B 导体切割磁感线时感应电动势的大小.docx

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B导体切割磁感线时感应电动势的大小

第十二章电磁感应

本章学习提要

1．掌握楞次定律．能熟练应用楞次定律判断磁通量发生变化时感应电流的方向。

2．掌握导体切割磁感线时感应电动势大小的计算方法，但仅限于B、l、v三者相互垂直的简单情况。

电场感应现象的产生条件以及判别导体切割磁感线时感应电流方向的“右手定则”，在基础型课程中已经做了阐述。

在此基础上，本章内容进一步探讨反映磁通量发生变化时感应电流方向的规律——楞次定律，并要求对导体切割磁感线时感应电流的大小进行定量计算。

楞次定律是本章重点探索研究的内容，要求通过实验归纳得出结论。

本章内容虽只有两个知识点，但均属于“掌握”级要求，通过学习，对电磁学规律在人类文明发展中作用的认识要提升到一个新的高度。

A楞次定律

一、学习要求

掌握楞次定律，能熟练运用楞次定律判断感应电流的方向。

从能的转化和守恒的角度理解楞次定律的内涵，深入认识电磁感应现象的本质。

采用分组方式对“磁通量变化时感应电流的方向”进行实验探究，经历根据实验记录归纳出规律性结论的过程。

通过回顾从法拉第发现电磁感应现象到楞次总结出判断感应电流的方向的规律的过程，感悟人类对自然规律的发现和应用，是与历代科学家的贡献分不开的。

二、要点辨析

1．在“楞次定律”探索实验中，如何使实验效果更好

实验前先设计好实验方案，画出记录实验过程的表格，然后根据实验记录分析、归纳出规律性的结果。

在具体实施第一个方案时（课本第60页），很可能找不到什么规律，可以再进一步用电流变化改变磁通量的电路（见基础型课程课本图11-7），代替磁铁的插入、拉出，以拓宽认识磁通量发生变化的各种形式，使实验效果更好，更有说服力。

2．如何理解楞次定律的内涵

感应电流的磁场总是要阻碍原磁场磁通量的变化：

原磁场增强时，感应电流的磁场阻碍它增强，跟原磁场反向；原磁场减弱时，感应电流的磁场阻碍它减弱，跟原磁场同向。

在导体与磁体做相对运动时，如何理解感应电流的磁场总是阻碍相对运动呢？

以拓展型课程Ⅰ（第二册）图12-3为例，当磁棒的N极插入线圈时（图a），线圈中产生感应电流，这载流线圈就相当于一根条形磁铁，N极面向磁棒的N极，结果两个N极之间互相排斥，其效果是反抗磁棒的插入。

当把磁棒的N极从线圈中拔出时（图b），线圈中产生感应电流，相当于条形磁铁的S极在上端，它和磁棒的N极互相吸引，其效果是阻止磁棒的拔出。

所以，楞次定律还可以表述为：

感应电流产生的效果总是反抗引起感应电流的原因。

这里所说的“效果”，既可理解为感应电流激发的磁场，也可以理解为因感应电流引起的机械作用；这里所说的“原因”，既可指原磁场磁通量发生变化，也可指引起磁通量变化的相对运动或回路的形变。

3．如何理解“楞次定律符合能的转变和守恒定律”

我们知道，感应电流在闭合回路中流动时将释放焦耳热。

根据能量守恒定律，能量不可能无中生有，这部分热只可能从其他形式的能量转化而来，按照楞次定律，把磁棒插入线圈或从线圈中拔出（见课本图12-3），外力都必须克服斥力或引力做机械功，在做功过程中把机械能转化成电能，通过感应电流做功又转化为焦耳热。

设想感应电流的“效果”不是反抗引起感应电流的“原因”，而是促进相对运动，那么只要用外力把磁铁稍稍移动一下，感应电流使磁铁动得更快些，于是感应电流增大了，这个增大又进一步加速相对运动……如此不断反复加强，由最初微小移动做的功，就能得到无穷大的动能和电能，这显然是与能的转化和守恒定律相违背的，所以，感应电流的方向必定遵从楞次定律所表述的规律。

