消元解二元一次方程组 精品课教案.docx
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消元解二元一次方程组精品课教案
消元——解二元一次方程组
【教学目标】
1.进一步理解二元一次方程组的“消元”思想,熟练运用代入法解二元一次方程组
2.会列二元一次方程组解决简单实际问题
3.通过教学二元一次方程组,培养数学建模思想和化归思想
4.会用加减消元法解二元一次方程组。
5.了解解二元一次方程组的消元方法,经历从“二元”到“一元”的转化过程,体会解二元一次方程组中化“未知”为“已知”的“转化”的思想方法。
【教学重难点】
重点:
进一步理解二元一次方程组的“消元”思想,熟练运用代入法解二元一次方程组,会列二元一次方程组解决简单实际问题
难点:
一次方程组解决简单实际问题
【课时安排】
3课时
【教学过程】
【第一课时】
(一)课前设计
一、预习任务
任务1进一步熟悉二元一次方程组的解法
任务2阅读教科书例题,学会解决简单应用题
二、预习自测
(1)明明到邮局买0.8元与2元的邮票共13枚,共花去20元钱,问明明两种邮票各买了多少枚?
(知识点:
会列二元一次方程组解决简单实际问题)
(2)解:
设0.8元的邮票买了x枚,2元的邮票买了y枚,根据题意得
。
将若干只鸡放入若干笼中,若每个笼中放4只,则有一鸡无笼可放;若每个笼里放5只,则有一笼无鸡可放,问有多少只鸡,多少个笼?
(知识点:
会列二元一次方程组解决简单实际问题)
(3)解:
设有x只鸡,y个笼,根据题意得
。
(二)课堂设计
一、知识回顾
用代入法解二元一次方程组的基本思想是什么?
用代入法解二元一次方程组的基本步骤是什么?
解一元一次方程应用题的步骤是什么?
二、问题探究
问题探究一
例题1:
写出一个二元一次方程组使它的解是
(知识点:
二元一次方程组,逆向思维)
学生活动设计:
学生分组讨论进行探索,充分发挥学生的主体性,利用学生的智慧编出各种各样的二元一次方程,然后进行交流。
教师活动设计:
给予学生充分的思考问题的时间和空间,这样才能充分展示学生的创新能力。
问题探究二
例题2现有一些边长相等的正三角形、正方形瓷砖,用这两种瓷砖围绕一点拼地板,有几种拼法?
谈谈你的看法。
(知识点:
列二元一次方程组解应用题)
小组讨论,分组探索,然后每组派一人进行交流。
学生根据思考、讨论可以发现,围绕一点拼地板,必须满足在这个点周围的正多边形的各个内角的度数和是360°,于是可以设围绕一点的正三角形有x个、正方形有y个,得到二元一次方程60x+90y=360,即2x+3y=12,进一步探索这个二元一次方程的解(正整数解),经过讨论可以得到这个二元一次方程的正整数解是
,即围绕一点用正三角形、正方形拼地板只有一种情况:
用3个正三角形、2个正方形。
解:
设围绕一点有x个正三角形,y个正方形,则
60x+90y=360,
即:
2x+3y=12.
这个二元一次方程的正整数解只有
,
围绕一点只能用3个正三角形、2个正方形拼地板。
三、课堂总结
1.进一步理解二元一次方程组的“消元”思想,熟练运用代入法解二元一次方程组
2.会列二元一次方程组解决简单实际问题
四、随堂检测
1.某商店有两进价不同的耳机都卖64元,其中一个盈利60%,另一个亏本20%,在这次买卖中,这家商店()
(知识点:
会列二元一次方程组解决简单实际问题)
A.赔8元B.赚32元C.不赔不赚D.赚8元
答案:
D
2.一副三角板按如图摆放,且∠1的度数比∠2的度数大50°,若设∠1=x°,∠2=y°,则可得到的方程组为()
(知识点:
会列二元一次方程组解决简单实际问题)
A.
B.
C.
D.
