高中数学第2章统计21抽样方法212213系统抽样分层抽样教学案苏教版必修3.docx
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高中数学第2章统计21抽样方法212213系统抽样分层抽样教学案苏教版必修3
2．1.2&2.1.3 系统抽样 分层抽样
预习课本P46～48，思考并完成以下问题
1．什么叫系统抽样，系统抽样有什么特征，系统抽样操作步骤是什么？
2．什么叫分层抽样，分层抽样有什么特征，分层抽样操作步骤是什么？
3．三种抽样方法有何相同点及不同点，它们之间有何联系．
1．系统抽样
（1）系统抽样的概念
将总体平均分成几个部分，然后按照一定的规则，从每个部分中抽取一个个体作为样本，这样的抽样方法称为系统抽样．
（2）系统抽样的步骤
假设从容量为N的总体中抽取容量为n的样本，其步骤为：
①采用随机的方式将总体中的N个个体编号；
②将编号按间隔k分段，当
是整数时，取k＝
；当
不是整数时，从总体中剔除一些个体，使剩下的总体中个体的个数N′能被n整除，这时取k＝
，并将剩下的总体重新编号；
③在第一段中用简单随机抽样确定起始的个体编号l；
④按照一定的规则抽取样本，通常将编号为l，l＋k，l＋2k，…，l＋（n－1）k的个体抽出．
（3）系统抽样的特征
①系统抽样也称为“等距抽样”．
②适用于总体容量较大的情况．
③将总体分成几个部分，各部分必须是均衡的，间隔是相等的．
④剔除多余个体及第一段抽样都用简单随机抽样，因而系统抽样与简单随机抽样有密切联系．
⑤它是等可能抽样，每个个体被抽到的可能性都是
.
2．分层抽样
（1）分层抽样的概念
当总体由差异明显的几个部分组成时，为了使样本更客观地反映总体的情况，常将总体中的个体按不同的特点分成层次比较明显的几个部分，然后按照各部分在总体中所占的比实施抽样，这种抽样方法称为分层抽样，其中所分成的各个部分称为“层”．
（2）分层抽样的步骤：
①将总体按一定标准进行分层；
②计算各层的个体数与总体的个体数的比；
③按各层个体数占总体的个体数的比确定各层应抽取的样本容量；
④在每一层进行抽样（可用简单随机抽样或系统抽样）．
（3）分层抽样的特征：
总体由差异比较明显的几个部分组成．
3．三种抽样方法的比较
简单随机抽样
系统抽样
分层抽样
方法
要点
随机→“搅拌均匀”→抽取
编号→间隔→选号→抽取
分层→比例→抽取
共同
点
①抽样过程中每个个体被抽到的机会均相等；
②三种抽样方法均为不放回抽样.
不同
点
从总体中逐个随机抽取
将总体均匀分成样本容量相等的几段，按预先确定的规则在各段内抽取
将总体分成不交叉的若干层，各层中按比例抽取
相互
联系
各段抽样可采用简单随机抽样
各层的抽样可采用简单随机抽样或系统抽样
适用
范围
总体中的个体总数较少
总体中的个体总数较多
总体由差异明显的几个部分组成
1．简单随机抽样、系统抽样、分层抽样之间的共同点是________．
①都是从总体中逐个抽取．
②将总体分成几部分，按事先确定的规则在各部分抽取．
③抽样过程中每个个体被抽到的可能性是相等的．
④将总体分成几层，然后分层按比例抽取．
答案：
③
2．采用系统抽样的方法，从个体数为1004的总体中抽取一个容量为50的样本，则在抽样过程中，抽样间隔为________．
答案：
20
3．某学院的A，B，C三个专业共有1200名学生，为了调查这些学生勤工俭学的情况，拟采用分层抽样的方法抽取一个容量为120的样本．已知该学院的A专业有380名学生，B专业有420名学生，则在该学院的C专业应抽取________名学生．
答案：
40
系统抽样的应用
[典例] 某工厂有工人1003名，现从中抽取100人进行体检，试写出抽样方案．
[解] 样本容量为100，总体容量为1003，不能被100整除，因此需要剔除3个个体，然后确定抽样间隔为
＝10，利用系统抽样即可．
第一步，编号，将1003名工人编号，号码为0001,0002，…，1003.
第二步，利用随机数表法抽取3个号码，将对应编号的工人剔除．
第三步，将剩余的1000名工人重新编号，号码为0001,0002，…，1000.
第四步，确定分段间隔k＝
＝10，将总体分成100段，每段10名工人．
第五步，在第1段中，利用抽签法或者随机数表法抽取一个号码m.
