版三维方案数学同步人教A版必修2第一章 11第一课时 棱柱棱锥棱台的结构特征.docx

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版三维方案数学同步人教A版必修2第一章11第一课时棱柱棱锥棱台的结构特征

第一课时　棱柱、棱锥、棱台的结构特征

预习课本P2～4，思考并完成以下问题

1．空间几何体是如何定义的？

分为几类？

2．常见的多面体有哪些？

它们各自的结构特征是怎样的？

1．空间几何体

概念

定义

空间几何体

空间中的物体，若只考虑这些物体的形状和大小，而不考虑其他因素，那么由这些物体抽象出来的空间图形就叫做空间几何体

2．空间几何体的分类

分类

定义

图形及表示

相关概念

空间几何体

多面体

由若干个平面多边形围成的几何体，叫做多面体

面：

围成多面体的各个多边形

棱：

相邻两个面的公共边

顶点：

棱与棱的公共点

空间几何体

旋转体

由一个平面图形绕着它所在平面内的一条定直线旋转所形成的封闭几何体叫做旋转体

轴：

形成旋转体所绕的定直线

3．棱柱、棱锥、棱台的结构特征

分类

定义

图形及表示

相关概念

棱柱

有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱

如图可记作：

棱柱

ABCDA¡äB¡äC¡äD¡ä

底面（底）：

两个互相平行的面

侧面：

其余各面

侧棱：

相邻侧面的公共边

顶点：

侧面与底面的公共顶点

棱锥

有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥

如图可记作：

棱锥SABCD

底面（底）：

多边形面

侧面：

有公共顶点的各个三角形面

侧棱：

相邻侧面的公共边

顶点：

各侧面的公共顶点

棱台

用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分叫做棱台

如图可记作：

棱台

ABCDA¡äB¡äC¡äD¡ä

上底面：

原棱锥的截面

下底面：

原棱锥的底面

侧面：

其余各面

侧棱：

相邻侧面的公共边

顶点：

侧面与上（下）底面的公共顶点

1．判断下列命题是否正确．（正确的打“√”，错误的打“×”）

（1）用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分是棱台（　　）

（2）棱柱中两个互相平行的面一定是棱柱的底面（　　）

（3）棱台的底面是两个相似的正方形（　　）

（4）棱台的侧棱延长后必交于一点（　　）

答案：

（1）×　

（2）×　（3）×　（4）√

2．有两个面平行的多面体不可能是（　　）

A．棱柱　　　　　　　B．棱锥

C．棱台D．以上都错

解析：

选B　棱柱、棱台的上、下底面是平行的，而棱锥的任意两面均不平行．

3．关于棱柱，下列说法正确的有________（填序号）．

（1）有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱；

（2）棱柱的侧棱长相等，侧面都是平行四边形；

（3）各侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体．

解析：

（1）不正确，反例如图所示．

（2）正确，由棱柱定义可知，棱柱的侧棱相互平行且相等，所以侧面均为平行四边形．

（3）不正确，上、下底面是菱形，各侧面是全等的正方形的四棱柱不一定是正方体．

答案：

（2）

棱柱的结构特征

[典例]　下列关于棱柱的说法中，错误的是（　　）

A．三棱柱的底面为三角形

B．一个棱柱至少有五个面

C．若棱柱的底面边长相等，则它的各个侧面全等

D．五棱柱有5条侧棱、5个侧面，侧面为平行四边形

[解析]　显然A正确；底面边数最少的棱柱是三棱柱，它有五个面，故B正确；底面是正方形的四棱柱，有一对侧面与底面垂直，另一对侧面不垂直于底面，此时侧面并不全等，所以C错误；D正确，所以选C.

[答案]　C

有关棱柱的结构特征问题的解题策略

（1）紧扣棱柱的结构特征进行有关概念辨析

①两个面互相平行；

②其余各面是四边形；

③相邻两个四边形的公共边互相平行．求解时，首先看是否有两个平行的面作为底面，再看是否满足其他特征．

（2）多注意观察一些实物模型和图片便于反例排除．　　　　　　

[活学活用]

下列说法错误的是（　　）

A．多面体至少有四个面

B．棱柱的两个底面是全等的多边形

C．长方体、正方体都是棱柱

D．三棱柱的侧面为三角形

解析：

选D　三棱柱的底面是三角形，其侧面一定是平行四边形，故D错误.

