等腰三角形的典型模型专题练习解析版.docx
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等腰三角形的典型模型专题练习解析版
等腰三角形的典型模板专题练习
模型一、角平分线+平行线
1、如图，△ABC中，AD是∠BAC的平分线，DE//AB交AC于点E，若DE=7，CE=5，则AC=（）．
A.10B.11C.12D.13
答案：
C
解答：
∵△ABC中，AD是∠BAC的平分线，
∴∠BAD=∠CAD.
∵DE//AB，DE=7，CE=5，
∴∠CAD=∠ADE．
∴AE=DE=7．
∴AC=AE+CE=7+5=12．
2、如图，已知在△ABC中，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，且OM//AB，ON//AC，若CB=6，则△OMN的周长是（）．
A.3B.6C.9D.12
答案：
B
解答：
∵OM//AB，
∴∠ABO=∠BOM，而∠ABO=∠OBM，则∠BOM=∠OBM．
∴△OBM为等腰三角形，且OM=BM．
同理可证ON=CN．
故C△OMN=OM+ON+MN=BM+CN+MN=BC=6．
选B.
3、如图，在△ABC中，P、Q分别是BC、AC上的点，作PR⊥AB，PS⊥AC，垂足分别为R、S，若AQ=PQ，PR=PS，则这四个结论中正确的有（）．
①PA平分∠BAC；②AS=AR；③QP//AR；④△BRP≌△CSP．
A.4个B.3个C.2个D.1个
答案：
B
解答：
①PA平分∠BAC.
∵PR⊥AB，PS⊥AC，PR=PS，AP=AP，
∴△APR≌△APS，
∴∠PAR=∠PAS，∴PA平分∠BAC.
②由①中的全等也可得AS=AR．
③∵AQ=PQ，
∴∠1=∠APQ，
∴∠PQS=∠1+∠APQ=2∠1，
又∵PA平分∠BAC，
∴∠BAC=2∠1，
∴∠PQS=∠BAC，
∴PQ//AR．
④∵PR⊥AB，PS⊥AC，
∴∠BRP=∠CSP，
∵PR=PS，
∴△BRP不一定全等于△CSP（只具备一角一边的两三角形不一定全等）．
选B.
4、如图，在△ABC中∠ABC、∠ACB的角平分线交于点O，MN过点O，且MN//BC，分别交AB、AC于点M、N，若MN=5cm，CN=2cm，则BM=______cm．
答案：
3
解答：
∵BO平分∠ABC，
∴∠ABO=∠CBO．
∵MN//BC.
∴∠MOB=∠OBC，
∴∠ABO=∠MOB，
∴BM=OM．
同理，ON=CN，
∴BM=MN-CN=5-2=3cm．
故答案为：
3．
5、如图，∠ABC=50°，BD平分∠ABC，过D作DE//AB交BC于点E，若点F在AB上，且满足DF=DE，则∠DFB的度数为______．
答案：
130°或50°
解答：
如图，DF=DF’=DE．
∵BD平分∠ABC，由图形的对称性可知：
△BDEmathbf△BDF，
∴∠DFB=∠DEB.
∵DE//AB，∠ABC=50°，
∴∠DEB=180°-50°=130°．
∴∠DFB=130°．
当点F位于点F’处时，
∵DF=DF’，
∴∠DF’B=∠DFF’=50°，
故答案是：
50°或130°．
6、如图，在△ABC中，BE、CE分别是∠ABC和∠ACB的平分线，过点E作DF//BC交AB于D，交AC于F，若AB=4，AC=3，则△ADF周长为______．
答案：
7
解答：
∵BE，CE为∠ABC和∠ACB的平分线，
∴∠1=∠2，∠5=∠6，
∵DF//BC，
∴∠2=∠3，∠4=∠6，
∴∠1=∠3，∠4=∠5，
∴DB=DE，FE=FC，
∴C△ADF=AD+DF+AF
=AD+AF+DE+EF
=AD+AF+DB+FC
=AB+AC
=7．
7、已知如图：
△ABC中，AB=AC，∠B、∠C的平分线相较于点O，过点O作EF//BC分别交AB、AC于E、F．
（1）写出线段EF与BE、CF之间的数量关系？
（不证明）
（2）若AB≠AC，其他条件不变，如图，图中线段EF与BE、CF间是否存在
