中考数学专题复习专题三大数学思想方法第二节数形结合思想训练.docx

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中考数学专题复习专题三大数学思想方法第二节数形结合思想训练

专题三　5大数学思想方法

第二节　数形结合思想

类型六数形结合在实数中的应用）

（2018·山东青岛中考）如图，点A所表示的数的绝对值是（　　）

A．3B．－3C.D．－

【分析】根据负数的绝对值是其相反数解答即可．

【自主解答】

5．（2018·四川成都中考）实数a，b，c，d在数轴上对应的点的位置如图所示，这四个数中最大的是（）

A．aB．bC．cD．d

6．（2018·山东枣庄中考）实数a，b，c，d在数轴上的位置如图所示，下列关系式不正确的是（）

A．|a|＞|b|B．|ac|＝ac

C．b＜dD．c＋d＞0

类型七数形结合在概率中的应用

（2018·江苏连云港中考）汤姆斯杯世界男子羽毛球团体赛小组赛比赛规则：

两队之间进行五局比赛，其中三局单打，两局双打，五局比赛必须全部打完，赢得三局及以上的队获胜．假如甲、乙两队每局获胜的机会相同．

（1）若前四局双方战成2∶2，那么甲队最终获胜的概率是________；

（2）现甲队在前两局比赛中已取得2∶0的领先，那么甲队最终获胜的概率是多少？

【分析】

（1）直接利用概率公式求解；

（2）画树状图展示所有8种等可能的结果数，再找出甲至少胜一局的结果数，然后根据概率公式求．

【自主解答】

7．（2018·浙江湖州中考）某居委会组织两个检查组，分别对“垃圾分类”和“违规停车”的情况进行抽查．各组随机抽取辖区内某三个小区中的一个进行检查，则两个组恰好抽到同一个小区的概率是（）

A.B.C.D.

8．（2018·浙江丽水中考）如图，一个游戏转盘中，红、黄、蓝三个扇形的圆心角度数分别为60°，90°，210°.让转盘自由转动，指针停止后落在黄色区域的概率是（）

A.B.C.D.

类型八数形结合在几何中的应用

（2018·陕西中考）问题提出

（1）如图1，在△ABC中，∠A＝120°，AB＝AC＝5，则△ABC的外接圆半径R的值为________．

问题探究

（2）如图2，⊙O的半径为13，弦AB＝24，M是AB的中点，P是⊙O上一动点，求PM的最大值．

问题解决

（3）如图3所示，AB，AC，是某新区的三条规划路，其中AB＝6km，AC＝3km，∠BAC＝60°，所对的圆心角为60°，新区管委会想在路边建物资总站点P，在AB，AC路边分别建物资分站点E，F，也就是，分别在、线段AB和AC上选取点P，E，F.由于总站工作人员每天都要将物资在各物资站点间按P→E→F→P的路径进行运输，因此，要在各物资站点之间规划道路PE，EF和FP.为了快捷、环保和节约成本．要使得线段PE，EF，FP之和最短，试求PE＋EF＋FP的最小值．（各物资站点与所在道路之间的距离、路宽均忽略不计）

【分析】

（1）设O是△ABC的外接圆的圆心，易证△ABO是等边三角形，所以AB＝OA＝OB＝5；

（2）当PM⊥AB时，此时PM最大，连结OA，由垂径定理可知AM＝AB＝12，再由勾股定理可知OM＝5，所以PM＝OM＋OP＝18；

（3）设连结AP，OP，分别以AB，AC所在直线为对称轴，作出P关于AB的对称点为M，P关于AC的对称点为N，连结MN，交AB于点E，交AC于点F，连结PE，PF，所以AM＝AP＝AN，设AP＝r，易求得MN＝r，所以PE＋EF＋PF＝ME＋EF＋FN＝MN＝r，即当AP最小时，PE＋EF＋PF可取得最小值．

【自主解答】

9．（2018·贵州贵阳中考）如图，AB为⊙O的直径，且AB＝4，点C在半圆上，OC⊥AB，垂足为点O，P为半圆上任意一点，过P点作PE⊥OC于点E，设△OPE的内心为M，连结OM，PM.

（1）求∠OMP的度数；

（2）当点P在半圆上从点B运动到点A时，求内心M所经过的路径长．

类型九数形结合在不等式中的应用

（2018·浙江舟山中考）已知，点M为二次函数y＝－（x－b）2＋4b＋1图象的顶点，直线y＝mx＋5分别交x轴正半轴，y轴于点A，B.