答案:
D
3.李勇购买80分与100分的邮票共16枚,花了14元6角,购买80分与100分的邮票的枚数分别是()
(知识点:
会列二元一次方程组解决简单实际问题)
A.6,10B.7,9C.8,8D.9,7
答案:
B
4.两位同学在解方程组时,甲同学由
正确地解出
,乙同学因把C写错了解得
,那么a、b、c的正确的值应为()
(知识点:
二元一次方程组,消元思想)
A.a=4,b=5,c=-1B.a=4,b=5,c=-2
C.a=-4,b=-5,c=0D.a=-4,b=-5,c=2
答案:
B
【第二课时】
(一)课前设计
一、预习任务
任务1
思考:
如何用加减消元法解二元一次方程组?
二、预习自测
1.用加减法解下列方程组
较简便的消元方法是:
将两个方程_______,消去未知数_______。
(知识点:
用加减消元法解二元一次方程组,思想:
消元思想)
答案:
相加
2.已知方程组
,,用加减法消x的方法是__________;用加减法消y的方法是________。
(知识点:
用加减法消元解二元一次方程组,思想:
消元思想)
答案:
①×3-②×2,①×2+②×3
3.用加减法解下列方程时,你认为先消哪个未知数较简单,填写消元的过程。
(1)
消元方法___________。
(2)
消元方法_____________。
(知识点:
用加减法消元解二元一次方程组,思想:
消元思想)
答案:
(1)①×2-②消y
(2)①×2+②×3消n
4.方程组
的解_________。
(知识点:
用加减法消元解二元一次方程组,思想:
消元思想)
答案:
(二)课堂设计
一、知识回顾
1.请用代入法解方程组
。
2.简要叙述代入法解二元一次方程组的步骤。
问题探究
探究点一:
用加减消元法解二元一次方程组
活动一:
昨天我去水果市场买了1公斤苹果和1公斤梨花费了22元钱,碰到你们班主任也在,他买了2公斤苹果和1公斤梨花了40元,问同学一下,苹果和梨各是多少一公斤?
探究点二:
加减消元法解二元一次方程组的步骤
例1:
解方程组
(知识点:
用加减法消元解二元一次方程组,思想:
消元思想)
(1)除了用代入消元法求解以外,观察方程组的特点,还能有其他方法求解吗?
(2)方程组的系数有什么特殊的地方吗?
(3)你能想办法消去未知数y吗?
此题先由学生分析观察方程组中的两个方程,未知数x的系数相等,都是2.把两个方程两边分别相减,就可以消去未知数x,同样得到一个一元一次方程。
然后老师板演整个过程,特别注意书写时的式子的整体性。
(2x-5y)-(2x+3y)=7-(-1)
例2:
用加减法解方程组
(知识点:
用加减法消元解二元一次方程组,思想:
消元思想)
分析:
这两个方程中没有同一个未知数的系数相反或相同,直接加减两个方程不能消元,试一试,能否对方程变形,使得两个方程中某个未知数的系数相反或相同。
解:
①×3,得9x+12y=48③
②×2,得10x-12y=66④
③+④,得19x=114
x=6
把x=6代入①,得3×6+4y=16
4y=-2,y=-
所以,这个方程组的解是
议一议:
本题如果用加减法消去x应如何解?
解得结果与上面一样吗?