棱锥、棱台的结构特征

[典例]　

（1）下列说法正确的有（　　）

①由五个面围成的多面体只能是四棱锥；

②仅有两个面互相平行的五面体是棱台；

③两个底面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台；

④有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台．

A．0个　　B．1个　　　C．2个　　　D．3个

（2）下列说法正确的有________个．

①有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥．

②正棱锥的侧面是等边三角形．

③底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥．

[解析]　

（1）由五个面围成的多面体还可能是三棱台、三棱柱等，故①错；三棱柱是只有两个面平行的五面体，故②错．如图，可知③④错误．

（2）①不正确．棱锥的定义是：

有一个面是多边形，其余各面都是有一

个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥．而“其余各面都是三角形”并不等价于“其余各面都是有一个公共顶点的三角形”，故此说法是错误的．如图所示的几何体满足此说法，但它不是棱锥，理由是△ADE和△BCF无公共顶点．

②错误．正棱锥的侧面都是等腰三角形，不一定是等边三角形．

③错误．由已知条件知，此三棱锥的三个侧面未必全等，所以不一定是正三棱锥．如图所示的三棱锥中有AB＝AD＝BD＝BC＝CD.满足底面△BCD为等边三角形．三个侧面△ABD，△ABC，△ACD都是等腰三角形，但AC长度不一定，三个侧面不一定全等．

[答案]　

（1）A　

（2）0

判断棱锥、棱台的2个方法

（1）举反例法：

结合棱锥、棱台的定义举反例直接判断关于棱锥、棱台结构特征的某些说法不正确．

（2）直接法：

棱锥

棱台

定底面

只有一个面是多边形，此面即为底面

两个互相平行的面，即为底面

看侧棱

相交于一点

延长后相交于一点

[活学活用]

　用一个平面去截一个三棱锥，截面形状是（　　）

A．四边形B．三角形

C．三角形或四边形D．不可能为四边形

解析：

选C　如果截面截三棱锥的三条棱，则截面形状为三角形（如图①），如果截面截三棱锥的四条棱则截面为四边形（如图②）．

多面体的平面展开图问题

[典例]　如图是三个几何体的侧面展开图，请问各是什么几何体？

[解]　由几何体的侧面展开图的特点，结合棱柱，棱锥，棱台的定义，可把侧面展开图还原为原几何体，如图所示．

所以①为五棱柱，②为五棱锥，③为三棱台．

（1）解答此类问题要结合多面体的结构特征发挥空间想象能力和动手能力．

（2）若给出多面体画其展开图时，常常给多面体的顶点标上字母，先把多面体的底面画出来，然后依次画出各侧面．

（3）若是给出表面展开图，则可把上述程序逆推．　　　　　　

[活学活用]

1．下列四个平面图形中，每个小四边形都是正方形，其中可以沿相邻正方形的公共边折叠围成一个正方体的是（　　）

解析：

选C　将四个选项中的平面图形折叠，看哪一个可以围成正方体．

2．水平放置的正方体的六个面分别用“前面、后面、上面、下面、左面、右面”表示，如图是一个正方体的表面展开图（图中数字写在正方体的外表面上），若图中“0”上方的“2”在正方体的上面，则这个正方体的下面是（　　）

A．1B．7

C．快D．乐

解析：

选B　由题意，将正方体的展开图还原成正方体，1与乐相对，2与7相对，0与快相对，所以下面是7.

层级一　学业水平达标

1．下面的几何体中是棱柱的有（　　）

A．3个　　　　　　　　B．4个

C．5个D．6个

解析：

选C　棱柱有三个特征：

（1）有两个面相互平行；

（2）其余各面是四边形；（3）侧棱相互平行．本题所给几何体中⑥⑦不符合棱柱的三个特征，而①②③④⑤符合，故选C.

2．下面图形中，为棱锥的是（　　）

A．①③B．①③④

C．①②④D．①②

解析：

选C　根据棱锥的定义和结构特征可以判断，①②是棱锥，③不是棱锥，④是棱锥．故选C.

3.如图，能推断这个几何体可能是三棱台的是（　　）

A．A1B1＝2，AB＝3，B1C1＝3，BC＝4

B．A1B1＝1，AB＝2，B1C1＝1.5，BC＝3，A1C1＝2，AC＝3

C．A1B1＝1，AB＝2，B1C1＝1.5，BC＝3，A1C1＝2，AC＝4

D．AB＝A1B1，BC＝B1C1，CA＝C1A1

解析：

选C　根据棱台是由棱锥截成的进行判断．

选项A中

≠

，故A不正确；选项B中

≠

，故B不正确；选项C中

＝

＝

，故C正确；选项D中满足这个条件的可能是一个三棱柱，不是三棱台．故选C.

4．一个棱锥的各棱长都相等，那么这个棱锥一定不是（　　）

A．三棱锥B．四棱锥

C．五棱锥D．六棱锥

解析：

选D　由题意可知，每个侧面均为等边三角形，每个侧面的顶角均为60°，如果是六棱锥，因为6×60°＝360°，所以顶点会在底面上，因此不是六棱锥．

5．下列图形中，不能折成三棱柱的是（　　）

解析：

选C　C中，两个底面均在上面，因此不能折成三棱柱，其余均能折为三棱柱．

6．四棱柱有________条侧棱，________个顶点．

解析：

四棱柱有4条侧棱，8个顶点（可以结合正方体观察求得）．

答案：

4　8

7．一个棱台至少有________个面，面数最少的棱台有________个顶点，有________条棱．

解析：

面数最少的棱台是三棱台，共有5个面，6个顶点，9条棱．

答案：

5　6　9

8．一棱柱有10个顶点，其所有的侧棱长的和为60cm，则每条侧棱长为________cm.