第六步，利用抽样间隔，将m，m＋10，m＋20，…，m＋990共100个号码抽出．
第七步，将与号码对应的工人抽出，组成样本．
解决系统抽样问题中两个关键的步骤
（1）分组的方法应依据抽取比例而定，每组抽取一个样本．
（2）起始编号的确定应用简单随机抽样的方法，一旦起始编号确定，其他编号便随之确定了．
（3）当总体中的个体数不能被样本容量整除时，需要先在总体中剔除一些个体．
[活学活用]
1．高三某班有学生56人，学生编号依次为1,2,3，…，56.现用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本，已知编号为6,34,48的同学都在样本中，那么样本中另一位同学的编号应该是________．
解析：
由于系统抽样的样本中个体编号是等距的，且间距为56/4＝14，所以样本编号应为6,20,34,48.
答案：
20
2．从某厂生产的883辆同一型号的家用轿车中随机抽取40辆测试某项性能．现在用系统抽样的方法进行抽样，请写出抽样过程．
解：
采用系统抽样法的步骤如下：
第一步，将883辆轿车随机编号：
001,002，…，883；
第二步，用随机数表法从总体中随机抽取3个编号，剔除这3个个体，将剩下的880个个体重新随机编号，分别为001,002，…，880，并分成40段，每段22个编号；
第三步，在第一段001,002，…，022中用简单随机抽样法随机抽取一个个体编号作为起始号（例如008）；
第四步，把起始号依次加上22，即可获得抽取的样本的个体编号（例如008,030，…，866）；
分层抽样的应用
第五步，由以上编号的个体即可组成抽取的样本.
[典例] 一个单位有职工160人，其中有业务人员112人，管理人员16人，后勤服务人员32人．为了了解职工的某种情况，要从中抽取一个容量为20的样本，请用分层抽样的方法抽取样本，并写出过程．
[解] 分层抽样中的抽样比为
＝
.
由112×
＝14,16×
＝2,32×
＝4，可得业务人员、管理人员、后勤服务人员应分别抽取14人，2人和4人．
确定样本的组成部分之后，下面进行层内抽样，用系统抽样法完成．
若将112名业务人员依次编号为1,2,3，…，112，管理人员编号为113,114，…，128，后勤服务人员编号为129,130，…，160.在1～112号业务人员中第一部分的个体编号为1～8中随机抽取一个号码．
如它是4号，那么可以从4号起，按系统抽样法每隔8个号码抽取1个号码，这样得到112名业务人员被抽出的14个号码依次为4,12,20,28,36,44,52,60,68,76,84,92,100,108.同样可抽出管理人员和后勤服务人员的号码分别为116,124和132,140,148,156.
将以上各层抽出的个体合并起来，就得到容量为20的样本．
（1）当已知总体是由差异明显的几部分组成时，为了使样本更充分地反映总体的情况，常采用分层抽样．
（2）分层抽样是将总体分成几层，然后分层按比例抽取样本，各层抽取时可采用简单随机抽样．
（3）分层抽样中每个个体被抽到的机会均相等，为
.
（4）分层标准要一致，层与层之间应互不重叠．
[活学活用]
1．某地区的高中分三类，A类学校共有学生4000人，B类学校共有学生2000人，C类学校共有学生3000人．现欲抽样分析某次考试的情况，若抽取900份试卷进行分析，则从A类学校抽取的试卷份数应为________份．
解析：
试卷份数应为900×
＝400（份）．
答案：
400
2．某政府机关在编人员100人，其中副处级以上干部10人，一般干部70人，工人20人．上级机关为了了解政府机构改革的意见，要从中抽取一个容量为20的样本，试确定用何种方法抽取，请具体实施操作．
解：
由于机构改革关系到各人的不同利益，故采用分层抽样的方法为妥．
∵
＝5，
＝2，
＝14，
＝4，
∴从副处级以上干部中抽取2人，从一般干部中抽取14人，从工人中抽取4人．
抽样方法的选取
由于副处级以上干部与工人人数都较少，他们分别按1～10编号与1～20编号，然后采用签法分别抽取2人和4分；对一般干部70人采用00,01，…，69编号，然后用随机数表法抽取14人.
