初三数学第2讲教师版二次函数的图象与性质解析.docx
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初三数学第2讲教师版二次函数的图象与性质解析
第2讲二次函数的图象与性质
1、求抛物线的顶点、对称轴的方法
（1）公式法：
，顶点是，对称轴是直线.
（2）配方法：
运用配方的方法，将抛物线的解析式化为的形式，得到顶点为（,），对称轴是直线.其中.
2、抛物线中的系数
（1）决定开口方向：
几个不同的二次函数，如果二次项系数相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同.当时，抛物线开口向上，顶点为其最低点；当时，抛物线开口向下，顶点为其最高点.
（2）和共同决定抛物线对称轴的位置：
当时，对称轴为轴；当、同号时，对称轴在轴左侧；当、异号时，对称轴在轴右侧。
简称为左同右异
（3）决定抛物线与轴交点位置：
当时，抛物线经过原点；当时,相交于轴的正半轴；当时,则相交于轴的负半轴.
3、抛物线的对称性：
抛物线是轴对称图形，所以对称点的连线的垂直平分线就是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点..
1、用配方法导出一般二次函数的顶点式，并能利用顶点式解决问题。
2、会用配方法求二次函数的对称轴和顶点。
3、能根据抛物线图形判定的符号，能根据的符号确定抛物线的大概位置。
4、能灵活利用抛物线的对称性解决问题
例1、把二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）配方成y＝a（x－h）2＋k形式为______，顶点坐标是______，对称轴是直线______．当x＝______时，y最值＝______；当a＜0时，x______时，y随x增大而减小；x______时，y随x增大而增大．
解析：
配方法求一般二次函数的顶点公式，利用图象判定二次函数的增减性。
答案：
例2、把二次函数y＝x2－4x＋5配方成y＝a（x－h）2＋k的形式，得______，这个函数的图象有最______点，这个点的坐标为______．
解析：
运用配方法求二次函数顶点式、顶点坐标。
答案：
例3、二次函数y＝ax2＋x＋1的图象必过点（）
A．（0，a）B．（－1，－a）
C．（－1，a）D．（0，－a）
解析：
把点的坐标代入解析式，如果等号左边等于等号右边，则该点的抛物线上，否则不是。
答案：
例4、已知抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）．
（1）若抛物线的顶点是原点，则____________；
（2）若抛物线经过原点，则____________；
（3）若抛物线的顶点在y轴上，则____________；
（4）若抛物线的顶点在x轴上，则____________．
解析：
根据
答案：
例5、求二次函数
（1）顶点坐标与对称轴方程；
（2）x取何值时，y随x增大而减小?
x取何值时，y随x增大而增大?
（3）当x为何值时，函数有最大值或最小值，其值是多少?
（4）x取何值时，y＞0，y＜0，y＝0?
解析：
先将二次函数配成顶点式，再用描点法画出二次函数的图形，根据图形回答问题。
答案：
例6：
若二次函数的最小值为2，求m的值
解析：
找出二次项系数、一次项系数和常数项直接代入公式解决问题，注意二次函数有最小值，所以
答案：
4
A
1．二次函数y＝mx2＋2mx－（3－m）的图象如下图所示，那么m的取值范围是（）
A．m＞0B．m＞3
C．m＜0D．0＜m＜3
解析：
利用二次函数图象判定
答案：
C
2．在同一坐标系内，函数y＝kx2和y＝kx－2（k≠0）的图象大致如图（）
解析：
利用一次函数与二次函数的图形及性质解决问题
答案：
B
3、如图，已知抛物线的对称轴为，点A，B均在抛物线上，且AB与x轴平行，其中点A的坐标为（0，3），则点B的坐标为
A．（2，3）B．（3，2）
C．（3，3）D．（4，3）
解析：
利用抛物线的对称性解决问题
答案：
D
4、二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象不经过
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
解析：
根据图象可知
答案：
D
5、把抛物线y=x+bx+c的图象向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得图象的解析式为y=x－3x＋5，则（ ）
A．b=3，c=7 B．b=6，c=3C．b=9，c=5 D．b=9，c=21
解析：
先把二次函数解析式配成顶点式，再利用平移法则“上加下减、左加右减”解决问题
答案：
A.
6、若把函数y=x的图象用E（x，x）记，函数y=2x+1的图象用E（x，2x+1）记，……则E（x，）可以由E（x，）怎样平移得到？
A．向上平移１个单位 B．向下平移１个单位
C．向左平移１个单位D．向右平移１个单位
解析：
根据定义可知点，然后利用平移法则解决问题。
答案：
D
7、二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论①a、b异号；②当x=1和x=3时，函数值相等；③4a+b=0，④当y=4时，x的取值只能为0．结论正确的个数有（）个
A．1 Ｂ．2 Ｃ．3 Ｄ．4
解析：
，再利用抛物线的对称性判定②、③、④正确与否。
答案：
C
8、已知抛物线（＜0）过A（，0）、O（0，0）、B（，）、C（3，）四点，则与的大小关系是
A．＞B．C．＜D．不能确定
解析：
答案：
A
B
9、设a、b是常数，且b＞0，抛物线y=ax2+bx+a2-5a-6为下图中四个图象之一，则a的值为（）
A.6或－1B.－6或1C.6D.－1
解析：
因为，所以抛物线对称轴不能为，排除第一个和第二个，又因为图形经过原点，所以，经验得
答案：
D
10、抛物线图像向右平移2个单位再向下平移3个单位，所得图像的解析式为，则b、c的值为
A.b=2，c=2B.b=2，c=0
C.b=-2，c=-1D.b=-3，c=2
解析：
先将一般式配方成顶点式，再利用平移的法则解决问题。
答案：
B
11、定义[]为函数的特征数,下面给出特征数为[2m，1–m,–1–m]的函数的一些结论：
①当m=–3时，函数图象的顶点坐标是（，）；
②当m>0时，函数图象截x轴所得的线段长度大于；
③当m<0时，函数在x>时，y随x的增大而减小；
④当m0时，函数图象经过同一个点.