这充分说明楞次定律实际上就是能的转化和守恒定律在电磁感应现象中的具体表现。

4．楞次定律的应用

在应用楞次定律解决实际问题时，按下列四个步骤判定感应电流的方向：

①明确原磁场方向；②确定原磁场的磁通量是增强还是减弱；③根据楞次定律确定感应电流磁场的方向（跟原磁场同向还是反向）；④用安培定则确定感应电流方向。

在这四步中步骤③是核心所在。

画成图表如下：

1明确原磁场方向

2确定原磁场的变化情况

3感应电流的磁场方向

4感应电流的方向

楞次定律

安培定则

5．楞次定律与右手定则一致吗

在导体切割磁感线而产生感应电流的情况下，运用楞次定律判断感应电流方向，与用右手定则判断的结果是一样的，如图12-1所示，在两根平行的光滑导轨上，垂直放置两条直导线，整个装置处在垂直于轨道平面向下的匀强磁场中，当导线cd向右滑动的过程中，用右手定则判断可知，cd导线中感应电流方向是dcabd，ab导线受向右安培力作用而向右运动，若用楞次定律分析，当cd向右滑动时，回路中磁通量增大，感应电流磁场应阻碍磁通量增大，所以它的方向跟原磁场方向相反（垂直于轨道平面向上），用安培定则可知感应电流方向也是dcabd，最后得到ab导线向右运动的相同结果。

三、例题分析

【示例1】在图（a）中，当磁铁突然向铜环运动时，铜环是向左摆动还是向右摆动？

【分析】可从以下三个角度认识楞次定律：

①从磁通量变化的角度看，电磁感应产生的效果总是阻碍磁通量的变化；

②从导体和磁体相对运动看，电磁感应产生的效果总是阻碍相对运动；

③从能量守恒的角度看，电磁感应总有能量的转化。

从机械能转化为电能时，总要克服电磁力做功。

【解答】

①从磁通量变化的角度看，磁铁的磁场方向向左，磁铁向右运动时，穿过铜环的磁通量增加，铜环产生的感应电流的磁场阻碍它增加，感应电流磁场方向向有，由安培定则可知，从左向右看，感应电流是顺时针方向。

现将铜环中的圆电流看作由许多极短的直线电流组成，取上、下两段用左手定则可知安培力向右[图（b）]，线圈向右摆动。

②磁铁向右运动时，铜环产生的感应电流的磁场总是阻碍它们之间的相对运动，感应电流磁场可等效为一条形磁铁[图（c）]，它们之间相斥，因此铜环向右摆动。

③从能量守恒的角度看，磁铁向右运动时，铜环产生感应电流，机械能转变为电能，磁铁的S极靠近铜环时必定要克服阻力做功，因此铜环一定跟磁铁相斥，即向右摆动。

从上述分析可知，在不同情况下可从不同角度应用楞次定律，得到相同结果，但本题的情景用第二种表述最为简洁。

【示例2】一平面线圈用细杆悬于P点，开始时细杆处于水平的位置，释放后让它在如图所示的匀强磁场中运动，且线圈平面始终与纸面垂直，当线圈第一次通过位置Ⅰ和位置Ⅱ时，

顺着磁场的方向看，线圈中感应电流的方向分别为（）

（A）位置Ⅰ逆时针方向，位置Ⅱ逆时针方向

（B）位置Ⅰ逆时针方向，位置Ⅱ顺时针方向

（C）位置Ⅰ顺时针方向，位置Ⅱ顺时针方向

（D）位置Ⅰ顺时针方向，位置Ⅱ逆时针方向

【分析】细杆由水平位置释放后，线圈平面与磁感线的夹角由0°增大到90°的过程中，穿过线圈的磁通量增大。

根据楞次定律可知，感应电流磁场方向跟原磁场反向，所以，当线圈在位置Ⅰ时，顺着磁场的方向看，其感应电流方向是逆时针的。

接着，线圈平面与磁感线的夹角由90°再增大，穿过线圈的磁通量在减小，感应电流的磁场方向跟原磁场相同，所以，当线圈在位置Ⅱ时，顺着磁场的方向看，感应电流方向是顺时针的。