[典例] 在下列问题中，各采用什么抽样方法抽取样本较为合适？
（1）从8台彩电中抽取2台进行质量检验．
（2）一个礼堂有32排座位，每排有40个座位（座位号为1～40），一次报告会坐满了听众，会后为听取意见留下32名听众进行座谈．
（3）某公司在甲、乙、丙、丁四个地区分别有150个、120个、180个、150个销售点．公司为了调查产品销售的情况，需从这600个销售点中抽取一个容量为100的样本．
[解]
（1）总体容量为8，样本容量为2，因此选择抽签法进行样本的抽取．
（2）总体容量为32×40＝1280，样本容量为32.由于座位数已经分为32排，因此用系统抽样更合适．
（3）总体由差异明显的四部分组成，因此可采用分层抽样方法．
总体容量较小，宜采用抽签法；总体容量较大且总体中的个体无明显差异，而样本容量较小，宜用随机数表法；总体容量较大，样本容量也较大，宜采用系统抽样法．总体是由差异明显的几个部分组成，宜用分层抽样法．在分层抽样中应注意抽样比的求解．
[活学活用]
在100个零件中，有一级品20个，二级品30个，三级品50个，从中抽取20个作为
样本．
方法一：
采用简单随机抽样的方法，将零件编号为00,01，…，99，用抽签法抽取
20个；
方法二：
采用系统抽样的方法，将所有零件分为20组，每组5个，然后从每组中随机抽取1个；
方法三：
采用分层抽样的方法，从一级品中随机抽取4个，从二级品中随机抽取6个，从三级品中随机抽取10个．
对于上述问题，下列说法中正确的有________．
①不论采用哪种抽样方法，这100个零件中每个零件被抽到的可能性都是
②采用上述三种抽样方法，这100个零件中每个零件被抽到的可能性各不相同
③在上述三种抽样方法中，方法三抽到的样本比方法一和方法二抽到的样本更能反映总体的特征
④在上述三种抽样方法中，方法二抽到的样本比方法一和方法三抽到的样本更能反映总体的特征
解析：
根据三种抽样方法的定义可知，三种方法都是等可能抽样．对于明显分层的总体，方法三抽到的样本更能准确地反映总体特征，故①③正确．
答案：
①③
层级一 学业水平达标
1．下列抽样是系统抽样的是________．（填序号）
①从标有1～15号的15个球中，任选3个作样本，按从小号到大号排序，随机选起点i0，以后i0＋5，i0＋10（超过15则从1再数起）号入样；
②工厂生产的产品，用传送带将产品送入包装车间前，检验人员从传送带上每隔5min抽一件产品进行检验；
③搞某一市场调查，规定在商场门口随机抽一个人进行询问调查，直到调查到事先规定的人数为止；
④电影院调查观众的某一指标，通知每排（每排人数相同）座位号为14的观众留下座谈．
答案：
①②④
2．老师在班级50名学生中，依次抽取学号为5,10,15,20,25,30,35,40,45,50的学生进行作业检查，这种抽样方法是________．
解析：
为等距抽样，即为系统抽样．
答案：
系统抽样
3．已知某单位有职工120人，其中男职工90人，现采用分层抽样的方法（按男、女分层）抽取一个样本，若已知样本中有27名男职工，则样本容量为________．
解析：
分层抽样中抽样比一定相同，设样本容量为n，由题意得，
＝
，解得n＝36.
答案：
36
4．在学生人数比例为2∶3∶5的A，B，C三所学校中，用分层抽样方法招募n名志愿者，若在A学校恰好选出了6名志愿者，那么n＝________.
解析：
由
＝
，得n＝30.
答案：
30
5．某企业共有3200名职工，其中中、青、老年职工的比例为5∶3∶2.
（1）若从所有职工中抽取一个容量为400的样本，应采用哪种抽样方法更合理？
中、青、老年职工应分别抽取多少人？
（2）若从青年职工中抽取120人，试求所抽取的样本容量．
解：
（1）由于中、青、老年职工有明显的差异，采用分层抽样更合理．
按照比例抽取中、青、老年职工的人数分别为：
×400＝200，
×400＝120，
×400＝80，
因此应抽取的中、青、老年职工分别为200人、120人、80人．
（2）由题设可知青年职工共有
×3200＝960人．
设抽取的样本容量为n，则有
×960＝120.∴n＝400，
因此所抽取的样本容量为400.
层级二 应试能力达标
1．从2016个编号中抽取20个号码入样，采用系统抽样的方法，则抽样的分段间隔为________．
解析：
先从2016个个体中剔除16个，则分段间隔为
＝100.
答案：
100
2．将参加数学竞赛的1000名学生编号如下：
0001,0002,0003，…，1000，打算从中抽取一个容量为50的样本，按系统抽样的方法分成50个部分，如果第一部分编号为0001,0002,0003，…，0020，第一部分随机抽取一个号码为0015，则抽取的第40个号码为________．
解析：
由题意系统抽样的组距为20，
则15＋39×20＝795，故第40个号码为0795.