其中正确的结论有
A.①②③④B.①②④C.①③④D.②④
解析：
根据定义可以得到函数解析式为，然后根据每一条件进行验证。
答案：
B
12：
已知二次函数的图象如图所示,记,则与的大小关系为（）
A.B.C.D.、大小关系不能确定
解析：
根据图象可知
答案：
C
C
13：
如图，两条抛物线1=-2+1、2=2-1与分别经过点（-2，0），（2，0）且平行于y轴的两条平行线围成的阴影部分的面积为
A．8B．6C．10D．4
解析：
用分割拼接的方法将阴影图形变成规则图形，然后求解。
答案：
A
14:
将抛物线绕它的顶点旋转180°，所得抛物线的解析式是（）．
A．B．
C．D．
解析：
因为是绕顶点旋转1800，所以旋转后的顶点坐标与旋转前的一样，开口方向相反，即的值互为相反数。
答案：
D
15、如图，二次函数的图象经过点D，与x轴交于A、B两点．
⑴求的值；
⑵如图①，设点C为该二次函数的图象在x轴上方的一点，直线AC将四边形ABCD的面积二等分，试证明线段BD被直线AC平分，并求此时直线AC的函数解析式；
⑶设点P、Q为该二次函数的图象在x轴上方的两个动点，试猜想：
是否存在这样的点P、Q，使△AQP≌△ABP？
如果存在，请举例验证你的猜想；如果不存在，请说明理由．（图②供选用）
解析：
⑴∵抛物线经过点D（）
∴
∴c=6.
⑵过点D、B点分别作AC的垂线，垂足分别为E、F，设AC与BD交点为M，
∵AC将四边形ABCD的面积二等分，即：
S△ABC=S△ADC∴DE=BF
又∵∠DME=∠BMF，∠DEM=∠BFE
∴△DEM≌△BFM
∴DM=BM即AC平分BD
∵c=6.∵抛物线为
∴A（）、B（）
∵M是BD的中点∴M（）
设AC的解析式为y=kx+b，经过A、M点
解得
直线AC的解析式为.
⑶存在．设抛物线顶点为N（0，6），在Rt△AQN中，易得AN=，于是以A点为圆心，AB=为半径作圆与抛物线在x上方一定有交点Q，连接AQ，再作∠QAB平分线AP交抛物线于P，连接BP、PQ，此时由“边角边”易得△AQP≌△ABP．
答案：
（2）直线AC的解析式为.
（3）存在．设抛物线顶点为N（0，6），在Rt△AQN中，易得AN=，于是以A点为圆心，AB=为半径作圆与抛物线在x上方一定有交点Q，连接AQ，再作∠QAB平分线AP交抛物线于P，连接BP、PQ，此时由“边角边”易得△AQP≌△ABP．
1．抛物线y＝ax2＋bx必过______点．
答案：
原点
2．若二次函数y＝mx2－3x＋2m－m2的图象经过原点，则m＝______，这个函数的解析式是______．
答案：
2
3．若抛物线y＝x2－4x＋c的顶点在x轴上，则c的值是______．
答案：
4
4．若二次函数y＝ax2＋4x＋a的最大值是3，则a＝______．
答案：
-2
5．把抛物线的图象向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得图象的解析式是，试求b、c的值。
答案：
1．抛物线y＝2x2－3x－5的顶点坐标为______．当x＝______时，y有最______值是______，与y轴的交点是______，当x______时，y随x增大而减小，当x______时，y随x增大而增大．
答案：
，
2．抛物线y＝ax2＋bx＋c与y＝3－2x2的形状完全相同，只是位置不同，则a＝______．
答案：
-2
3．抛物线y＝2x2先向______平移______个单位就得到抛物线y＝2（x－3）2，再向______平移______个单位就得到抛物线y＝2（x－3）2＋4．
答案：
右，3，上，4
4．下列函数中①y＝3x＋1；②y＝4x2－3x；④y＝5－2x2，是二次函数的有（）
A．②B．②③④
C．②③D．②④
答案：
D
5．抛物线y＝－3x2－4的开口方向和顶点坐标分别是（）
A．向下，（0，4）B．向下，（0，－4）
C．向上，（0，4）D．向上，（0，－4）
答案：
B
6．抛物线的顶点坐标是（）
A．B．C．D．（1，0）
答案：
B
7、函数在同一直角坐标系内的图象大致是（）
答案：
C.
8．已知二次函数y＝2x2＋4x－6．
（1）将其化成y＝a（x－h）2＋k的形式；
（2）写出开口方向，对称轴方程，顶点坐标；
（3）说明其图象与抛物线y＝x2的关系；
（4）当x取何值时，y随x增大而减小；
（5）当x取何值时，函数y有最值?
其最值是多少?
答案：
（1）
（2）
（3）先向左平移1个单位，再向下平移8个单位
（4）
（5）
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