解析：

该棱柱为五棱柱，共有5条侧棱，每条侧棱长都相等，∴每条侧棱长为12cm.

答案：

12

9．根据下列关于空间几何体的描述，说出几何体的名称：

（1）由6个平行四边形围成的几何体；

（2）由7个面围成的几何体，其中一个面是六边形，其余6个面都是有一个公共顶点的三角形；

（3）由5个面围成的几何体，其中上、下两个面是相似三角形，其余3个面都是梯形，并且这些梯形的腰延长后能相交于一点．

解：

（1）这是一个上、下底面是平行四边形，4个侧面也是平行四边形的四棱柱．

（2）这是一个六棱锥．

（3）这是一个三棱台．

10.如图，已知三棱台ABCA′B′C′.

（1）把它分成一个三棱柱和一个多面体，并用字母表示；

（2）把它分成三个三棱锥，并用字母表示．

解：

（1）作B′E∥AA′交AB于点E，C′D∥AA′交AC于点D，如图，连接ED，则分成一个三棱柱AEDA′B′C′和一个多面体C′B′EBCD.

（2）如图，平面AB′C′和平面AB′C能把三棱台分成三个三棱锥，分别为三棱锥B′AA′C′，三棱锥B′ACC′，三棱锥B′ABC.

层级二　应试能力达标

1．关于空间几何体的结构特征，下列说法不正确的是（　　）

A．棱柱的侧棱长都相等

B．四棱锥有五个顶点

C．三棱台的上、下底面是相似三角形

D．有的棱台的侧棱长都相等

解析：

选B　根据棱锥顶点的定义可知，四棱锥仅有一个顶点．故选B.

2．下列说法正确的是（　　）

A．棱柱的底面一定是平行四边形

B．棱锥的底面一定是三角形

C．棱锥被平面分成的两部分不可能都是棱锥

D．棱柱被平面分成的两部分可能都是棱柱

解析：

选D　棱柱与棱锥的底面可以是任意多边形，A、B不正确．过棱锥的顶点的纵截面可以把棱锥分成两个棱锥，C不正确．

3．下列图形经过折叠可以围成一个棱柱的是（　　）

解析：

选D　A、B、C中底面图形的边数与侧面的个数不一致，故不能围成棱柱．故选D.

4.五棱柱中，不同在任何侧面，且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线，那么一个五棱柱共有对角线（）

A.20条B.15条

C.12条D.10条

解析：

选D由题意，知五棱柱的对角线一定为上底面的一个顶点和下底面的一个顶点的连线，因为不同在任何侧面内，故从一个顶点出发的对角线有2条，所以五棱柱共有对角线2×5=10（条）.故选D.

5.一个无盖的正方体盒子的平面展开图如图，A，B，C是展开图上的三点，则在正方体盒子中，∠ABC＝________.

解析：

将平面图形翻折，折成空间图形，

可得∠ABC＝60°.

答案：

60°

6．在正方体上任意选择4个顶点，它们可能是如下各种几何体的4个顶点，这些几何体是________．（写出所有正确结论的编号）

①矩形；②不是矩形的平行四边形；③有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体；④每个面都是等边三角形的四面体；⑤每个面都是直角三角形的四面体．

解析：

在正方体ABCDA1B1C1D1上任意选择4个顶点，它们可能是如下各种几何体的4个顶点，这些几何体是：

①矩形，如四边形ACC1A1；③有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体，如AA1BD；④每个面都是等边三角形的四面体，如ACB1D1；⑤每个面都是直角三角形的四面体，如AA1DC，故填①③④⑤.

答案：

①③④⑤

7.如图在正方形ABCD中，E，F分别为AB，BC的中点，沿图中虚线将3个三角形折起，使点A，B，C重合，重合后记为点P.

问：

（1）折起后形成的几何体是什么几何体？

（2）若正方形边长为2a，则每个面的三角形面积为多少？

解：

（1）如图折起后的几何体是三棱锥．

（2）S△PEF＝

a2，S△DPF＝S△DPE＝

×2a×a＝a2，

S△DEF＝

a2.

8.如图，已知长方体ABCDA1B1C1D1.

（1）这个长方体是棱柱吗？

如果是，是几棱柱？

为什么？

（2）用平面BCEF把这个长方体分成两部分，各部分几何体的形状是什么？

解：

（1）是棱柱．是四棱柱．因为长方体中相对的两个面是平行的，其余的每个面都是矩形（四边形），且每相邻的两个矩形的公共边都平行，符合棱柱的结构特征，所以是棱柱．

（2）各部分几何体都是棱柱，分别为棱柱BB1FCC1E和棱柱ABFA1DCED1.