黑龙江省齐齐哈尔市第八中学学年高二下学期期中考试数学理试题 Word版含答案.docx
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黑龙江省齐齐哈尔市第八中学学年高二下学期期中考试数学理试题Word版含答案
2016---2017学年度下学期期中考试
高二数学试题（理科）
第Ⅰ卷（共60分）
2017年4月
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.若集合A={x||x|＜1}，B={x|≥1}，则A∪B=（）
A．（﹣1，1]B．[﹣1，1]C．（0，1）D．（﹣∞，1]
2.在复平面内，复数对应的点在（）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
3.用反证法证明命题：
“，，，且，则中至少有一个负数”时的假设为（）
A．中至少有一个正数B．全为正数
C．全都大于等于0D．中至多有一个负数
4.已知a＞0，b＞0，且+=1，则a+2b的最小值是（）
A．3﹣2B．3+2C．2D．4
5.已知的取值如下表所示：
x
2
3
4
y
5
4
6
如果与呈线性相关，且线性回归方程为：
，则（）
A．B．C．D．
6.将曲线y=cos6x按照伸缩变换后得到的曲线方程为（）.
A.y′=2cos3x′B.y′=3cos2x′C.y′=cos2x′D.y′=2cos2x′
7.如图给出的是计算1+++…+的值的一个程序框图，则判断框内应填入的条件是（）
A．i≤1009B．i＞1009C．i≤1010D．i＞1010
8.若a＞0，b＞0，且函数f（x）=4x3﹣ax2﹣2bx﹣2在x=1处有极值，则ab的最大值为（ ）A．2B．3C．6D．9
9.在R上可导的函数f（x）的图形如图所示，则关于x的不等式
x•f′（x）＜0的解集为（ ）
A．（﹣∞，﹣1）∪（0，1）B．（﹣1，0）∪（1，+∞）
C．（﹣2，﹣1）∪（1，2）D．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）
10.二项式（x﹣a）7的展开式中，含x4项的系数为﹣280，则dx=（ ）
A．ln2B．ln2+1C．1D．
11.某企业有4个分厂，新培训了一批6名技术人员，将这6名技术人员分配到各分厂，要求每个分厂至少1人，则不同的分配方案种数为（）
A．1080B．480C．1560D．300
12.设函数是定义在上的可导函数，其导函数为，且有，则不等式的解集为（）
A.B.C.D.
第Ⅱ卷（共90分）
2、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）.
13.复数Z满足（1+i）Z=|1﹣i|，则Z的虚部为 ．
14.若随机变量ξ～N（2，1），且P（ξ＞3）=0.1587，则P（ξ＞1）= ．
15.观察下列等式
¡ ¡照此规律，第个等式可为．
16.如图，点的坐标为，函数过点，若在矩形内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于__________.
三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤）
17.（本小题满分10分）
已知曲线C1的参数方程为：
（θ为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为：
ρ=4sin（θ+），直线l的极坐标方程为θ=．
（Ⅰ）求曲线C1的普通方程与曲线C2的直角坐标方程；
（Ⅱ）若曲线C1和曲线C2与直线l分别交于非坐标原点的A，B两点，求|AB|的值．
18.（本小题满分12分）
已知函数f（x）=|x﹣3|﹣2|x+1|的最大值为m．
（Ⅰ）求m的值和不等式f（x）＜1的解集；
（Ⅱ）若a，b∈（0，+∞），a2+2b2+c2=m，求ab+bc的最大值．
19.（本小题满分12分）
微信是腾讯公司推出的一种手机通讯软件，一经推出便风靡全国，甚至涌现出一批在微信的朋友圈内销售商品的人（被称为微商）．为了调查每天微信用户使用微信的时间，某经销化妆品的微商在一广场随机采访男性、女性用户各50名，其中每天玩微信超过6小时的用户为“A组”，否则为“B组”，调查结果如下：
A组
B组
合计
男性
26
24
50
女性
30
20
50
合计
56
44
100
（Ⅰ）根据以上数据，能否有60%的把握认为“A组”用户与“性别”有关？
（Ⅱ）现从调查的女性用户中按分层抽样的方法选出5人赠送营养面膜1份，求所抽取5人中“A组”和“B组”的人数；（Ⅲ）从（Ⅱ）中抽取的5人中再随机抽取3人赠送200元的护肤品套装，记这3人中在“A组”的人数为X，试求X的分布列与数学期望．
参考公式：
K2=，其中n=a+b+c+d为样本容量．参考数据：
P（K2≥k0）
0.50
0.40
0.25
0.05
0.025
0.010
k0
0.455
0.708
1.323
3.841
5.024
6.635
20.（本小题满分12分）
如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PC⊥底面ABCD，ABCD是直角梯形，AB⊥AD，AB∥CD，AB=2AD=2CD=2．E是PB的中点．
（Ⅰ）求证：
平面EAC⊥平面PBC；
（Ⅱ）若二面角P﹣AC﹣E的余弦值为，求直线PA与平面EAC所成角的正弦值．
21.（本小题满分12分）
已知点，椭圆的离心率为，是椭圆的右焦点，直线的斜率为，为坐标原点.