【解答】（B）。

四、基本训练

1．如图所示，A和B是两个同心导体圆环，A中通以顺时针方向的电流，在图里标出当A中电流减小时，B中的感应电流方向。

2．图中的CDEF是闭合金属框，当导体AB向右运动时，用楞次定律判断左、右两个回路中感应电流的方向，用右手定则可以判断出来吗？

3．图中线圈M、P绕在同一铁芯上。

在下列各种情况下，电流表中有无电流通过？

如果有电流，流过电流表的方向如何？

（1）当合上开关S的一瞬间；

（2）当线圈M里有恒定电流时；

（3）当断开开关S的一瞬间。

4．下列关于楞次定律的说法中，错误的是（）

（A）感应电流的磁场总是阻碍引起感应电流的磁通量

（B）感应电流的磁场总是阻碍引起感应电流的磁通量的变化

（C）感应电流的磁场总与引起感应电流的磁场方向相反

（D）感应电流的磁场方向也可能与引起感应电流的磁场方向一致

5．某磁场的磁感线如图所示，一铜线圈自位置A落到位置B，在下落过程中，自上向下看，线圈中的感应电流方向是（）

（A）始终顺时针

（B）始终逆时针

（C）先顺时针再逆时针

（D）先逆时针再顺时针

6．

在一根光滑的绝缘直杆上套有两个轻铝环A和B。

当用一条形磁铁的N极自右向左插入铝环时（如图所示），两铝环的运动情况是（）

（A）同时向右移动，相互间距离拉大

（B）同时向右移动，相互间距离缩短

（C）同时向左移动，相互间距离拉大

（D）同时向左移动，相互间距离缩短

7．如图所示是一种灵敏电流计结构示意图。

（1）根据图上正负接线柱和指针偏转方向，在图上画出电流流过线圈的方向，以及磁体P、Q的极性。

（2）在搬运灵敏电流计时，为了不使它因指针的摆动而损坏，常用导线将它的正负接线柱连接起来，请说明这样做的原因。

8．

【小实验】如图所示，在能够绕竖直轴自由旋转的横杆的两端，固定着A、B两个铝环，其中A环闭合，B环是不闭合的。

将条形磁铁的S极分别移近或离开A环、B环时，会产生什么现象？

若用条形磁铁的N极重复上述实验，情况又如何？

请你亲手做一做，并解释你观察到的现象。

9．

如图所示，有一个带正电的粒子，沿一个圆环形导体的上方在圆环表面匀速掠过，关于圆环中有无感应电流的情况是（）

（A）圆环中没有感应电流

（B）圆环中有顺时针方向的感应电流

（C）粒子靠近时，圆环中有逆时针方向的感应电流，离开时有顺时针方向的感应电流

（D）粒子靠近时。

圆环中有顺时针方向的感应电流，离开时有逆时针方向的感应电流

10．竖直放置的圆形线圈，自上向下匀速掠过通有稳恒电流I的长直导线，导线中电流方向如图所示。

当线圈经过图中Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三个位置时，线圈中感应电流的方向是（）

（A）都沿逆时针方向

（B）经过位置Ⅰ、Ⅲ时沿顺时针方向，经过位置Ⅱ时没有感应电流

（C）经过位置Ⅰ、Ⅱ时沿顺时针方向，经过位置Ⅲ时沿逆时针方向

（D）经过位置Ⅰ、Ⅲ时沿顺时针方向，经过位置Ⅱ时沿逆时针方向

11．

如图所示，闭合金属圆环P位于通电螺线管Q的中垂面处，二者的轴线重合。

当Q中的电流I减小时，（）

（A）P内的感应电流方向与Q内的电流方向相同，P环有缩小的趋势

（B）P内的感应电流方向与Q内的电流方向相同，P环有扩张的趋势

（C）P内的感应电流方向与Q内的电流方向相反，P环有缩小的趋势

（D）P内的感应电流方向与Q内的电流方向相反，P环有扩张的趋势

12．

M和N是绕在同一个环形铁芯上的两个线圈，绕法和线路如图所示。

现将开关S从a处断开，然后合向b处。

在此过程中，通过电阻R2的电流方向是（）

（A）由c流向d（B）先由c流向d，后由d流向c

（C）由d流向c（D）先由d流向c，后由c流向d

13．

N、S是一个条形永久磁铁的两个磁极。