（1）判断顶点M是否在直线y＝4x＋1上，并说明理由．

（2）如图1，若二次函数图象也经过点A，B，且mx＋5＞－（x－b）2＋4b＋1，根据图象，写出x的取值范围．

（3）如图2，点A坐标为（5，0），点M在△AOB内，若点C（，y1），D（，y2）都在二次函数图象上，试比较y1与y2的大小．

【分析】

（1）根据顶点式表达式，可得顶点坐标，根据点的坐标代入函数表达式检验，可得答案；

（2）根据待定系数法可得二次函数的表达式，根据函数图象与不等式的关系：

图象在下方的函数值小，可得答案；

（3）根据解方程组可得顶点M的纵坐标的范围，根据二次函数的性质可得答案．

【自主解答】

10．（2018·江苏连云港中考）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝k1x＋b的图象与反比例函数y＝的图象交于A（4，－2），B（－2，n）两点，与x轴交于点C.

（1）求k2，n的值；

（2）请直接写出不等式k1x＋b＜的解集；

（3）将x轴下方的图象沿x轴翻折，点A落在点A′处，连结A′B，A′C，求△A′BC的面积．

类型十数形结合在函数中的应用

（2018·四川达州中考）如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴交于点A（－1，0），与y轴的交点B在（0，2）与（0，3）之间（不包括这两点），对称轴为直线x＝2.

下列结论：

①abc＜0；②9a＋3b＋c＞0；③若点M（，y1），点N（，y2）是函数图象上的两点，则y1＜y2；④－＜a＜－.

其中正确结论有（　　）

A．1个B．2个C．3个D．4个

【分析】根据二次函数的图象与系数的关系即可求出答案．

【自主解答】

在函数问题中，借助图形理清解题思路，找出题目中的数量关系，从而解决问题，所以，函数及其图象本身就是数形结合的典范．数形结合思想在数学中应用还有很多方面，在此不一一列举．“数缺形时少直观；形少数时难入微”，把问题中的数量关系与形象直观的几何图形有机地结合起来，并充分利用这种结合寻找解题的思路，使问题得以解决．

11．（2018·天津中考）已知抛物线y＝ax2＋bx＋c（a，b，c为常数，a≠0）经过点（－1，0），（0，3），其对称轴在y轴右侧．有下列结论：

①抛物线经过点（1，0）；

②方程ax2＋bx＋c＝2有两个不相等的实数根；

③－3＜a＋b＜3；其中，正确结论的个数为（）

A．0B．1C．2D．3

参考答案

类型六

【例6】|－3|＝3.故选A.

变式训练

5．D　6.B

类型七

【例7】

（1）

（2）画树状图如下．

共有8种等可能的结果数，其中甲至少胜一局的结果数为7，

∴甲队最终获胜的概率＝.

变式训练

7．C　8.B　

类型八

【例8】

（1）如图，设O是△ABC的外接圆的圆心，

∴OA＝OB＝OC.

∵∠A＝120°，AB＝AC＝5，∴△ABO是等边三角形，

∴AB＝OA＝OB＝5.

（2）当PM⊥AB时，此时PM最大，如图，连结OA.

由垂径定理可知AM＝AB＝12.

∵OA＝13，∴由勾股定理可知OM＝5，

∴PM＝OM＋OP＝18.

（3）如图，连结AP，OP，分别以AB，AC所在直线为对称轴，作出P关于AB的对称点为M，P关于AC的对称点为N，连结MN，交AB于点E，交AC于点F，连结PE，PF，

∴AM＝AP＝AN.

∵∠MAB＝∠PAB，∠NAC＝∠PAC，

∴∠BAC＝∠PAB＋∠PAC＝∠MAB＋∠NAC＝60°，

∴∠MAN＝120°，

∴M，P，N在以A为圆心，AP为半径的圆上．

设AP＝r，易求得MN＝r.

∵PE＝ME，PF＝FN，

∴PE＋EF＋PF＝ME＋EF＋FN＝MN＝r，

∴当AP最小时，PE＋EF＋PF可取得最小值．

∵AP＋OP≥OA，

∴AP≥OA－OP，即点P在OA上时，AP可取得最小值．

如图，设AB的中点为Q，∴AQ＝AC＝3.

∵∠BAC＝60°，∴AQ＝QC＝AC＝BQ＝3，

∴∠ABC＝∠QCB＝30°，∴∠ACB＝90°，

∴由勾股定理可知BC＝3.