（Ⅰ）求的方程；
（Ⅱ）设过点的动直线与相交于两点，当的面积最大时，求的方程.
22.（本小题满分12分）
已知函数f（x）=x﹣，m∈R，且m≠0．
（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；
（Ⅱ）若m=﹣1，求证：
函数F（x）=x﹣有且只有一个零点．
2016---2017学年度下学期期中考试
高二数学试题（理科）答案
一、选择题
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
A
B
C
B
D
D
A
D
A
C
C
A
二、填空题
13．14．0.8413
15．16．
三、解答题
17.（本小题满分10分）
解：
（1）曲线C1的参数方程为：
（θ为参数），
普通方程为x2+（y﹣1）2=1，曲线C2的极坐标方程为：
ρ=4sin（θ+），即ρ=2sinθ+2cosθ，直角坐标方程为x2+y2=2y+2x；-------------------5分
（2）曲线C1的极坐标方程为：
ρ=2sinθ，将θ=代入C1的极坐标方程得ρ1=1，
将θ=代入C2的极坐标方程得ρ2=4，
∴|AB|=ρ2﹣ρ1=3．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣10分
18.（本小题满分12分）
解：
（1）当x≤﹣1时，f（x）=（3﹣x）+2（x+1）=x+5≤4；
当﹣1＜x＜3时，f（x）=（3﹣x）﹣2（x+1）=﹣3x+1∈（﹣8，4）；
当x≥3时，f（x）=（x﹣3）﹣2（x+1）=﹣x﹣5≤﹣8．…
故当x=﹣1时，f（x）取得最大值m=4；----------4分
|x﹣3|﹣2|x+1|＜1，可化为
当x≤﹣1时，x+5＜1，∴x＜﹣4；当﹣1＜x＜3时，﹣3x+1＜1，∴x＞0，∴0＜x＜3；
当x≥3时，﹣x﹣5＜1，∴x＞﹣4，∴x≥3，
综上所述，不等式f（x）＜1的解集为{x|x＜﹣4或x＞0}；----------8分
（2）由
（2）知，a2+2b2+c2=4，则ab+bc≤[（a2+b2）+（b2+c2）]=2，
∴ab+bc的最大值为2．----------12分
19.（本小题满分12分）
解：
（1）由2×2列联表可得
K2=
=≈0.649＜0.708；
没有60%的把握认为“A组”用户与“性别”有关；----------4分
（2）由题意得，所抽取的5位女性中，
“A组”有5×=3人，“B组”有5×=2人；-------------------------------6分
（3）X的所有可能取值为1，2，3，
则P（X=1）==，P（X=2）==，
P（X=3）==，
所有X的分布列为：
X
1
2
3
P
其数学期望为EX=1×+2×+3×=．------------------12分
20.（本小题满分12分）
（Ⅰ）证明：
∵PC⊥平面ABCD，AC?
平面ABCD，∴AC⊥PC，
∵AB=2，AD=CD=1，∴AC=BC=，
∴AC2+BC2=AB2，∴AC⊥BC，
又BC∩PC=C，∴AC⊥平面PBC，
∵AC?
平面EAC，∴平面EAC⊥平面PBC．…------------------4分
（Ⅱ）如图，以C为原点，取AB中点F，、、分别为x轴、y轴、z轴正向，建立空间直角坐标系，则C（0，0，0），A（1，1，0），B（1，﹣1，0）．
设P（0，0，a）（a＞0），则E（，﹣，），…
=（1，1，0），=（0，0，a），=（，﹣，），
取=（1，﹣1，0），则•=•=0，为面PAC的法向量．
设=（x，y，z）为面EAC的法向量，则•=•=0，
即取x=a，y=﹣a，z=﹣2，则=（a，﹣a，﹣2），
依题意，|cos＜，＞|===，则a=2．…
于是=（2，﹣2，﹣2），=（1，1，﹣2）．
设直线PA与平面EAC所成角为θ，则sinθ=|cos＜，＞|==，
即直线PA与平面EAC所成角的正弦值为．…--------------12分
21.（本小题满分12分）
从而，
又点到直线的距离为，
所以的面积，
设，则，，因为，当且仅当，即时等号成立，且满足，所以当的面积最大时，的方程为或.
22.（本小题满分12分）
（1）解：
f′（x）=1﹣=，x＞0，------------1分
当m＜0时，f′（x）＞0，则f（x）在（0，+∞）上单调递增；
当m＞0时，由f′（x）＞0，解得x＞，由f′（x）＜0，得0＜x＜．
∴f（x）在区间（0，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增；----------5分
（2）证明：
由已知，F（x）=x﹣，则F′（x）=，
设h（x）=x2﹣1+lnx，则h′（x）=2x+＞0（x＞0），
故h（x）=x2﹣1+lnx在（0，+∞）上为增函数，
又由于h
（1）=0，因此F′
（1）=0且F′（x）有唯一的零点1．
当0＜x＜1时，F′（x）＜0，当x＞1时，F′（x）＞0．
∴F（x）在（0，1）上为减函数，在（1，+∞）上为增函数，
∴F（x）的最小值为F
（1）=0．
∴函数F（x）=x﹣有且只有一个零点．--------------------------12分
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