比，进而求正项等比数列的通项公式。
（2）数列的前n项和可用错位相消法求解。
【详解】
（1）当时，，
当时，
=
=，
所以。
所以，
于是，解得或（舍）
所以=。
（2）由以上结论可得，
所以其前n项和
=
=
-得，=
=
所以=。
【点睛】错位相消法是求数列较常用的一种方法，它适用的数列必须是等差数列与等比数列积形成的复合数列，过程如下：
（1）列出前n项和；
（2）在前n项和式子的两端同乘以公比，（3）二式相减，并利用公式计算，整理得到结果。
18.已知函数.
（1）求函数的单调区间；
（2）当时，求函数在区间上的最大值.
【答案】
（1）函数的单调区间为，单调减区间为.
（2）当时，函数在区间上的最大值为；当时，函数在区间上的最大值为.
【分析】
（１）对函数求导并求其导函数的零点，列表讨论得其单调区间；
（2）分，，三种情况讨论即可。
【详解】
（1）由得，
令，得，
的情况如下表：
+
0
0
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