导线框abcd的平面与磁铁的上表面保持垂直。

而与磁极的端面保持平行，如图所示，下列说法中，正确的是（）

（A）沿Ox方向从图中位置匀速运动到S端的过程中，框内先有abcda方向感应电流，后有相反方向的感应电流

（B）沿Ox方向从图中位置匀速运动到S端的过程中，框内先有adcba方向感应电流，后有相反方向的感应电流

（C）沿Oy方向匀速运动时，有abcda方向的感应电流，但越来越小

（D）沿Oy方向匀速运动时，有adcba方向的感应电流，且保持不变

五、学生实验

研究磁通量变化时感应电流的方向

1．实验目的

探究感应电流方向与磁通量变化的关系。

2．实验方案

方案1

【实验原理】将条型磁铁的N、S极分别插入感应线圈，或从感应线圈中拉出，观察检流计指针的偏转情况，从而归纳出判断感应电流方向的规律。

【实验器材】条形磁铁、检流计、感应线圈等。

【实验过程】如图中（a）、（b）、（c）、（d）所示，将条型磁铁插入或拉出，观察并记录检流计指针的偏转方向。

【实验记录】

（1）在图中画出（a）、（b）、（c）、（d）四种情况下，线圈中感应电流方向及感应电流磁场的方向。

（2）归纳出感应电流的方向与磁通量变化的关系：

____________________________。

方案2（请你自己设计）

【实验原理】

【实验器材】

【实验过程】

【实验记录】

实验结果：

通过上述两个实验，你得到的共同结果是什么？

___________________________________________________________________。

B导体切割磁感线时感应电动势的大小

一、学习要求

掌握导体切割磁感线时产生的感应电动势。

掌握导体切割磁感线时产生的感应电动势大小的表达式。

会计算B、l、v三者相互垂直的情况下，导体切割磁感线时产生的感应电动势的大小。

经历探索导体切割磁感线时产生的感应电动势大小与哪些因素有关的过程，进一步体验科学探究的思想方法。

从电磁感应现象在工程技术、信息技术中的应用，感悟科学技术是社会生产力发展的动力。

二、要点辨析

1．导线切割磁感线产生的感应电动势计算式E＝Blv的应用

在课本第65页中推导感应电动势计算式E＝Blv时，B、l、v三者是互相垂直的。

如果导线斜向切割磁感线时，感应电动势如何计算呢？

例如，图12-4中的导体虽跟磁感线垂直，但运动方向跟磁感线不垂直，夹角为θ。

为此，把速度v正交分解为v1与v2，取v1代入公式E＝Blv中，符合B、l、v三者互相垂直的条件。

因v1＝vsinθ，所以，当导线斜向切割磁感线时，感应电动势E＝Blvsinθ。

2．金属棒在垂直于磁场的面内转动时感应电动势的大小

如图5所示，长度为l的一根铜棒，以b端为轴，在匀强磁场中以角速度ω逆时针匀速旋转，那么，铜棒两端的电势差Uab如何计算？

在这种情况下，铜棒转动时切割磁感线，棒内应有感应电动势，棒两端的电势差Uab跟电动势的大小相等，即

Uab＝Blv。

铜棒转动时，ab上各点的角速度都为ω，但线速度随着离转轴距离增大而线性地增大（v＝ωr），因此可以取铜棒ab中点的线速度大小作为平均值进行计算，则有

Uab＝Bl

＝

铜棒中感应电动势的方向由右手定则可判知是由b到a。

ab棒可以看作是电源，因此，ϕa＞ϕb。

（法拉第圆盘发电机感应电动势的计算，就是应用这个原理）

三、例题分析

【示例1】电磁流量计为什么测出管壁上a、b两点的电势差就可知道流量？

【分析】从课本图12-9（b）、（c）可以看出，由于流体是导电的，可以把ab看作是正在“切割”磁感线的直导线l，而且B、l、v三者之间是互相垂直的，管壁上a、b两点间的电势差为E＝Blv（不计导电液体的电阻，a、b两点间的电势差即为感应电动势的大小；从图中还可以看出管子的直径d即为导线长l）。