答案：
0795
3．某校共有2000名学生参加跑步和登山比赛，每人都参加且每人只参加其中一项比赛，各年级参加比赛的人数情况如下表：
高一年级
高二年级
高三年级
跑步人数
a
b
c
登山人数
x
y
z
其中a∶b∶c＝2∶5∶3，全校参加登山的人数占总人数的
.为了了解学生对本次活动的满意程度，按分层抽样的方式从中抽取一个容量为200的样本进行调查，则高三年级参加跑步的学生中应抽取________人．
解析：
由题意，全校参加跑步的人数占总人数的
，高三年级参加跑步的总人数为
×2000×
＝450，由分层抽样的特征，得高三年级参加跑步的学生中应抽取
×450＝45（人）．
答案：
45
4．某校高三年级有男生500人，女生400人，为了解该年级学生的健康情况，从男生中任意抽取25人，从女生中任意抽取20人进行调查，这种抽样方法是________．
解析：
了解学生的健康情况，男、女生抽取比例应该相同，因此应用分层抽样法．由题意，
＝
，
∴本题采用的抽样方法是分层抽样法．
答案：
分层抽样
5．经问卷调查，某班学生对摄影分别执“喜欢”、“不喜欢”和“一般”三种态度．其中执“一般”态度的比“不喜欢”的多12人．按分层抽样方法从全班选出部分学生座谈摄影，如果选出的是5位“喜欢”摄影的同学，1位“不喜欢”摄影的同学和3位执“一般”态度的同学．那么全班学生中“喜欢”摄影的比全班学生人数的一半还多________人．
解析：
本班学生对摄影分别执“喜欢”、“不喜欢”和“一般”三种态度的人数比例为5∶1∶3，可设三种态度的人数分别是5x，x,3x，则3x－x＝12，∴x＝6.即人数分别为30,6,18.∴30－
＝3.故结果是3人．
答案：
3
6．一个总体中有100个个体，随机编号为0,1,2，…，99，依编号顺序平均分成10个小组，组号依次为1,2,3，…，10.现用系统抽样方法抽取一个容量为10的样本，规定如果在第1组随机抽取的号码为m，那么在第k小组中抽取的号码个位数字与m＋k的个位数字相同，若m＝6，则在第7组中抽取的号码是________．
解析：
m＋k＝6＋7＝13，由规定知抽取号码的个位数字为3，第7组中号码的十位数字为6.所以抽取号码为63.
答案：
63
7．一工厂生产了某种产品16800件，它们来自甲、乙、丙三条生产线，为检查这批产品的质量，决定采用分层抽样的方法进行抽样，已知甲、丙二条生产线抽取的个体数和为乙生产线抽取的个体数的两倍，则乙生产线生产了________件产品．
解析：
甲、乙、丙抽取的个体数为x，y，z，由题意x＋z＝2y，即乙占总体的
，故乙生产线生产了16800×
＝5600.
答案：
5600
8．某企业三月中旬生产A，B，C三种产品共3000件，根据分层抽样的结果，该企业统计员制作了如下的统计表：
由于不小心，表格中A，C产品的有关数据已被污染看不清楚，统计员记得A产品的样本容量比C产品的样本容量多10.根据以上信息，可得C产品的数量是______件．
解析：
设C产品的数量为x，则A产品的数量为1700－x，C产品的样本容量为a，则A产品的样本容量为10＋a，由分层抽样的定义可知
＝
＝
，解得x＝800.
答案：
800
9．下面给出某村委会调查本村各户收入情况所作的抽样过程，阅读并回答问题．
本村人口：
1200人，户数：
300，每户平均人口数4人；
应抽户数：
30户；
抽样间隔：
＝40；
确定随机数字：
取一张人民币，编码的后两位数为12；
确定第一样本户：
编码为12的户为第一样本户；
确定第二样本户：
12＋40＝52，编号为52的户为第二样本户；
……
（1）该村委会采用了何种抽样方法？
（2）说明抽样过程中存在哪些问题，并修改．
（3）抽样过程中何处应用了简单随机抽样？
解：
（1）系统抽样．
（2）本题是对该村各户收入情况进行抽样而不是对该村个人收入情况抽样，故抽样间隔应为
＝10.
其他步骤相应改为：
确定随机数字：
任取一张人民币，编号的最后一位为2；
确定第一样本户：
编号为002的户为第一样本户；
确定第二样本户：
2＋10＝12，编号为012号的户为第二样本户；
……
（3）在确定随机数字时，应用的是简单随机抽样，即任取一张人民币，记下编号的最后一位．
10．某公路设计院有工程师6人，技术员12人，技工18人，要从这些人中抽取n个人参加市里召开的科学技术大会．如果采用系统抽样和分层抽样的方法抽取，不用剔除个体，如果参会人数增加1个，则在采用系统抽样时，需要在总体中先剔除1个个体，求n.
解：
总体容量为6＋12＋18＝36.
当样本容量是n时，由题意知，系统抽样的间隔为
，分层抽样的比例是
，
抽取的工程师人数为
·6＝
，
技术员人数为
·12＝
，
技工人数为
·18＝
，
所以n应是6的倍数，36的约数，即n＝6,12,18.
当样本容量为（n＋1）时，总体容量是35，系统抽样的间隔为
，因为
必须是整数，所以n只能取6.即样本容量n＝6.
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