（1）中数量关系？
请说明理由．
（3）若△ABC中，AB≠AC，∠B的平分线与三角形外角∠ACD的平分线CO交于O，过点O作OE//BC交AB于E，交AC于F，如图，这时图中线段EF与BE、CF间存在什么数量关系？
请说明理由．
答案：
（1）EF=BE+CF．
（2）仍然有EF=BE+CF．
（3）EF=BE-CF．
解答：
（1）EF=BE+CF．
（2）仍然有EF=BE+CF，理由如下：
∵EF//BC，
∴∠EOB=∠OBC，
∵BO平分∠ABC，
∴∠EBO=∠OBC，
∴∠EOB=∠EBO，
∴OE=BE，同理OF=FC，
∴EF=EO+OF=BE+CF．
（3）EF=BE-CF，理由如下：
∵OE//BC，
∴∠EOC=∠OCD，
∵CO平分∠ACD，
∴∠FCO=∠OCD，
∴∠FCO=∠FOC，
∴OF=CF，
同理可得到BE=EO，
∴EF=EO-FO=BE-CF．
8、如图，在△ABC中，AB=BC，∠ABC的平分线BF与∠ACB的外角平分线交于点F，过点F作DF//BC，交AB于点D，交AC于点E．
（1）图中除△ABC之外，还有几个等腰三角形，请分别写出来．
（2）若EC=6，BD=8，求DE的长．
答案：
（1）△DAE，△DBF，△ECF是等腰三角形．______
（2）2．
解答：
（1）有题意可知∠ABF=∠CBF=∠DFB，∠A=∠DEA=∠BCA，∠DFC=∠ACF=∠FCG，
∴△DAE，△DBF，△ECF是等腰三角形．______
（2）∵DF//BC，
∴∠DFB=∠FBC，
又∵BF是∠ABC的角平分线，
∴∠ABF=∠CBF，
∴∠DBF=∠DFB，
∴△DBF是等腰三角形，
∴DF=DB=8．
又DF//BC，
∴∠DFC=∠FCG，
又∵CF是∠ACG的角平分线，
∴∠FCG=∠DFC，
∴∠ACF=∠DFC，
∴△ECF是等腰三角形，
∴EF=EC=6，
∴DE=DF-EF=8-6=2．
模型二、角平分线+垂线
9、如图，D为△ABC内一点，CD平分∠ACB，BE⊥CD，垂足为点D，交AC于点E，∠A=∠ABE，AC=5，BC=3，则BD的长为（）．
A.1B.1.5C.2D.2.5
答案：
A
解答：
∵CD平分∠ACB，BE⊥CD，
∴BC=CE．
又∵∠A=∠ABE，
∴AE=BE．
∴BD=
BE=
AE=
（AC-BC）．
∵AC=5，BC=3，
∴BD=
（5-3）=1．
选A.
10、在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，线段AD是△ABC的角平分线，过点B作AD的垂线交AD的延长线于点E，若BE=4，则AD=______．
答案：
8
解答：
延长AC，与BE交于点F，
∵∠ADC+∠CAD=90°，
∠EBD+∠BDE=90°，
∠BDE=∠ADC，
∴∠EBD=∠DAC，
在△CBF和△CAD中，
，
∴△CBF≌△CAD（ASA），
∴AD=BF，
∵△ABF中，AE⊥BF，∠BAE=∠FAE，
∴△ABF是等腰三角形，
∴BE=EF，
∴AD=2BE=8．
故答案为：
8．
11、如图，在△ABC中，BE是∠ABC的角平分线，AD⊥BE，垂足为D.求证：
∠2=∠1+∠C.
答案：
证明见解答．
解答：
如图，延长AD交BC于F．
∵∠ABD=∠FBD，BD=BD，
∠ADB=∠FDB=90°，
∴Rt△ABD≌Rt△FBD.
于是∠2=∠DFB.
∵∠DFB=∠1+∠C，
∴∠2=∠1+∠C.
12、如图，△ABC中，AD平分∠BAC，CD⊥AD与点D，∠ACD=2∠B，若CD=8，AB=26，求AC的长．
答案：
AC=10．
解答：
如图，延长CD交AB于点E．
∵AD平分∠BAC，
∴∠1=∠2．
∵CD⊥AD，
∴∠ADE=∠ADC=90°
∵在△ADE和△ADC中
，
∴△ADE≌△ADC（ASA）．
∴DE=CD=8．
∠AEC=∠ACD.
又∵∠ACD=2∠B，
∠AED=∠B+∠ECB.
∴∠B=∠ECB.