解:
①×5,得15x+20y=80③
②×3,得15x-18=99④
③-④,得38y=-19
y=-
把y=-
代入①,得3x+4×(-
)=16
3x=18
x=6
所以,这个方程组的解为
如果求出y=-
后,把y=
代入②也可以求出未知数x的值。
把方程组的两个方程(或先作适当变形)相加或相减,消去其中一个未知数,把解二元一次方程组转化为解一元一次方程,这种解方程组的方法叫做加减消元法,简称加减法。
师生共析:
(1)用加减消元法解二元一次方程组的基本思路仍然是“消元”。
(2)用加减法解二元一次方程组的一般步骤:
第一步:
在所解的方程组中的两个方程,如果某个未知数的系数互为相反数,可以把这两个方程的两边分别相加,消去这个未知数;如果未知数的系数相等,可以直接把两个方程的两边相减,消去这个未知数。
第二步:
如果方程组中不存在某个未知数的系数绝对值相等,那么应选出一组系数(选最小公倍数较小的一组系数),求出它们的最小公倍数(如果一个系数是另一个系数的整数倍,该系数即为最小公倍数),然后将原方程组变形,使新方程组的这组系数的绝对值相等(都等于原系数的最小公倍数),再加减消元。
第三步:
对于较复杂的二元一次方程组,应先化简(去分母,去括号,合并同类项等),通常要把每个方程整理成含未知数的项在方程的左边,常数项在方程的右边的形式,再作如上加减消元的考虑。
二、课堂总结
1.本节课,我们主要是教学了二元一次方程组的另一解法——加减法。
通过把方程组中的两个方程进行相加减,消去一个未知数,化“二元”为“一元”。
2.加减消元法解二元一次方程组的基本思想是什么?
(加减消元法解二元一次方程组的基本思想是“消元”)
3.用加减消元法解二元一次方程组的主要步骤有哪些?
消元
解二元一次方程组的步骤:
二元一次方程组一元一次方程
回代
解一元一次方程求另一个未知数的值写出方程组的解
三、重难点突破
(1)用加减消元法解二元一次方程组的基本思路仍然是“消元”。
(2)用加减法解二元一次方程组的一般步骤:
第一步:
在所解的方程组中的两个方程,如果某个未知数的系数互为相反数,可以把这两个方程的两边分别相加,消去这个未知数;如果未知数的系数相等,可以直接把两个方程的两边相减,消去这个未知数。
第二步:
如果方程组中不存在某个未知数的系数绝对值相等,那么应选出一组系数(选最小公倍数较小的一组系数),求出它们的最小公倍数(如果一个系数是另一个系数的整数倍,该系数即为最小公倍数),然后将原方程组变形,使新方程组的这组系数的绝对值相等(都等于原系数的最小公倍数),再加减消元。
第三步:
对于较复杂的二元一次方程组,应先化简(去分母,去括号,合并同类项等),通常要把每个方程整理成含未知数的项在方程的左边。
常数项在方程的右边的形式,再作如上加减消元的考虑。
四、随堂检测
1.用加减法解下面方程组时,你认为先消去哪个未知数较简单,填写消元的方法。
(1)
,消元方法_________
(知识点:
用加减法消元解二元一次方程组,思想:
消元思想)
(2)
,消元方法_________。
(知识点:
用加减法消元解二元一次方程组,思想:
消元思想)
答案:
(1)消去x
(2)①×2+②×3消去n
2.用加减法解下列方程组:
(1)
(2)
(3)
(4)
(知识点:
用加减法消元解二元一次方程组,思想:
消元思想)
答案:
(1)
(2)
(3)
(4)
【第三课时】
(一)课前设计
一、预习任务
任务1:
如何选择适当的方法解方程组。
任务2:
如何解决简单的应用题。
二、预习自测
1.选择适当的方法解二元一次方程组。
(1)2x+y=5
(2)4x+4y=12
2x+2y=63x-2y=4
(知识点:
二元一次方程组的解法)
答案:
(1)x=2,y=1
(2)x=2,y=1
2.国庆长假期间,某旅行社接待一日游和三日游的游客共2200人,收旅行费200万元,其中一日游每人收费200元,三日游每人收费1500元。
该旅行社接待的一日游和三日游旅客各多少人?
根据所提问题解方程:
(1)有几个未知数?
几个已知量?
(2)已知量和未知量之间的数量关系你能找到吗?
(3)相等的关系是否明显?