另外，从液体的流量q（m3/s）——单位时间内流过管子的液体体积出发，可以找到它跟“导体切割”速度v之间的关系

q＝

＝

·vt·

＝

，

可得到v＝

。

代入E＝BLv式中，就可以解出答案

q＝

。

【示例2】如图7所示，导体棒ab、cd放在水平的金属导轨上，磁场方向竖直向下，磁感应强度为B。

cd棒质量为m，与导轨的动摩擦因素为μ，ab棒与导轨的摩擦不计。

当ab在外力作用下以v1速度向右匀速运动时，cd棒也向右运动，设ab＝cd＝l。

ab棒电阻为R1，cd棒电阻为R2。

求：

（1）cd棒的速度v2；

（2）外力的功率P外；

（3）回路消耗的电功率P电。

【分析】解题前首先要弄清楚题目中“当ab在外力作用下以v1速度向右匀速运动时，cd棒也向右运动”这句话的意思：

当ab在外力作用下以v1速度向右匀速运动时，闭合回路内磁通量增大，根据楞次定律可判断出感应电流方向是bacdb，则cd棒受到了向右的安培力作用（左手定则），因此也开始向右运动，由于ab棒是匀速运动，F外＝F安，可见感应电流大小不变，cd棒所受向右的安培力大小也不变，所以cd棒也做匀速运动，但速度不一样，cd棒的运动速度v2必定小于v1。

【解答】

（1）ab棒速度大于cd棒速度，回路中感应电动势

E＝Blv1－BLv2＝Bl（v1－v2），

由此可求出感应电流

I＝

＝

cd棒在受到向右安培力和向左摩擦力共同作用下保持平衡，可列出下式

μmg＝BIl＝B

l＝

。

所以

v2＝v1－

。

（2）P外＝F外·v1＝μmg·v1。

（F外＝F1外＝F2安＝μmg）

（3）P点＝P外－P摩＝μmg·v1－μmg·v2＝μmg（v1－v2）。

将（v1－v2）＝

代入上式，就可得到答案：

P电＝

。

已删节

【示例3】如图所示，磁感应强度为B的匀强磁场穿过一竖直放置的金属框，金属框上部套有金属条ab，它的电阻为R、质量为2m，开始时处于静止状态。

在离ab高h处，自由落下一质量为m的物体，跟ab结合在一起下落。

金属框电阻不计，如与金属框间摩擦也不计。

求：

①ab开始运动时的加速度；②当ab速度达到v1时，ab对物体的支持力；③ab的最终速度。

四、基本训练

1．关于感应电动势和感应电流，甲同学说：

“有感应电动势就有感应电流。

”乙同学说：

“有感应电流必有感应电动势。

”你来评判一下，哪位同学的说法是正确的？

2．图中所示的导体框架置于一匀强磁场里，磁场方向垂直于纸面向外，磁感应强度B＝，电阻R1＝R2＝1Ω。

可移动金属棒ab的长度L＝，电阻Rab＝Ω。

当ab棒以10m/s的速度向左匀速移动的过程中，棒两端的电压Uab＝_____V；所需外力的大小F＝_____N；外力的功率P＝_____W。

3．长方形金属框中边长ab＝2bc，放在磁感应强度为B的匀强磁场中。

今将它用同一速度从磁场中向上、向右匀速拉出，在两次拉出过程中，拉力之比F1∶F2＝______；拉力做功之比W1：

W2＝_______；通过金属框的电量之比q1∶q2＝_______。

4．一矩形线圈的边长分别为30cm和40cm，其电阻为1Ω，在与匀强磁场垂直的平面中以v＝10m/s的恒定速度通过有理想边界的宽20cm的匀强磁场区，已知匀强磁场的磁感应强度为B＝1T。

那么，矩形线框在通过磁场区的过程中，有感应电流时感应电流I＝____A，所产生的热量Q＝______J。

5．

图中是一个具有三根辐条的金属圆轮，它的半径为r，可绕中心轴转动，整个圆轮处于跟轮面垂直、磁感应强度为B的匀强磁场中，用两个电刷a和aʹ分别跟轮轴和轮缘滑动接触，并用导线跟外电阻R联成一个闭合回路。