∴BE=CE=16，
∴AC=AE=AB-BE=10．
模型三、垂直平分线
13、如图，在△ABC中，∠A=105°，AC的垂直平分线MN交BC于点E，AB+BE=BC，则∠B的度数是（）．
A.45°B.50°C.55°D.60°
答案：
B
解答：
连接AE，
∵MN垂直平分AC，
∴AE=CE，
∴∠EAC=∠C，
∴∠AEB=2∠C，
又∵AB+BE=BC，
∴AB=AE=CE，
∴∠ABE=∠AEB=2∠C，
又∵∠A=105°，
∴∠B=
×2=50°．
14、如图，等腰△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线MN交AC于点D，∠DBC=15°，则∠A的度数是（）．
A.35°B.40°C.50°D.55°
答案：
C
解答：
∵DM是AB的垂直平分线，
∴AD=BD，
∴∠ABD=∠A，
∵等腰△ABC中，AB=AC，
∴∠ABC=∠C=
，
∴∠DBC=∠ABC-∠ABD=
-∠A=15°，
解得：
∠A=50°，
选C.
15、如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=20°，线段AB的垂直平分线交AB于D，交AC于E，连接BE，则∠CBE为______度．
答案：
60
解答：
∵AB=AC，∠A=20°，∴∠ABC=∠C=80°．∵线段AB的垂直平分线交AB于D，∴AE=BE，∴∠ABE=∠A=20°，∴∠CBE=∠ABC-∠ABE=80°-20°=60°．
16、如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=15°，AB的垂直平分线与AC交于点D，与AB交于点E，连接BD，若AD=14，则BC的长为______．
答案：
7
解答：
∵DE是AB的垂直平分线，
∴AD=BD=14，
∴∠A=∠ABD=15°，
∴∠BDC=∠A+∠ABD=15°+15°=30°，
在Rt△BCD中，BC=
BD=
×14=7．
17、如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，AC的垂直平分线EF交AC于点E，交BC于点F，CF=3，则BF的长为______．
答案：
6
解答：
连接AF，
∵AB=AC，∠BAC=120°，
∴∠B=∠C=
=30°，
∵AC的垂直平分线EF交AC于点E，交BC于点F，
∴CF=AF，
∴∠FAC=∠C=30°，
∴∠BAF=∠BAC-∠FAC=120°-30°=90°，
在Rt△ABF中，∠B=30°，
∴BF=2AF，
∴BF=2CF=6．
18、在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，AB的垂直平分线分别交AB和AC于点D、E．
（1）求证：
AE=2CE．
（2）连接CD、请判断△BCD的形状，并说明理由．
答案：
（1）证明见解答．
（2）△DBC为等边三角形．
解答：
（1）连BE，
∵ED垂直平分AB，
∴EA=EB，
∴∠EAB=∠EBA，
∵∠A=30°，∠C=90°，
∴∠ABC=60°，∠EBC=30°，
∵在Rt△EBC中，∠EBC=30°，
∴BE=2EC，
∵EB=EA，
∴AE=2CE．
（2）∵ED垂直平分AB，
∴AD=DB，
∵在Rt△ACB中，∠C=90°，
∴CD=BD，
又∵∠ABC=60°，
∴△DBC为等边三角形．
19、如图，在△ABC中，DE，FG分别是AB，AC的垂直平分线，连接AE，AF，已知∠BAC=80°，请运用所学知识，确定∠EAF的度数．
答案：
20°．
解答：
在△ABC中，∠BAC=80°，
∴∠B+∠C=180°-∠BAC=100°，
∵DE是AB的垂直平分线，
∴EB=EA，
∴∠BAE=∠B，
同理可得∠CAF=∠C，
∴∠EAF=∠BAE+∠CAF-∠BAC
=∠B+∠C-∠BAC=20°．
模型四、倍角
20、如图，△ABC中，AD⊥BC于D，∠B=2∠C，求证：
AB+BD=CD
答案：
解答：
延长CB到点E，使得BE=AB，连接AE
得△ABE为等腰三角形
，∴∠1=∠E，∠B=2∠E
∵∠B=2∠C
∴∠C=∠E
∴△ACE为等腰三角形
∵AD⊥BC
∴CD=DE
∴AB+BD=BE+BD=DE=CD
21、如图，在△ABC中，∠ACB=2∠B，BC=2AC.求证：
∠A=90°．
答案：
解答：
作CD平分∠ACB交AB于D，过D作DE⊥BC于E，
∵∠ACB=2∠B，CD平分∠ACB
∴∠B=∠BCD
即△DBC是等腰三角形
∵DE⊥BC
∴BC=2CE
又BC=2AC
∴AC=CE
易证≌△ACD≌△ECD（SAS）
∴∠A=∠DEC=90°
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