你找找。
(知识点:
简单的二元一次方程组应用题)
答案:
设一日游x人,三日游(2200-x)人
200x+1500(2200-x)=2000000
解:
x=1000
(二)课堂设计
1.知识回顾
(1)代入消元法的第一步是:
将其中一个方程中的某个未知数用____的式子表示出来;第二步是:
用这个式子代入____,从而消去一个未知数,化二元一次方程组为一元一次方程。
(2)加减消元法关键是把二元一次方程组中的某个未知数的系数化成____或____,再把方程组中的两个方程____或____,从而达到消元的目的。
2.问题探究一:
如何选择适当的方法解方程组。
(1)加减消元法和代入消元法解二元一次方程组的共同点是什么?
(2)解二元一次方程组时,什么时候用加减法简单?
什么时候用代入法简单?
例1解方程组
(知识点:
选择适当的方法解方程组,思想:
消元思想)
问题1用加减消元法还是和代入消元法?
问题2我们想消去未知数y,该怎样做?
如何使两个方程中含y的系数相等?
解:
①×3,得15x-6y=12③,
②×2,得4x-6y=-10④,
③—④,得:
11x=22,
解这个方程得x=2,
将x=2代入①得5×2-2y=4,
解这个方程得:
y=3,
所以原方程组的解是
【问题探究二:
如何解决简单的应用题】
例题2.
2台大收割机和5台小收割机均工作两小时共收割小麦3.6公顷,3台大收割机和2台小收割机均工作两小时共收割小麦8公顷,1台大收割机和1台小收割机每小时各收割小麦多少公顷?
(知识点:
用二元一次方程组解决简单的实际问题)
分析:
如果1台大收收割小麦x公顷和y公顷,那么2台大收割机和5台小收割机1小时收割小麦______公顷,3台大收割机和2台小收割机1小时收割小麦_______公顷。
解:
设1台大收割机和1台小收割机1小时各收割小麦x公顷和y公顷。
根据两种工作方式中的相等关系,得方程组(请同学们列出方程组,并讨论用什么方法解方程组)
解:
设1台大收割机和一台小收割机每小时各收割小麦
根据两种工作方式的相等关系,得方程组
去括号,得
②-①得
解这个方程,得
将
代入①得
因此,这个方程组的解是
答:
1台大收割机和1台小收割机每小时各收割小麦
和
。
例题3
七年级(3)班在上体育课时,进行投篮比赛,体育老师做好记录,并统计了在规定时间内投进n个球的人数分布情况,体育委员在看统计表时,不慎将墨水沾到表格上(如下表)。
进球数n
0
1
2
3
4
5
投进球的人数
1
2
7
●
●
2
同时,已知进球3个和3个以上的人平均每人投进3.5个球;进球4个和4个以下的人平均每人投进2.5个球,你能把表格中投进3个球和投进4个球对应的人数补上吗?
2.为了保护环境,某校环保小组成员收集废电池,第一天收集1号电池4节,5号电池5节,总重量为460克,第二天收集1号电池2节,5号电池3节,总重量为240克,试问1号电池和5号电池每节分别重多少克(知识点:
用二元一次方程组解决简单的实际问题,思想:
建模思想)
分析:
如果1号电池和5号电池每节分别重x克,y克,则4克1号电池和5节5号电池总重量为克,2节1号电池和3节5号电池总重量为克。
请同学们独立完成,写出解答过程
解:
设1号电池每节重x克,5号电池每节重y克,根据题意可得
……
三、课堂总结
1.如何选择适当的方法解方程组。
2.列程解应用题的一般步骤
四、随堂检测
1.
2.
(知识点:
选择适当的方法解方程组,思想:
消元思想)
答案:
1、
2、
3.用16元买了60分、80分两种邮票共22枚。
60分与80分的邮票各买了多少枚?
(知识点:
用二元一次方程组解决简单的实际问题,思想:
建模思想)
答案:
60分邮票8枚,80分邮票14枚。
4.已知梯形的面积是42cm2,高是6cm,它的下底比上底的2倍少1cm,求梯形的上下底。
(知识点:
用二元一次方程组解决简单的实际问题,思想:
建模思想)
答案:
上底是5cm,下底是9cm。