∵∠BOC＝60°，OB＝OC＝3，

∴△OBC是等边三角形，∴∠OBC＝60°，

∴∠ABO＝90°，

∴由勾股定理可知OA＝3.

∵OP＝OB＝3，

∴AP＝r＝OA－OP＝3－3，

∴PE＋EF＋PF＝MN＝r＝3－9，

∴PE＋EF＋PF的最小值为（3－9）km.

变式训练

9．解：

（1）∵△OPE的内心为M，

∴∠MOP＝∠MOC，∠MPO＝∠MPE，

∴∠PMO＝180°－∠MPO－∠MOP＝180°－（∠EOP＋∠OPE）．

∵PE⊥OC，即∠PEO＝90°，

∴∠PMO＝180°－（∠EOP＋∠OPE）＝180°－（180°－90°）＝135°.

（2）如图，连接CM，过C，M，O三点作⊙O′，连O′C，O′O，

在优弧CO取点D，连DA，DO.

∵OP＝OC，OM＝OM，

而∠MOP＝∠MOC，

∴△OPM≌△OCM，

∴∠CMO＝∠PMO＝135°，

∴点M在以OC为弦，并且所对的圆周角为135°的两段劣弧上（和）．

点M在扇形BOC内时，

∵∠CMO＝135°，∴∠CDO＝180°－135°＝45°，

∴∠CO′O＝90°，而OA＝2cm，

∴O′O＝OC＝×2＝，

∴弧OMC的长＝＝π（cm）．

同理点M在扇形AOC内时，同上的方法得的长为πcm，

∴内心M所经过的路径长为2×π＝π（cm）．

类型九

【例9】

（1）点M为二次函数y＝－（x－b）2＋4b＋1图象的顶点，

∴M的坐标是（b，4b＋1）．

把x＝b代入y＝4x＋1得y＝4b＋1，

∴点M在直线y＝4x＋1上．

（2）直线y＝mx＋5交y轴于点B，

∴B点坐标为（0，5），又B在抛物线上，

∴5＝－（0－b）2＋4b＋1＝5，解得b＝2，

∴二次函数的表达式为y＝－（x－2）2＋9.

当y＝0时，－（x－2）2＋9＝0，解得x1＝5，x2＝－1，

∴A（5，0）．

由图象得当mx＋5＞－（x－b）2＋4b＋1时，x的取值范围是x＜0或x＞5.

（3）如图，∵直线y＝4x＋1与直线AB交于点E，与y轴交于F，

A（5，0），B（0，5）得

直线AB的表达式为y＝－x＋5，

联立EF，AB得

方程组解得

∴点E（，），F（0，1）．

点M在△AOB内，1＜4b＋1＜，

∴0＜b＜.

当点C，D关于抛物线的对称轴对称时，b－＝－b，

∴b＝，且二次函数图象开口向下，顶点M在直线y＝4x＋1上．

综上所述，①当0＜b＜时，y1＞y2，

②当b＝时，y1＝y2，

③当＜b＜时，y1＜y2.

变式训练

10．解：

（1）将A（4，－2）代入y＝得k2＝－8，

∴y＝－.

将（－2，n）代入y＝－得n＝－，

∴n＝4，∴k2＝－8，n＝4.

（2）根据函数图象可知－2＜x＜0或x＞4.

（3）将A（4，－2），B（－2，4）代入y＝k1x＋b得k1＝－1，b＝2，

∴一次函数的关系式为y＝－x＋2，与x轴交于点C（2，0），

∴图象沿x轴翻折后得A′（4，2），

S△A′BC＝（4＋2）×（4＋2）×－×4×4－×2×2＝8，

∴△A′BC的面积为8.

类型十

【例10】①由开口可知a＜0，

∴对称轴x＝－＞0，∴b＞0，

由抛物线与y轴的交点可知c＞0，

∴abc＜0，故①正确；

②∵抛物线与x轴交于点A（－1，0），对称轴为x＝2，

∴抛物线与x轴的另外一个交点为（5，0），

∴x＝3时，y＞0，

∴9a＋3b＋c＞0，故②正确；

③由于＜2＜，且（，y2）关于直线x＝2的对称点的坐标为（，y2），

∵＜，

∴y1＜y2，故③正确；

④∵－＝2，∴b＝－4a.

∵x＝－1，y＝0，∴a－b＋c＝0，∴c＝－5a.

∵2＜c＜3，∴2＜－5a＜3，

∴－＜a＜－，故④正确．故选D.

变式训练

11．C