现使圆轮以角速度ω按图示方向转动，那么通过电阻R的电流是什么方向？

6．

在磁感应强度B＝的匀强磁场中，有两根长都为L＝、电阻都为r＝Ω的导线ab和cd，在光滑的导电框架efhg上均以v＝/s的速度向右滑动，如图所示，连接在框架两端的电阻R1＝R2＝10Ω，导线和框架的电阻不计。

问：

efba、abdc、cdhg三个回路中的感应电流的大小和方向分别如何？

7．匀强磁场的磁感应强度B＝，长L＝0.10m的金属棒ab可以在光滑的金属框架上滑动，如图所示。

回路的总电阻R＝10Ω不变。

问：

（1）当棒以v＝10m/s的速度向右滑动时，回路中的电流多大？

电能从何而来？

（2）如果回路电阻增大，而棒ab仍保持原速运动，所需的外力如何变化？

为什么？

8．

如图所示，两根光滑水平导轨与一个倾角为α的金属框架abcd连接（连接处呈圆弧形）。

磁感应强度B跟框架面垂直，框架边ab、cd长均为L，电阻均为2R，框架其余部分电阻不计。

有一根质量为m、电阻为R的金属棒MN平行于ab放置，让它以初速v0冲上框架，在到达最高点的过程中，框架边ab发出的热量为Q。

试求：

（1）金属棒MN刚冲上框架时ab部分的发热功率；

（2）金属棒MN上升的最大高度；

（3）金属棒MN受到的最大安培力的大小和方向。

9．

图中PQRS为一正方形导线框，它以恒定速度向右进入以MN为边界的匀强磁场，磁场方向垂直线框平面，线框的边与MN线成45°角。

E、F分别为PS和PQ的中点，关于线框中的感应电流，正确的说法是（）

（A）当E点经过边界MN时，线框中感应电流最大

（B）当P点经过边界MN时，线框中感应电流最大

（C）当F点经过边界MN时，线框中感应电流最大

（D）当Q点经过边界MN时，线框中感应电流最大

10．

如图所示，有一边长为L的正方形导线框，质量为m，由高H处自由落下，其下边ab进入匀强磁场后，线圈开始做减速运动，直到其上边cd刚刚穿出磁场时，速度减为ab边刚进入磁场时速度的一半。

此匀强磁场的宽度也是L。

则线框在穿越匀强磁场中产生的焦耳热是（）

（A）2mgL（B）2mgL＋mgH

（C）2mgL＋3mgHl4（D）2mgL＋mgH/4

11．铁路上使用一种电磁装置向控制中心传输信号，以确定火车的位置。

磁铁能产生匀强磁场，被安装在火车首节车厢下面，右图所示是俯视图，当火车经过安放在两铁轨间的线圈时，便会产生一电信号，被控制中心接收。

当火车以恒定速度通过线圈时，表示线圈两端的电压随时间变化的关系是下列图中的哪一幅？

（）

12．

置于匀强磁场中的金属圆盘中央和边缘各引出两根导线，绕成线圈A套在铁芯上。

套在铁芯下部的线圈B引出两根导线接在两根水平导轨上，如图所示。

导轨上有一根金属棒ab处在垂直于纸面向外的匀强磁场中。

当金属圆盘顺时针转动或逆时针转动时，在匀速、加速、减速的情况下，ab棒将如何运动？

（把分析结果填入下表）

圆盘转动方向

A中磁场方向及磁场变化

ab中感应电流方向及运动方向

1．顺时针，加速

2．顺时针，匀速

3．顺时针，减速

4．逆时针，加速

5．逆时针，匀速

6．逆时针，减速

13．

如图所示，金属棒a从h高处自静止开始沿弧形的光滑平行金属轨道下滑，进入轨道的水平部分（也是光滑的），接着在竖直向下、磁感应强度为B的匀强磁场中运动。

在轨道的水平部分原来有另一根金属棒b静止地搁在上面。

已知a、b的质量ma∶mb＝3∶1，试求：

（1）当a棒刚进入磁场时，a、b两棒的加速度之比。

（2）如果两棒没有相碰，且a、b两棒的最终速度为

，则a棒从开始下落到a、b两棒达到稳定速度，回路中消耗的电能是多少？